2019届江苏省扬州市高三第一学期期中调研数学(理)试题

1、12019 届江苏省扬州市高三第一学期期中调研数学(理)试题高三数学(理)2018.11一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足一Z1 i，则复数 z=.1 -2i2._ 函数y二、4 -2x的定义域为 .3.已知 x, y 二 R，直线(a -1)x y -1 = 0与直线x ay *2=0垂直，则实数 a 的值为324.已知函数f (x)为偶函数，且 x 0 时，f(X)= X x,则f(-1)=_ .45.已知向量m= (1, a),n=(,3a 1)，若m/n,则实数 a=_.a6.设厶

2、 ABC 的三个内角 A , B, C 的对边分别是 a, b, c,若a= 2、6,b = 6 ,cosB= -丄，2那么角 A 的大小为 _ .x - y _ 0I7._设实数 x, y 满足x y空1，则3x 2y的最大值为 _ .x 2y -12&在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线y = 2 px( p 0)上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 4，则该抛物线的准线方程为 _.1 - x9.已知条件 p: xa，条件 q：0.若p是q的必要不充分条件，则实数 a 的取值x +2范围是_ .x2y210.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1的一个焦点为(3, 0),则双曲线

3、m m十1的渐近线方程为_ .11.若函数f(x)二As in(J(A 0, 0,0)的部分图像如图所示，则函22数f (x)在-二，0上的单调增区间 为12. 在 ABC 中，AH 是边 BC 上的高，点 G是ABC 的重心，若 ABC 的面积为61, AC =5, tanC = 2 ,则3(AHBC) (GB GC)=14.已知函数f (x) = 2、2x - x2,g(x)=l nx-ax，5( e 为自然对数的底数，e 2.718).对于任意的 x(0, e),在区间(0, e)上总存在两个不同的 捲,x?,使得g(xj=g(X2)=f (xo)，则整数 a 的取值集合是 _、解答题(

4、本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)(1)求 tan、;_ 的值；3(2)若cos, ：z(0,)，求 cos( : -、 )的值.5216.(本小题满分 14 分)已知a R，函数f (x) =a(1)若f(x)乞2x对x(0, 2)恒成立，求实数 a 的取值范围;(2)当 a= 1 时，解不等式f(x)_2x.17.(本小题满分 15 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线x-3y-10=0与圆O：x2yr2(r 0)相切.13.已知正实数a,b 满足2a b = 3，则2a21 b2一2a b 2的最小值是15.

5、(本小题满分 14 分)在厶 ABC 中，已知设/ BAC =:-4(1)直线 I 过点(2, 1)且截圆 O 所得的弦长为2 6，求直线 I 的方程；5（2）已知直线 y= 3 与圆 0 交于 A , B 两点，P 是圆上异于 A , B 的任意一点，且直线 AP , BP与 y 轴相交于 M, N 点.判断点 M、N 的纵坐标之积是否为定值 ?若是，求出该定 值；若不是，说明理由.18.（本小题满分 15 分）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45方向上，到中心广场的距离分别为 、.2km,2:2km；扬州园在中心广场的正东方向，至 U 中心广场的距离为,10 k

6、m.规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图（1）、（2）.已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为 2.设柏油路与正东方向的夹角，即图（2）中/COF 为二（日匸（0，一 ）,铺设三段鹅卵石路的总费用为 y （万兀）.4（1）求南京园到柏油路的最短距离a 关于门的表达式；(1)(2)19.（本小题满分 16 分）2 26x y在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:二2=1（a b 0）的右准线方程为 x = 2,且a b两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形.7(1)求椭圆 C 的方程；(2)假设直线

7、 I:y =kx m与椭圆 C 交于 A , B 两点若 A 为椭圆的上顶点，M原点O到直线1的距离为1，并且OAoB，当扌|时，心OAB的面积 s 的范围.20.(本小题满分 16 分)I 门 W已知函数f(x),g(x)=x2-2x.x(1) 求f (x)在点 P(1,f (1)处的切线方程；(2)若关于 x 的不等式f2(x) tf (x) 0有且仅有三个整数解，求实数 t 的取值范围;2 2(3)若h(x) = g(x) 4xf (x)存在两个正实数x1,x?满足h(xj h(x2) -x2= 0, 求证：x1x2-3.(附加题)直线过点 P (3, 2),求实数k的值.为线段 AB

8、中点，连接 0M 并延长交椭圆21、(10 分)在平面直角坐标系xOy中，直线y = kx 1在矩阵1对应的变换下得到的1 1一C 于 N,并且ON求 OB 的长；若8222、( 10 分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为一，现他在某个投篮游戏中，共投篮 33次.(1) 求连续命中 2 次的概率；(2) 设命中的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望E(X).23、（10 分）如图，三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ BCA=90 , AC=BC=AAi=AiC=2 ,平面 ACC1A1线 AC 为y轴，直线 DAi为Z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题(1)求异面直线 AB 与 AiC 所

9、成角的余弦值；(2)求直线 AB 与平面 AiBC 所成角的正弦值24、( 10 分)已知正项数列a.满足an厂an-an2(N*).1(1)求证：0：耳：:1，且当n _ 2时，an匚n十2n(2)求证：送Qcln(n +1).i =2参考答案1.3i2. （-,23.14.25. 1n6.7. 38. x = 3249.a 兰-210 . y =2x11 .（,0）（区间开闭皆可)12 . 1“1313 .514. 3,4,5,6,7丄平面 ABC.现以边 AC 的中点 D 为坐标原点，平面ABC 内垂直于 AC 的直线为x轴，直915.-I -1解：（i）由J3AB AC=JABAC，得

10、屈AB !ACcosa=AB!AC,101 _ _ _所以 cosa -，又因为 0 叮：叮二， 所以 sin ： = 1 - cos2: v3(2)Tcos - -3, l -：=(0,)二 sin ：二4525231由(1)知：s in=, - cos(- -: ) =cos FCOSH亠 si nF；si n:J3535116.解：(1 ) f (x) _2x 对 (0,2)恒成立 a 2x 对 (0,2)恒成立x-12x_2.2，当且仅当 丄=2x，即 x 2 时取等号xx217.解：直线 x-3y-10=0 与圆 O:x20)相切圆心 O 到直线 x -3y -10 =0 的距离为

11、r =巴! = .10 由+9(1)记圆心到直线 I 的距离为 d，所以 d 二 10 -6 =2 当直线 I 与 x 轴垂直时，直线 I 的方程为 x = 2，满足题意;当直线 I 与 x 轴不垂直时，设直线 I 的方程为 y-1=k(x-2)，即 kx - y (1-2k) =0所以 d J1厂2k|=2，解得 k= 3，此时直线 I 的方程为 3x+4y10=0 +k24综上，直线 I 的方程为 x=2 或 3x，4y-10=0 .(2)设 p(x0,y0) 直线 y =3 与圆 O 交于A、B两点，不妨取 A(1,3),B(-1,3),- a_2、2.6 分(2)当 a = 1 时，1

12、f(x) =1, f (x) _2x1 _1_2x(*)|x|x|若 x 0，则(* )可化为：22x -x 1 乞 0,所以 X.一；.9 分若x：:0，则(*)可化为：2x2-x -1 _0,解得:X _1 或 X 三1 .一,1x ：:0 x22分14 分-12 1由可得，(*)的解集为 卜:，一丄2423 3 4/61514 分直线PA、PB的方程分别为 y-3 二汙 XT)，心y3(x 1)7 289112 23xoy3xoyo3x)_y3xoy9x yo令 x =0，得 M(0, -),N(0,-)，则 yMyN2( ) 13xo-1x +1xo_1Xo+1Xo_1分因为点 P(x

13、o, yo)在圆 C 上，所以 X y2=1o,即 yf=1。x,代入(* )式2 2得 yMyN=9xoyoxo)=1o 为定值.15 分xo-118.解：(1)T COF -v,南京园在中心广场的南偏西45。方向上，且到中心广场的距离为 2 km . AOE - dr = 2 sin( - 旳. 4 分44(2)分别设点 B,C 到直线EF的距离为 d2, d3. 由 (1)知:d2=2. 2sin( ),d3= .1osin v4-1一 cos(“)1os2. y=2( ,2sin()2(2 .2sin()2(1osin 巧2 =2。2一 八3： V (o, )- 2( , )当 2-时

14、，ymin=2o_1o.2(万444 44 2元)12 分此时 2 ta n22ta n；=1，解得：tan - - .2 -1.14 分41 -tan 日答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(2o-1o2)万元，此时 ta nr 的值为 V 1 . .15 分19解：(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a“ 2c ,2又由右准线方程为x = 2，得到=2 ,c解得 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=12所以，椭圆 C 的方程为x2=1.4 分2(2)设 BX,%),而 A(o,1)，则皿(为,1 y1),2 2 ON6OM, N国，卫 j244因为点 B,N 都在椭

15、圆上，所以4422=2o -1o(si n cos2R =2。1o、2si n(2)，(o, ).9 分4412xi2I=1222，将下式两边同时乘以8再减去上式，解得力二1, X；3X13(1 yj3316 8 -1613217八9 分 3(3) 由原点 O 到直线 I 的距离为 1，得|mL-1，化简得：1 km2y 二 kx m联立直线 I 的方程与椭圆 C 的方程：x22，得(1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 = 0亠y2=：12y24km2m 2.2设 A(x，yj, B(X2, y?)，则为 X2厂乂必君，且/ =8k . 0 11 分1+2k1+2kOA OB=XtX2%y

16、2=为冷(kx1m)(kx2m) =(1k2)x1x2km(x1x2)m22 2 2 2 22 2 22 2 2222m -2 4k m22m 一 2 +2k m -2k -4k m +m +2k m =(1 亠 k )22、m21+2k1+2k1+2k2223m -2 -2k1 k=o=o- =/u ?1 2k1 2k1 - 111 _ OAB 的面积 S 1 AB 1 k2| x1-x2|1 k (x1x2)4x1x2222因为S= 2，(1；)在-,5为单调减函数，5 6并且当生二4时，S =乙2，当二5时，,5566所以 OAB 的面积 S 的范围为10,2一2 16 分65In x2

17、0解：(1) f(x)=i ,f(1)=0，所以P点坐标为(1,0);x又 f(x)二上弊，f(1)=1，则切线方程为 y-0=x-1,x所以函数 f (x)在点 P(1,f (1)处的切线方程为 X-y-1=0 3 分1 -In x,)f(x)2(x 0)xX(0,e)e(e,ff (X)正0负所以 OB = . x；y；所以 k22 人一 18k216(1 2k2)222曙”屁 E14分14f(x)单调增极大值单调减分15由 f2(x) tf (x)0 , 得 f (x) f(x) t 0 ；1t 0 时，f(x) .0 或 f (x) :：_t，满足条件的整数解有无数个，舍；2t =0

18、时，f(x) =0，得 x 0 且 x=1，满足条件的整数解有无数个，舍;3t：0 时，f(x)：0 或 f(x) ._t，当 f (x) : 0 时，无整数解；n 2ln5即t25所以实数t的取值范围为鯉乞一亜8 分25(3)h(x) =x2-2x 4In x ,因为 h(xj 亠 h(x) - x1x2=0 ,所以 x12-2 4InNx22- 2x24lnx2- xx；=0 ,即(为亠冷)22(为、x2) uxfx；亠 2xtX241 n x1x2, 令 t =xix2, (t)=t22t -4Int(t 0), 11 分贝L(t) =2t 2=2(t _(t 2)化0),当 r (0,

19、1)时，:(t) 3 , 即(x2)2-2(为x2) -3 0 ,所以 x1x2 3 或 x1x2 3 .16 分(加试部分)丄_0 121.解：设直线 y =kx -1 上任意点 M(x,y)在矩阵对应的变换下得到的点M (x,y),则1 啊 J y1 Uy_x y代入直线方程 y =kx V 得：x=k(-y) 7，将 P(3,2)代入上式，解得：k 二-2 .10,即 xyx 二 _x y5分.y二 x yI y当 f(x)乜 J 时，不等式有且仅有三个整数解，又In 22f(5)二ln55因为 f(x)在(0,e)递增，在(e,；)递减；所以f 乞-4：: f(4)，In5In 2即t

20、5216n耳罕y，取z=1，则口，运,1)7 分n BC = -2x =0彳T 弓cos：AB, nABn:| AB |n| 丁 22+22寸(岛)0 ,(0，贝 V si n B =| cos CAB ,n = .10 分24224.证明：(1)由耳一印=a20，解得 0 : Q：1 .1 分22.解：(1 )设 A (i =1,2,3)表示第i次投篮命中，Ai表示第i次投篮不中；设投篮连续命2中 2 次为事件A，贝VP(A) =P(AA2A3 AA2A3)=勺 211?亠空.4 分3333327(2)命中的次数X可取 0, 1, 2, 3;2311212P(X =0)=(1)=,P(X =1)=C3(_) (1_)327332,2、22)13 3-，P(X =2) =C2(二)2(1 -刁9X0123P124827992738 分P(X =3(!)3_8_27248所以 E(X) =12329927答：X的数学期望为 2.10 分23. (1)根据题中空间直角坐标系可