导数与微分的概念PPT课件

1、一、导数的概念一、导数的概念 二、微分的概念二、微分的概念 三、可导、可微和连续的关系可导、可微和连续的关系 导数与微分的概念导数与微分的概念2一、导数的概念一、导数的概念1. 两个实例两个实例切线切线割线的极限位置割线的极限位置（1）曲线的切线斜率曲线的切线斜率如图如图, 如果割线如果割线 MN 绕绕点点 M 旋转而趋向极限位旋转而趋向极限位置置MT , 直线直线MT 就称为就称为曲线曲线 C 在点在点 M 处的处的切线切线. T0 xxoxy)(xfy CNM3. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxf

2、xf ,0 xxMNC时时当当沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 4（2）变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运动时间运动时间则平均速度则平均速度.)()(00tttststsv ,0时时当当tt 取极限取极限, 得瞬时速度得瞬时速度.)(t)(lim)(0000ttststvtt5, )(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxdxdyyxfxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 或或或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并

3、称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数定义定义2. 函数函数 y = f（x）在点）在点 x0 处的导数处的导数xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即62.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxx

4、fxxxfxfxfxxx 7.)(,)(上可导上可导在区间在区间则称函数则称函数可导可导上的每一点都上的每一点都在区间在区间如果函数如果函数IxfIxfy 定义定义即即或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一.)(),(,.)(,)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx xxfxxfyx )()(lim03. 导函数导函数注意注意: :0)()(0 xxxfxf 84. 用定义求导数用定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.li

5、m)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的的导导数数为为常常数数求求函函数数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即9例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 .sin)(cosxx 类似可求得类似可求得10例例3 3.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim

6、0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 11)1()1()1(fxfy 求求增增量量xxxxxy 3)(3)()2(23算算比比值值33)(limlim)1()3(200 xxxyfxx求极限求极限练习练习1 1.13处处的的导导数数在在用用定定义义求求函函数数 xxy解解331)1( xxxx 3)(3)(2333)(2 xx. 3 12例例4 4.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim

7、)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy13oxy)(xfy T0 xM5. 导数的几何意义导数的几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 14例例5 5.)1, 1(2和和法法线线方方程程处处的的切切线线方方程程在在点点求求曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, ,得切

8、线斜率为得切线斜率为1 xyk12)( xx12 xx. 2 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),1(21 xy),1(211 xy. 12 xy即即. 032 yx即即15例例6 6.1ln的的切切线线上上平平行行于于直直线线求求曲曲线线 xyxy解解由导数的几何意义由导数的几何意义, ,有有,11)(ln00 xxxx,10 x即即故所求切线方程为故所求切线方程为. 1 xy，处处的的切切线线平平行行于于直直线线设设点点1),(00 xyyx已知直线的斜率为已知直线的斜率为1 1，,0ln0 yxy中中得得代代入入16练习练习2 2.)2 ,21(1和和法法线线方方程程处处

9、的的切切线线方方程程在在点点求求曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, ,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即17二、微分的概念二、微分的概念实例实例: : 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的

10、线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 01. 微分的定义微分的定义18定义定义.,)(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数.的线性主部的线性主部叫做

11、函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )19由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 20).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理1证证 (1) 必

12、要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数21(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数.可可微微可可导导 .)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数22例例7 7

13、解解.02. 0, 1ln时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(ln.1xx 02. 0102. 011 xxxxxxdy02. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy . 导数也叫“微商”导数也叫“微商”该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy232. 微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x .,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线

14、的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P 即即可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当.,MNMPMx )()()()(00000 xxxfxfdyxfxfxx24例例8 8解解.01. 1ln的近似值的近似值求求,01. 0, 1,ln)(0 xxxxf 01. 001. 011ln01. 0)1()1(01. 1lnff, 11)(ln)1(11xxxxf25练习练习3 3解解.43cos的近似值的近似值求求,90,4,cos)(0 xxxxf180)90(2)90()22(4cos43cos ,22)sin()(cos)4(44 xxxxf26三、可导

15、、可微与连续的关系三、可导、可微与连续的关系定理定理2 2 凡可导（可微）函数都是连续函数凡可导（可微）函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.27连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例xy2xy 0 xy ,0,0,)(. 12 xxxxxf.0处不可导处不可导在在 x31xyxy01,1)(. 23 xxf.1处不可导处不可导在在 x28例例9

16、 9.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处处连连续续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx29小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;6. 函数可导（微）一定连续函数可导（微）一定连续，但连续不一定可导但连续不一定可导;4. 微分的实质微分的实质: 函数增量的线性主部函数增量的线性主部;5. 微分的几何意义微分的几何意义: 切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量;307. 求导数与微分最基本的方法求导数与微分最基本的方法