五年级奥数讲义第讲盈亏问题与比较法一

1、定义:把假设干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完.如果物体还有剩余, 就叫盈；如果物体不够分,少了,叫亏.也就是说：两个分配方案,一次分配有余,一 次分配缺乏,求参加分配的人数及被分配的总量.这样的问题通常叫做盈亏问题.典型的盈亏问题一般以以下的形式表述：把假设干个苹果未知数分给假设干个人未知数,如果每人分2个还多20个,如果每人分 3个那么少5个.问总共有多少人？有多少个苹果？题目中的不变量是人数和苹果数,比拟两种不同的分配方法,可知苹果相差：20 + 5 = 25 个；相差25个苹果,亳无疑问是由于每人相差苹果 3 - 2 = 1 个而 做成的,事实上,只有唯一一种情况才会

2、导至上述情形,那就是有25人分苹果！求得人数后,进而可以根据题意,用两种方法求得苹果的数目：2X25+20=70个或 3X 25- 5=70个.解盈亏问题的公式【一盈一亏的解法】盈数+亏数+两次每人分配数的差=分配人数【双盈的解法】大盈-小盈一两次每人分配数的差=分配人数【双亏的解法】大亏-小亏+两次每人分配数的差=分配人数学法指导由解盈亏问题的公式可以看出,求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额,如果两次分配是一次是有余,另一次是缺乏时,那么依上面的公式先求得人数不是物数,再求出物数；如果两次分配都是有余,那么公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是缺乏时,那么公

3、式变成亏额差除以两次分配数之差,如果有时候,必须转化题目中条件,才能从复杂的数量关系中寻找解答； 有时候,直接从“包 含入手比拟困难,可以间接从其反面“不包含去想就会比拟容易.例1小朋友分糖果,假设每人分4粒那么多9粒；假设每人分5粒那么少6粒.问：有多少个小朋友 分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道,小朋友的人数与糖的粒数是不变的.比拟两种分配方案,第一种方案每人分4粒就多9粒,第二种方案每人分5粒就少6粒,两种不同的方案一多一 少相差9 + 6=15 粒.相差的原因在于两种方案的分配数不同,第一种方案每人分4粒,第二种方案每人分5粒,两次分配数之差为5-4=1 粒.每人相差1粒,多少人相差

4、15 粒呢？由此求出小朋友的人数为15+1=15 人,糖果的粒数为4X15+ 9= 69 粒.解：9 + 6 + 5-4 = 15 人,4X15+ 9= 69 粒.答：有15个小朋友,分69粒糖.例2小朋友分糖果,假设每人分3粒那么剩2粒；假设每人分5粒那么少6粒.问：有多少个小朋友？ 多少粒糖果？分析：此题与例1根本相同,例1中两次分配数之差是5-4=1 粒,此题中两次分配数 之差是5-3=2 粒.例1中,两种分配方案的盈数与亏数之和为 9+6=15 粒,此题中, 两种分配方案的盈数与亏数之和为 2+6=8 粒.仿照例1的解法即可.解：6 + 2 + 42 =4 人,3X4+2=14 粒.答

5、：有4个小朋友,14粒糖果.由例1、例2看出,所谓盈亏问题,就是把一定数量的东西分给一定数量的人,由两种 分配方案产生不同的盈亏数,反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量.解题的关键 在于确定两次分配数之差与盈亏总额盈数 十亏数,由此得到求解盈亏问题的公式： 分配总人数=盈亏总额+两次分配数之差.需要注意的是,两种分配方案的结果不一定总是一 “盈 一 “亏,也会出现两“盈、两“亏、一 “不盈不亏 一 “盈或“亏等情况.例3小朋友分糖果,每人分10粒,正好分完；假设每人分16粒,那么有3个小朋友分不到糖果.问：有多少粒糖果？分析与解：第一种方案是不盈不亏,第二种方案是亏16X 3=48 粒,

6、所以盈亏总额是0 +48=48 粒,而两次分配数之差是1610= 6 粒.由盈亏问题的公式得有小朋友0+16X 3 + 16 10 =8 人,有糖 10X8=80 粒.下面的几道例题是购物中的盈亏问题.例4 一批小朋友去买东西,假设每人出10元那么多8元；假设每人出7元那么少4元.问：有多少 个小朋友？东西的价格是多少？分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8 + 4= 12元,两次分配数之差是107=3元. 由公式得到小朋友的人数8 + 4 + 107 =4 人,东西的价格是10X48 = 32 元.例5顾老师到新华书店去买书,假设买 5本那么多3元；假设买7本那么少1.8元.这本书的单价是 多

7、少？顾老师共带了多少元钱？分析与解：买5本多3元,买7本少1.8元.盈亏总额为3+1.8=4.8 元,这4.8元刚好 可以买7 5 = 2 本书,因此每本书4.8+2=2.4 元,顾老师共带钱2.4X5+3=15 元.例6王老师去买儿童小提琴,假设买7把,那么所带的钱差110元；假设买5把,那么所带的钱还差 30元.问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？分析：此题在购物的两个方案中,每一个方案都出现钱缺乏的情况, 买7把小提琴差110 元,买5把小提琴差30元.从买7把变成买5把,少买了 75=2 把提琴,而钱的差 额减少了 11030= 80 元,即80元钱可以买2把小提琴,可见小提琴

8、的单价为每把 40 元钱.解：11030 + 75 =40 元,40X7110=170 元.答：小提琴40元一把,王老师带了 170元钱.练习131 .小朋友分糖果,每人 3粒,余30粒；每人5粒,少4粒.问：有多少个小朋友？多少粒糖?2 . 一个汽车队运输一批货物,如果每辆汽车运3500千克,那么货物还剩下 5000千克；如果每辆汽车运4000千克,那么货物还剩下 500千克.问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3 .学校买来一批图书.假设每人发9本,那么少25本；假设每人发6本,那么少7本.问：有多少个学生?买了多少本图书？4 .参加美术活动小组的同学, 分配假设干支彩色笔.

9、 如果每人分4支,那么多12支；如果每人分8支, 那么恰有1人没分到笔.问：有多少同学？多少支彩色笔？5 .红星小学去春游.如果每辆车坐60人,那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人,那么恰好多出一辆车.问：有多少辆车？多少个学生？6 .某数的8倍减去153,比其5倍多66,求这个数.7 .某厂运来一批煤,如果每天烧1500千克,那么比原方案提前一天烧完；如果每天烧 1000千克,那么将比原方案多用一天.现在要求按原方案烧完,那么每天应烧煤多少千克？8 .同学们为学校搬砖,每人搬 18块,还余2块；每人搬20块,就有一位同学没砖可搬.问：共有 科多少块？陈氏框解题法盈亏问题A 李明一根本概念

10、例1幼儿园老师给小朋友分糖果,每个小朋友分 5个糖果,就多出22个；每个小朋友分7个糖果,就少18个糖果.有几个小朋友和多少个糖果？像这样以份数平均分一定数量的物品, 每份少一些,那么物品有余盈,每份多一些, 那么物品不够亏,但凡研究这一类算法的应用题就叫着盈亏问题.盈亏问题的根本解法是：盈+亏+两次分配数的差,求出份数以后再求物品 总数量.假设是这样给学生讲解,肯定会造成学生死记硬背,生搬硬套.但是,我们假设作出“陈 氏框,再给学生讲解,就非常容易理解并且很容易灵活运用了.一作图：由于有两次分配,分配总量一样,而每份量不一样,我们可以画两行框二分析：看图可以明显看出单差是 7-5 = 2 ,

11、总差呢？第一次分多22个,而同 样多的东西,在第二次分不仅这 22个分掉了,还少18个,那么,我们知道第二次一共比第 一次多分掉了 “22 +18 个一一这就是总差,即“总差 =盈+亏三根据“单差X份数=总差可以得出“份数=总差+单差解：人数即份数：22 +18 + 7 5 = 20 人根据第一次分配情况计算糖果总个数：5X20 + 22 = 122 个7X 20 - 18 = 122 个根据第二次分配情况计算答：有20个小朋友,和122个糖果.四小结：“盈亏问题用“陈氏框 解答,主要根据“份数=总差+单差先求 出份数,再通过份数求出总量.例2 老师给美术活动小组的同学分发图画纸,假设每人分

12、6张,那么缺少48张,假设每 人分3张,那么缺少3张.美术活动小组有多少名同学？老师一共有多少张图画纸？一作图:二分析：同样多的主张分给同样多的人,第一次分发的结果是“缺少48张亏, 第二次分发的结果是“缺少3张亏,两次都是“亏,可以知道第二次比第一次少分 发“48-3=45张图画纸,这就是 总差,即“总差=大亏-小亏.同样的道理,两次都是 盈的话,“总差=大盈-小盈三解：美术小组人数：48-3 + 6-3 = 15 人图画纸总张数：6X 15-48 = 42 张按第一次分配情况算或 3X 15 -3 = 42 张按第二次分配情况算答：美术活动小组一共有15人,老师一共有42张图画纸.四小结：

13、盈亏问题的单差很好找到,就是两次分配的每份数之差,总差那么比拟复杂, 根据题目条件分配结果不同,有三种计算方式：总差=盈+亏总差=大亏-小亏总差=大盈-小盈二比拟到哪里较复杂的盈亏问题往往会出现两次分配的份数不同,因此,到底是求哪次的份数呢？这就在于我们自己的选择了,而选择的不同,题目的总差也就会有所不同.例3 四1班中队的学生参加夏令营,如果 5个人住一个帐篷,就有2个人没有 住处；如果8个人住一个帐篷,就可以少搭2个帐篷.四1班中队有多少学生参加夏令营？1摆条件,作图： 我们把一个框代表一个帐篷,框里的数字表示帐篷内住的人数, 由于两次安排的帐篷数量不同,所以在后面多画几个框,以便于比拟.

14、叵|叵|多2人正好% 一,少2个帐篷2第一种比拟：如上图,我们把第二次安排的帐篷数为份数,如果第一次也住同样 多的帐篷,人数就会多出5X2+2=12 人,这就是总差.第二次住的帐篷个数：5X 2+2 + 8-5 = 4 个学生人数：8X4 = 32 人 根据第二次分配情况计算3第二种比拟：如以下图,我们把第一次安排的帐篷数为份数,如果第二次也住满这 同样的帐篷,总人数就少了 8X2 = 16 人,总差就是2 + 16 = 18 人盈+亏第一次住的帐篷个数：8X2+2 + 8-5 = 6 个学生人数：5X6+ 2 = 32 人根据第一次分配情况计算答：略三转换条件在比拟复杂的盈亏问题中,分配后的

15、结果盈与亏不是直接告诉我们,如例题 3 中第一种比拟,前一次分配结果实际是盈 5X 2+2=12人,而第二种比拟,后一次分配结 果是亏8X2 = 16 人.这种隐藏的盈亏结果需要我们对条件进行整理转换才得到,对已 知条件进行转换是解答复杂应用题的一条途径.例4 动物园为猴山的猴子买桃,这些桃如果每只猴分 5个,还剩32个；如果其中10只小猴分4个,其余的猴分8个,就恰好分完.问猴有多少只？共买来多少个桃？1作图:xZ=>?个优；一样多HiH H-0 余32个7»1 +3+32nn rri rri rsi 梏好分凭z 10R r ?只獴2看图分析,在此题中单差不一样,怎么办？我们可以转换条件,假释第二次分配前10只猴也分到8个桃,这样单差就一样了.不过,这样分的话,桃就少了84 X10 =40 个.转换图如下：?只提5 I余花个、=> ?个枕3一样多0乂J少8770二的个解：猴的只数：8 4 X 10 = 40 个40 + 32 + 8 5 = 18 只桃的个数：5X18+32 =