二项式定理经典习题及答案电子教案

1、二项式定理经典习题及答案二项式定理1 .求(x21)9展开式的： 2x(1)第6项的二项式系数；(2)第3项的系数；(3) x9的系数。分析：(1)由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C9126;(2) T3 C； (x2)7 ( )2 9x12,故第 3项的系数为 9; 2x(3) Tr 1 c9 (x2)9r ( )r ( 1)C； x183r,令 18 3r 9 ,故 r = 2x 23,所求系数是(-)3C321222 .求证：5151 1能被7整除。分析：51511(492)511C；14951C5149502C5149 250c5；2511,除C51251 1以

2、外各项都能被7整除。3Z C51 251 12317 17 1)17 1 c0 717c 1 716C167C17 1X C51 2 I (2 )1(71) I C17 7C17 7 C17 7 C17 I显然能被7整除，所以5151 1能被7整除。3 .求9192除以100的余数。分析：9192(90 1)92C92 9092 C92 9091C92 90 C92由此可见，除后两项外均能被100整除，而一 91 一一 一 92 一一 一C；90 C92 8281 82 100 81故9192除以100的余数为81a b拒(a,b为有理数)，则B. 29a bC. 234 . (2009北京卷

3、文)若(1 扬4 A. 33D. 19【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式 查.: 1-.2 4 C： -.2 0 C4、；1C4221 4显 12 8及 4 17 1272 ,由已知，得 17 12.2 a b ,2，.二 a属于基础知识、基本运算的考C3 3 3 C42 4b 17 12 29.故选 B.5 . （2009北京卷理）若（1 在5 a b72（a,b为有理数），则a b（）A. 45 B. 55C. 70D. 80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考 查._ 5_0_1_ 2_3_4V 12 C；.2 C5,2 C；,2

4、C3、2C；、.2C； ,21 5 衣2020/204是4129",由已知，得4129”ab>/2 , ab 412970.故选C.6.已知（Vx1k）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。 24 x（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。分析：依条件可得关于n的方程求出n,然后写出通项Tr 1 ,讨论常数项和 有理项对r的限制。解：依题意，前三项系数的绝对值分别为 1,出(1), C：d)2且221 1 2 1 22Cn 仁)1 Cn (-) 22即 n2 9n 8 0解得n=8或n=1 (舍去)1 Cr W2rTr 1 C；(，x)8r( 24

5、x)r ( Dr 寸x 4(1)若Tr 1为常数项，当且仅当16且 0,即3r 16,而r Z ,这不可 4能，故展开式中没有常数项。(2)若Tr1为有理数，当且仅当 更7 为整数。40 r 8, r Zr 0,4,8,即展开式中的有理项共有三项，Ti x4, T5 35x, T9 x 28256,71 力nJH 1 DC1 O2。2IOnCn Od Q7 UHI。0C102IC”7. ( 1 )幺I 2cn 2CnL2Cn 2 187) CnCnCnLCn(答:128(2)化简 C： 2C：3cl2L(n1)Cn(答：(n2)2n 1 )已知(1 3x)9 a。axa2x2Lagx9,则 a

6、0 a1|a2 |L|a9| 等于 (答：49);(2) (12x)2004aoaixa2X2La2oo4X2004 ,则(a。a1)(a。a2)十L (ao a2oo4)=(答：2004) ;(3)设a2n(1 x x ) a0 a x a?xa2nx ，则 aoa2 3n 1、2°8 .（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的 0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是 第3行，,第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是.第1行1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1

7、第 5行 1 1 0 0 1 1图1【答案】2n 1, 329 . （04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第34 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.第。行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5 110 . （2009江西卷理）（1 ax by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 ,不含y的项的系数绝对值的和为32 ,则a, b, n的值可能为A. a 2,b1,n 5B.a 2,b1,n 6C. a 1,b 2,n 6D.a 1,b 2,n 5.答案：D【解析】(1 b

8、)n 243 35, (1 a)n32 25 ,则可取 a 1,b 2,n 5,选 D、211 .(2009 湖d匕卷理)设(x)a0 a1x a2x . a2nlxa2nx ,贝U2a2n 1)22/nim(a0 a2 % . a?n)(a1 徭 a§0八.2A 1B.0C.1D.2【答案】B【解析】令x 0得ao净2n 122 2nF 1)2 2nT 1)a0a1%aoaia2a2 n两式相加得：a。1)2na2两式相减得:aia3a2n(T1)2n(J1)2n22'(二1)2n22代入极限式可得,故选12. （2009湖北卷文）已知（1+ax) 3=1+10x+bx3+

9、a3x3则 b=【答案】40【解析】因为Tr 1 C5 （ax）r.解得a 2,b 40 .1（用数13. （2009四川卷文）（2x ）6的展开式的常数项是2x字作答）.【答案】20解析T 1 1、rCr/2y、6 r / 1、r1 1r c r 262 r x62r 今 62r0得用午”1 TI r1( I) C6 (2x)()( I) C6 2 x , V 6210 ,I讨2xr 3故展开式的常数项为（1）3C32014.（2009湖南卷理）在（1 x）3 （14）2 （1次）的展开式中，x的系数为7_（用数字作答）【解析】由条件易知（1 x）3,（1 Vx）3,（1阪）3展开式中x项的

10、系数分别是C3,C3,C3,即所求系数是3 3 1715. （2009浙江卷理）观察下列等式：c5 C523 2,C9 C； C927 23,1 5913 Q115 5C13C13C13C1322 )1591317q15.C17C17C17C17C1722 )由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n N* , C4n1C4n 1 C9n1 L C案；答案：24n 11n 22n C：6n 1) 7n，故原式(7n 1)。6【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有n ,二项指数分别为24n1,22n1,因此对于n N* ,C4n1 C"C"L C4

11、n124n 11 n 22n 116.在(x2+ 3x+ 2)5的展开式中,A.160D.800117.已知 S= C10(xx的系数为B.240C.360_ 21) C10(x2 c331)C10(x 1)C；0(x 1)10在S的展开式中，x3项的系数为A. CB. CC.0D.110 C10 34110C10C4C10C10 52C10C5107C10C1018.(2002年全国高考题)(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是一 答案:100819 . (Jx 1)4 (x 1)5展开式中x4的系数为C.40A.-40B.10D.45992.20 .已知(JZ + 3x2)n展开

12、式中各项系数和比各项的二项式系数和大(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.22答案：(1)270x26(2)405x可21.设 nN，贝 IJC：C；6解:由二项式定理得1C；62C：6n1C16 Cn 62 C363n nCn 6(1 6)n ,即1 6(C；C26C36222.在(x、/2)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S，当x五时,A. 23008 B. 23008 C.23009D.23009解：令(x -.2 ) 2006a0a1x2a2x3a3x2005 a2005x2006x ,取 x 、2,xa。2 ala。2al行, (、2)，2

13、(2)2a2分另I得(2)3a3(2)3a32006x2006x两式相减得2a1( 2)3a3(.2 ) 2005a2300920052 3008故选B项。23.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元)，预计该地区 自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它 收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于()A.4200 元 4400元B.4400元 4600元C.4600 元 4800 元 D.4800 元 5000 元解：2008年农民工资性收

14、入为1800(1 0.06)5 1800(1 C5 0.06 C； 0.062)1800(1 0.3 0.036)1800 1.336 2405 (元)又2008年农民其它人均收入为1350 160 5 2150 (元)故2008年农民人均总收入约为 2405 2150 4555 (元)。故选B项。24. (2003)已知数列an (n为正整数)是首项是a1，公比为q的等比数歹(1)求和：a1c0a2c2果归纳概括出关于正整数a1c0 a2c2 a3c2a1 (12012a3c2 ， a1C3 a2C3 a3C3n的一个结论，并加以证明q)2 ；a4C；;(2)由(1)的结(DaC3 a2c3

15、 a3c3 a4c3 a1(1 q) ; (2)归纳概括的结论为：若数列an 是首项为a1,公比为q的等比数列，则a& a2Cn a3C2 a,C：( 1)nan 1Ca(1 q)n(n N),证明略n25. (2007湖北文、理)如果3x2 芸的展开式中含有非零常数项，则正整x数n的最小值为(B )A.3B.5C.6D.1026. (2007江苏)若对于任意实数x,有x3 a0 a(x 2) a?(x 2)2 a3(x 2)3,则 a?的值为(B)A. 3 B. 6 C. 9 D. 1227. (2007江西文)设(x2+1)(2x+ 1)9= a0+a(x +2)+&(x

16、+2)2+an(x +2)11,则 a0+a + a2+a11 的值为(A )A. 2 B. 1 C, 1 D, 228. (2007江西理)已知(Jx +处)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于(C )A. 4B. 5 C. 6 D. 729. (2007安徽文)已知(1 x)5 a。ax a2x2 a3x3 a4x4 a5x5JiJ(a0 a2 a4)(a1 a3 a5) 的值等于-256.30. （2005浙江卷理第5题）在（1 x）5+ （1 x）6 + （1 x）7+ （1 x）8的展开式中，含x3的项的系数是(A) 74 (B) 121 (C)74 (

17、D)-121答案：D-18 10.求（7x ）展开式中系数最大的项;2 . x解：记第r项系数为Tr ,设第k项系数最大，则有r 1又Tr C8 .2 r 1 ,那么有kk 1C8 .2k 1C8 2k 2C8 .2kC8.28!8!(k 1)!.(9 K)! (K 2)!.(10 K)!8!8!2 (K 1)!.(9 K)!K!(8 K)!1 2K 1 K 22 19 K K57解得3 k 4, 系数最大的项为第3项T3 7x±和第4项T4 7x2（1）系数绝对值最大的项例11.在（x y）7的展开式中，系数绝对值最大项是； 处理, 故此答案为第4项C；x3y4,和第5项 C；x2

18、y5。解：求系数绝对最大问题都可以将“（ab)n” 型WO(a b)n"型来31. (99全国)若(2x v3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ,则(a0 a2 a4 ) (a1 a3)的值为 ；解： (2x3)4a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4令 x 1,有(2 J3)4a。a1 a2 a3 a，令 x 1,有(2 a/3)4 (a0 a2 a4)(a1 a3)故原式=(a0 a1 a2 a3 a4).(a0 a2 a4 ) (a1 a3)=(2.3)4.( 23)4=(1)4132. (04天津)若(1 2x)2004 a0 a1x a2x2 . 200

19、4x2004 ,则（a。 a） （a。a2）（a。a2004）解：(1 2x)2004 a0 a1x a2x2 . 2004x2004,令 x 1 ,有(1 2 ) 2004 ao ai a2 a20041令x 0,有(1 0 ) 2004a。1故原式=(a0 a1a2 . a2004)2003a0=1 2003 2004在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言:1, 1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。33 .设(2x 1)6 a6x6 a5x5 . a1x a0,贝 1 a0 a1a2 . a6;分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第 二

20、步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：Tr 1 c6(2x)6r( 1)ra0 a1a2.a6 a° aia2a3a4a5 a6=(a°a2a4a6)(a1a3a5)=034 .(江苏省启东中学2008年高三综合测试一 法(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6且a1+a2+a6=63,则实数m的值为()A. 1 B. -1 C. -3 D. 1 或-3答案：D35.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)若(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2 .a5(x1)5,贝Ja=()A. 32 B. 1 C. -1 D. -32答案：A36.(河北省正定中学200

21、8年高三第五次月考)若二项式3x22- (n3- 、x*N )展开式中含有常数项，则n的最小取值是()答案：C37.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)设1+ (1+x) 2+ (1+2x) 2+ 2(1+3x) 2+ - + (1+nx) 2=a0+a1x+a2x2,贝U lim a-的值是()n a11 八A. 0B. 2C. 1D. 2答案：C38.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)代数式(4x2 2x 5)(x2 1)5的展开式中，含x4项的系数是A. 30B. 30C. 70D. 90答案：A n 139. (08年辽宁卷15)已知(1 x x2) x -3的展开

22、式中没有常数项， xn N ,且 2诉03 贝 n=.，一 、一， 一1c,分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 (x二)n对xn N ,2蒯n 8中，只有n 5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数白项。故填5。40. (04天津)若 1 2 x 2004 a。ax a2*2a2004x2004 (x R)，则a。 aia0 a2a0 a3a0 a2004 .解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又 可视为方程式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。解：取 x 0,x 1 得 a0 1 ; a° ai a?a2004

23、1故原式= 2003a0 (a° aa2004)200441. (2009北京卷理)若(1，/2)5 a b72(a,b为有理数)，则a b()A. 45 B. 55C. 70D. 80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.一.5.01234_ ，V 12 C；2C52 C；2C3 J2C542C；, 21 57220207220 4收4129/2,由已知，得412972a bJ2,.ab 412970.故选C.42. (2009江西卷理)(1 ax by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 ,不含y的项的系数绝对值的和为32 ,则a, b, n的值可能为A.a2,b1,n5B,a2,b1,n6C.a 1,b2,n6D,a1,b2,n 5答案：D【解析】(