九年级数学一元二次方程知识点及练习

1、学习必备知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(aw0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(aw。)3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理,?都能化成如下形式a

2、x2+bx+c=0(aw。)。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(aw0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。欢迎下载1二至二旅而的解法(1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x十a是b的平方根，当b之0时，x+a=±Jb,x=a±Jb,当b<0时，方程没有实数根。(2)配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论

3、根据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a+b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则有2_22x2±2bx+b2=(x±b)2。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=-p±，q；如果q<0,方程无实根.(3)公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2+bx+c=0(a手0)的求根公式：-b-b2-4ac2x=

4、(b-4ac-0)2a(4)因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式，通常用“”来表示，即A=b2-4ac知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打，不是的打“X”，并说明理由.(1)2x2-x-3=0.(2)-y-y2=0.(3)t2=0.学习必备欢迎下载CCC1x3-x2=1.(5

5、)x2-2y-1=0.(6)-12-3=0.x(7)x2-3x=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x2-4+6=0.(10)3x2=x-3.x41、若关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，则a的值是()(A)2(B)-2(C)0(D)不等于2222、已知关于x的方程(m+1X+(n3k+p=0,当时，方程为一次方程;当时，两根中有一个为零a。2-3、已知关于x的方程(m-2)xm+xm=0：(1) m为何值时方程为一元一次方程；(2) m为何值时方程为一元二次方程。22、关于x的万程3x+n2x6=0中a是；b是;c知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两

6、边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：21、已知万程3x-9x+m=0的一个根是1,则m的值是一.、一22、设a是一兀二次方程x+5x=0的较大根，那么a十b的值是(A)-4(B)-3(C)123、已知关于x的一元二次万程x+kx2=0(1) 求k的值；一2一一一.b是x3x+2=0较小根，()(D)2x1的一个解与方程=3的解相同。x-1(2) 求方程x2+kx2=0的另一个解。-b-b2-4acx二2a(b2-4ac20)；知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a#0),其中ax2是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。

7、特别警示：(1)“a#0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；(2)二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项22(2)5x10x-2.2=0(3)2x-15=022x3x=0(5)(x2)=3知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：(1) 直接开平方法：如果x2=k(k20),则x=±Jk(2) 配方法：要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方

8、法求解；2(3) 公式法：一兀一次万程ax+bx+c=0(a=0)的求根公式是学习必备(4) 因式分解法：如果(x-aXx-b)=0则x1=a,x2=b。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：、21、万程x2x=0的解是：()A.xi=x2=1B.xi=-1,x2=3C.xi=2,x2=0D.xi=-2,x2=02、方程(卡-1)x2=(1-后仅的较简便的解法应选用解为3、解下列方程：222(1) x+3=3(x+1)2x+x3=0(3)x+2x3=0欢迎下载(2) 当b2-4ac=0时，方程有两个相等

9、的实数根；(3) 当b24ac<0时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有b2-4ac>0o例题：、一21、已知万程x-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k=。22、当m满足何条件时，万程mx-2(m-1卜+9m-1=0有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、关于x的方程mx22(m+2)x+m+5=0无实根，试解关于x的方程2(m5k2(m+2N+m=0。(4) 23y2=2-，3y1.21(5) x-1=-x-13224、已知关于x的一兀二次方程x+4(m+1)x+2m1=0,求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。(6)(x3)2=2x-523y2

10、-6=y22y-22知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两个实数根为x1,x2,则知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a。0)的根的判别式是b24ac：(1)当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；bcx1十x2=一一，xx1=2一°aa温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：学习必备欢迎下载1、关于x的一元二次方程X2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是XnX2，且满足1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利600°元，同时又要使顾客得

11、到实惠，那么每千克应涨价多少元？X1+x2=x1x2,则k的值为：()33.(A)1或一(B)1(C)(D)不存在442、已知«,P是关于x的一元二次方程x2+(2m+3伙+m2=0的两个不相等的实数1 1根，且满足一+石=1,则m的值是()CLP(A)3或-1(B)3(C)1(D)-3或12 23、方程x3x6=0与方程x6x+3=0的所有根的乘积是一2,.2,.一.4、两个不相等的实数m,n满足m6m=4,n6n=4,则mn的值为。2.一5、设X1,X2是关于X的一元二次万程x+px+q=0的两个根，为+1区+1是关于2X的一元二次方程x+qx+p=0的两个根，则p,q的值分别等

12、于多少？知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：(1)审题(2)设未知数(3)列方程(4)解方程(5)检3i(6)写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。【考题1】(2009、襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为()A.9%B.10%C.11%D.12%【考题2】(2009、海口)某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元,【考题3】如图，在ABC中，/B=90°,AB=5,BC=7,点P从A点开始沿AB边向点B点以

13、1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于4?(2)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5?一元二次方程综合复习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()211222.A.3x1)=2x1B.2-0C.axbxc=0D.x2x=x1xx2、方程(m21)x2+mx5=0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是一()(A)mw1(B)mw0(C)|m|w1(D)m=±123、右x二1是一兀二次万程ax+bx-2=0的一个根，则a+b=。每天可售出500千克

14、，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价学习必备欢迎下载4、实数b6b-4aC是方程_的根()2a一(A)ax+bx+c=0(B)axbx+c=0223x2-5x+6=0(因式分解法)4.2x27x+3=0(公式法)(C)axbxc=0(D)ax+bxc=025、万程x-25=0的解是：()A.x1x2=5B.x1x26、关于x的一元二次方程=25C.x1=5,x2=-5D.x1=25,x2=-25kx2+2x-1=0两个不相等的实数根，则k的取值范围是()(A)k>-1(B)k>1(C)k#0(D)k>1且k=07、在下列方程中，有实数根的是A)x2+3x+1=0B)，4x+1,=一12一一一C)x2x3=0D)xx-1)1x-128、关于x的一兀二次万程2x-2x+3m-1=0有两个实数根x1,x2,且Xx2Ax1+x2Y,则m的取值范围是().5,155.1(A)m>(B)mW(C)m<(D)<m<323329.若(x+y)(1xy)+6=0,贝Ux+y的值是()A.2B.3C.2或3D.2或310、若(m+1)xm(m)+2mx1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是11、填上适当的数，使等