二元函数的极值

1、经济数学基础第4章多元函数的微分第三单元二元函数的极值第一节二元函数的极值一、学习目标偏导数的重要应用就是求极值问题.通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值.二、内容讲解1 .二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似.若对（X。"。）附近的（x,y）均有f（x°,y°）f（x,y）,则称（x。，%）是f（x,y）的极小点，f（x0,y。）是极小值.极大值点、极小值点统称为极值点.2 .极值存在的必要条件若一元函数y=f（x）在x。处可导，且x。是极值点，则f'（xo）=。若二元函数

2、z=f（x，y）在（xo，y。）处可导，且（xo，y。）是极值点，则fx'（x。，y。）=。fy'（x。，y。）=。3 .二元函数最大值、最小值若z=f（x，y）在闭区域D内连续，则z=f（x，y）在D内必有最大值和最小值.若z=f（x，y）在D内可导，且在D内有唯一驻点（x°，y。），则z=f（x，y）在该驻点（x。，y。）处的值就是最大值或最小值.4 .求最大值最小值应用问题的步骤：127经济数学基础第4章多元函数的微分(1)根据题意，建立函数关系;(2)求驻点;如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点).问题思考：二元函数的极值点与驻点之

3、间有什么关系？答案与一元函数类似,二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点.但偏导数存在的极值点一定是驻点.三、例题讲解/22222-；例1求函数z=(xy-2x)在圆域D=*x,y),xy-2x,上的最大值和最小值.22_o解：显然z*,且在闭域D上连续，当x+y=2x时，z=0,这是该函数在D上的最小值.：zcc-Z22-一2(x2y2-2x)(2x-2)=0=2(xy-2x)2y=0下面求最大值：&,y解得x=1y=0,222它是函数z=(xy-2x)在D内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为z(1,0)=1例2用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多

4、少时，才能用料最省？解：设长、宽分别为x，y,则高为,表面积为xycVVVVxyxyS=xy2x2y二xy2-2128经济数学基础第4章多元函数的微分Q2VS-x2V-0Sx=y-？=0Sy-X-0x,yV_匕V解得x=y=3为，此时高为xy232V答：当长、宽、高分别为3囚、短V、2时，无盖箱子用料最省.四、课堂练习某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关22系有如下经验公式R=15+14xi+32x2-8、x2-2xi-10x2，在广告费用不限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大.利

5、润=收入费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二者之和.这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题.解题思路：（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系.建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么.比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量.（3）求偏导数，并令其为0,得到联立方程组.（4）解联立方程组，得到符合题意的惟一驻点.

6、（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值.又本题只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点.（6）求出最值，写出答案.五、课后作业31.要造一个容积为1000cm的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最129经济数学基础第4章多元函数的微分省？2.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2;销量分别为q1和q2；需求函数分别为q=24-0.2P1,q2=10-0.05P2，总成本函数为C=35+40(qi+q2),试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大总利润是多少？1.当长、宽、高均为10cm时，所用材料最省.2.当pi=80,p

7、2=120时，可获最大禾I润为605.130经济数学基础第4章多元函数的微分第二节拉格朗日乘数法一、学习目标拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一.通过本节的学习，会用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题.二、内容讲解1 .条件极值在第4课的例2中，给定体积V,求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值.2 .拉格朗日乘数法求函数f（x，y，z）在条件4（x，y,z）二°下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数F=f（x，y，z）,（x，y，z）求F=f（x，y，z）+/（x，y,zN4j（无条件）

8、极化下nFn-Fn:F.=0,=0,=0,=(x,y,z)=0x二y二z一，解此方程组.问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？答箜个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出.解决条件极值问题常用的方法是拉格朗日乘数法.三、例题讲解用拉格朗日乘数法解上节中的例2:131经济数学基础第4章多元函数的微分求原题即为求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值.令L=xy2xh2yh：；，(xyh-V)=y2h

9、9;yh=0,.xL=x2h：；，xh=0,y：L八八八=2x2yxy=0,.:hy2hx2h2x2y=Axyh=V,由此可得：yhxhxy解得x=y=2h,再由xyh=v,解得x=y=2h=V2V四、课堂练习某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为x，y(吨)，又甲、乙两种产品产量总和为34(吨)，且其总成本为x，y的函数C=C(x，y)=6x2+10y2xy+30.求两种产品产量各为多少时，总成本最小？这是一个条件极值问题，即求在产量一定的条件下成本函数的最小值.这类题的解题思路是：(1)审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？(2)根据题意，设出变量，建立起函数关系，并找出条件函数.建立函数关系

10、，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么.比如，当售价为多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量.132,经济数学基础第4章多元函数的微分条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.（3）写出拉格朗日函数：F=f（x,y,z）+）2（x,y,z）其中，儿为待定的参数,求=f（x，y，z）+川（x，y，z）的（无条件）极值:干干：:F；:F二（x,y，z）=0解此方程组.（x，y，

11、z）就是原来的条件极值的可能极值点.（4）求出最值，写出答案.五、课后作业1 .某工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为10元/件、9元/件.若生产甲、乙两种产品分别为x件、y件时，总费用为400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）.问甲、乙产品的产量分别为多少件时，可使总利润最大？2 .已知某工厂生产A、B两种产品，产量分别为x，y（单位：千件），利润函数为2 2L（x，y）=2xx8y-3y-2（单位：百万元），已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料1000公斤，现有该原料3000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？3 .某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下经验公式22R=1514x132x2-8取2-2x1-10x2,若可使用的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略，使所获利润最大.4.试用拉格朗日乘数法求解：欲围一个面积为60平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米5元