人教版七年级数学下册培优新帮手专题05数与形的第一次联姻

1、5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1 .利用数轴能形象地表示有理数；2 .利用数轴能直观地解释相反数；3 .利用数轴比较有理数的大小；4 .利用数轴解决与绝对值相关的问题.例题与求解【例1】已知数轴上有A,B两点，A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点O的距离之

2、和等于.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A,B在数轴上的位置，求出A,B两点所表示的有理数.【例2在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示.有下面四个结论：abc<0,|ab|+|b-c|=|a-C,（a-b）（b-c）（c-a）>0,同<1bc,其中，正确的结论有（）个.abci_i1-ioiA.4B.3C.2D.1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到a<-1<0<b<c<1,再对代数式进行逐以一判断.【例3】如图所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点.如果|a+b|a2c|+|b

3、2c|a+b2c|=0,试确定原点O的大致位置.ACB1i1Aabca-b解题思路：从化简等式入手，而Cn'b是解题的关键.2例4(1)阅读下面材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB.当A,B两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时，如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;如图3,点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|ab|;如图4,点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(a)=|a-b|;综上，数轴上A、B两点之间的距离|

4、AB|=|ab|.(2)回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是;数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；当代数式|x+1|十|x2|取最小值时,相应的x的取值范围是.求|x1|+|x2|+|x3|+.+|x1997的最小值.JfO)?ab图1OAB1II0白b图2Ba0b0图3b0a图4（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式a-b所表示的意义，来回答所提出的具体问题.例5某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15,

5、7,11,3,14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来.解题的关键是怎样将实际问题转化为求y=xa1+xa2+,+xan的最小值.【例6】如图，A是数轴上表示一30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A,B,C在数轴上同时向正方向运动.点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒.设三个点运动的时间为t（秒）.（1）当t为何值时，线段AC=6（单位长

6、度）？（2）tw5时，设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PMPN=2时t的值.（湖北省荆州市竞赛试题）I、AOBC解题思路：（1）A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解.（2）先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，则分为“点P在M,N左边”，“点P在M,N之间”，“点P在M,N右边”三种情况来求解.能力训练A级1 .已知数轴上表示负数有理数m的点是点M,那么在数轴上与点M相距|m|个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是.（江苏省竞赛试题）2 .如果数轴上点A到原点的距离为3,点

7、B到原点的距离为5,那么A,B两点的距离为1,r,ri'',rr3 .点A,B分别是数-3,-1在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到AB的中点对应数2.'.3,则点A对应的数是，点A移动的距离是.（“希望杯”邀请赛试题）4 .已知a>0,b<0且a+b<0,那么有理数a,b,a,|b|的大小关系是.（用号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题），“一，什一、,1,，_,，一一、一一一，一，一5 .在数轴上任取一条长度为1999-的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是9（）.A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛试题）

8、6 .如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b2a,|ab|,|b|忖中，负数的个数有（）A.1B.2C.3D.4（“祖冲之”邀请赛试题）111>a0b7 .有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为（）.A.2a3b-cb.3b-cc.bcd.c-b1 I|III.-la01bc8.如图所示，在数轴上有六个，且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接近的整数是（）.ABCDEF_1_1»-311A.-1B.0C.1D.2（“希望杯”邀请赛试题）9 .已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：d

9、b0ac且61al=6|b|=3|c|=4|d|=6,求13a-2d|-|3b-2a|+|2bc的值.10 .电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从Ko向左挑一个单位到K1,第二步由E向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4,，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94.则电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数是.11 .如图，已知A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20,B点对应的数为100.(1)求过A,B中点M对应的数.(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁

10、Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数.(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数.AB-20100B级1 .有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则化简a+b|b1ac1c的结果为.2 .电影vv哈利波特中小哈利波特穿墙进入“93站台”的镜头(如示意图中M站台)，4构思奇妙，给观众留下深刻的印象.若A,B站台分别位于一2,1处，AN=2NB,则N站台用类似电影里的方法称为“站台”(时代学习报数学文化

11、节试题)NM-LJ_I1J-2409103 .在数轴上，若N点与原点O的距离是N点与三。若对应的点之间的距离的4倍，则N点表示的数是.（河南省竞赛试题）4 .若a>0,b<0,则使|xa|+|xb|=ab成立的x的取值范围是.（武汉市选拔赛试题）5 .如图，直线上有三个不同的点A,B,C,且AB#BC,那么，至ijA,B,C三点距离的和最小的点为（）.A.B点外B,线段AC的中点C,线段AC外一点D.无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）111ABC6 .点A1,%A,'An（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且AO=1,点A?在点A1的右边，且A2A1=2,点A3在点儿

12、的左边，且AjA2=3,点A4在点A3的右边，且A4A3=4,依照上述规律，点A2008,A2009所表示的数分别为（）A.2008,2009B.2008,2009C.1004,-1005D.1004,-1004（福建省泉州市中考试题）7 .设y=|x-1|+|x+1|,则下列四个结论中正确的是（）.A.y没有最小值B.只有一个x使y去最小值C.有限个x（不止一个）使y去最小值D.有无穷多个x使y取最小值（全国初中数学联赛试题）8 .如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且b2a=9,那么数轴的原点对应点是（）.ABCDA.A点B

13、.B点C.C点D.D点（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9 .已知|x+2|+1-X=9-|y-5|-|1+y|,求x+y的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）10 .如图，在环形运输线路上有A,B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨.要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小.求各仓库向其他仓库的调运量.11 .如图，数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是n,（n1）,；2,1,012；n2,n1,n.为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于

14、4.求n的最小值.,11.-(/?-1)-(/7-2)-2*1012旌m1n（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05数与形的第一次联姻例112提示：点A表示数为3或3,满足条件的点B共有4个.例2B提示：由数轴知a<-K0<b<c<1.，abcv0,故正确；由绝对值的几何意义知正确；ab<0,bc<0,ca>0,故(ab)(bc)(ca)>0,正确；|a|>1,1bc<1,|a|>1bc,不正确.例3原点O在线段AC上.例43,3,4|x+1|1或31WxW2997002例5如图，用A,B,C,D,E点顺时针排列依次表示一至五所

15、小学，且顺次向邻校调给x1,X2,X3,X4,X5台电脑.依题意得：7+X1-X2=11+X2-X3=3+X3-X4=14+X4-X5=15+%X1=10.得X2=X,3,X3=X12,X4=X1-9,X5=X15.本题要求y=|X1|+|X2|+|x3|+|x4|+|X5|的最小值，依次代入，可得y=|X1|+|x1-3|+|X12|+|X19|十|x15|.由绝对值几何意义可知，当X1=3时，y有最小值12.此时有X2=0,X3=1,X4=-6,x5=2.所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，t秒后，点A,B,C在数轴上表示的数分别这样调动的

16、电脑总台数最小为12台.例6(1)A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动.当点A运动到点C左侧时，.线段AC=6,6+6t=30+18+3t,解得t=14.当点A运动到点C右侧时，.线段AC-6,6t-6=30+18+3t,解得t=18.综上可知，t为14或18时，线段AC=6.(2)当点A,B,C三个点在数轴上同时向正方向运动为：6t-30,10+3t,18+3t.(3) .P,M,N分别为OA,OB,OC的中点.P,M,N三个点在数轴上表示的数分别为：6t-30,101双,18+3t.且点M始终在点N左侧.222若点P在M,N左边，则PM=10+3t6t-30=20-1.5t,PN=18+

17、3t6t-30=241.5t.2PM-PN=2,2(201.5t)(241.5t)=2,.t=28.3若点P在M,N之间，则PM=6t3010=20+1.5t,22PN=18+3t-6t-30=24-1,5t.222PM-PN=2,2(20+1.5t)(241.5t)=2,.-.t=44.3若点P在M,N右边，则PM=6t-3010+3t=20+1.5t,PN=6t-3018+3t=-24+22221 .5t.2PM-PN=2,2(20+1.5t)(24+1.5t)=2,.t=12.但此时PM=20+1.5t<0,所以此情况不成立综上可知，t=竺或丝时符合题意.33A级1.2m2.2或8

18、719'11.5153.7,提示：AB的长为卜(2一，A'对应的数为3-X-44<2.J|222为7(3)=q.444.bvavav|b|5.C6.B7.C8.C9.5K100点所表示的有理数分别为10. 30.06提示：设K0点表示的有理数为x,则K1，K2,x1,x1+2,x1+23,x1+23+4一99+100.由题息得x1+23+499+100=19.94.11. (1)M点对应的数为-20+100=40.(2)相遇时间为口叫二传秒，C点对应的数为10026412X6=28.(3)追击时间为60秒，D点对应的数为一260.11. -22.-133 .24或40.提

19、示：设N点对应的数为x,根据绝对值的几何意义可知|x|=4|x30|.对x分情况讨论得出x=24或x=40.4 .b<x<a5.A6.C7.D8.C9 .原式化为|x+2|+|1-x|十|y5|+|1+y|=9.|x+2|+|1x|>3,当一2WxW1时等号成立；|y5|+|1+y|>6,当一1WyW5时等号成立.，x+y的最大值=1+5=6;*+丫的最小值=-21=-3.110 .调运后各仓库的存货量都相等，应为一X(50+84+80+70+55+45)=64吨.6设A库运往B库xB吨，B库运往C库xC吨，C库运往D库xD吨，D库运往E库xE吨，E库运往F库xF吨，F库运往A库xA吨，故有:50+xAxB=84+xBxC=80+xC-xD=70+xDXe=55+XeXf=45+XfXa=64.所以，Xb=Xa14,Xc=Xb+20=Xa+6,Xd=Xc+16=Xa+22,Xe=Xd+6=Xa+28,Xf=Xe-9=Xa+19.若使调运量最小，则有y=|Xa|+|Xb