曲面及其方程部分

1、四、二次曲面四、二次曲面第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四第四节节 二次曲面二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念三、三、旋转曲面旋转曲面 二二、柱面柱面1五五、二次方程的化简、二次方程的化简一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离等距离222(1)(2)(3)xyz26270 xyz化简得化简得即即引例引例 222(2)(1)(4)xyz解解: : 设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为( , , ),M x y z,AMBM 则则的点的轨迹方程的点的轨迹方程. 2说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂

2、直平分面的垂直平分面. .显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .26270 xyz轨迹方程轨迹方程ABAB3定义定义1. 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上

3、的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,0),(zyxFSxyzO4曲面研究的两个基本问题曲面研究的两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 5故所求方程为故所求方程为例例1 求动点到定点求动点到定点( , , ),M x y z0000(,)Mxy z轨迹方程轨迹方程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解：设解：设轨迹上动点为轨迹上动点为0M MR 即即依题意依题意距离为距离

4、为 R 的的222zRxy 表示上表示上(下下)半球面半球面 .222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR 2222xyzR xyzoM0M6例例2 研究方程研究方程222240 xyzxy 解解: : 配方得配方得50(1,2,0),M 此方程表示此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程一般地如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. . 其图形可能是其图形可能是表示怎样表示怎样的曲面的曲面. . 半径为半径为的球面的球面. .222()0A xyzDxEyFzG 球心为球心为 一个球面一个球面, 或点或点,

5、或虚轨迹或虚轨迹.222(1)(2)5xyz7xyz二二、柱面柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyR 解解: :在在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆C, 222xyR 222xyR 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面故在故在空间中空间中222xyR 过此点作过此点作平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,称为称为圆圆柱面柱面. .对任意对任意 z ,表示圆柱面表示圆柱面. .oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 1( , ,0),Mx yl1M( , , )M x y z点点其

6、上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,M8l定义定义2. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l形成的轨迹叫做柱面形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面表示抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线准线l为为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.22yx CC 叫做准线叫做准线, l 叫做母线叫做母线.xy22 xozy9 22221xyab0 xy表示母线平行于表示母线平行于z 轴的平面轴的平面. (且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于z 轴轴的椭圆柱面的椭圆柱面.xozyxy xyzo10一般地一般地,在三维空间二元

7、方程表示柱面在三维空间二元方程表示柱面.方程方程母线母线准线准线0),( yxF平行于平行于z 轴轴在在xoy 面面x 轴轴0),( zyG0),( xzHyoz 面面zox 面面y 轴轴图形图形xyzxzyxyz11定义定义3 3 一条平面曲线一条平面曲线三三、旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条定直线绕其平面上一条定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 :1211yMOMO 又又建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为, ),(zyxM

8、当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,11(,)0f y z 111(0,),My zC 在曲面上任取一点在曲面上任取一点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM2211,xyyzz则有则有22(, )0fxyz此时有此时有该点转到该点转到( , )0f y z ozyxCO 13思考：当曲线思考：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？:( , )0Cf y z 22(,)0fyxz oyxz14例例3. 试试建立顶点在原点建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角半顶角为为 的圆锥面方程的圆锥面方程. 解：解： 在在yoz

9、面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotzy 绕绕z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为22cotzxy 2222()zaxy cota 令令xyz两边平方两边平方L), 0 (zyM15例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线22221xzac分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面轴旋转一周所生成的旋转曲面方程方程. 16xy解解: :绕绕 x 轴旋转所成曲面方程为轴旋转所成曲面方程为222221xyzac 绕绕 z 轴旋转所成曲面方程为轴旋转所成曲面方程为222221xyzac 这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .z

10、22221xzac22221xzac1718空间曲线及其方程空间曲线及其方程一条空间曲线看作两个曲面的交线，设曲面一条空间曲线看作两个曲面的交线，设曲面，的方程分别为：的方程分别为：和和0),(0),(21 zyxGzyxFSS ，的方程为：的方程为：的交线的交线和和曲面曲面0),(0),(21zyxGzyxFCSS称之为称之为空间曲线的一般式方程空间曲线的一般式方程.19 设有空间曲线设有空间曲线C，过曲线，过曲线C上的每一点作上的每一点作xOy面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于z轴且轴且过过C的柱面，称之为曲线的柱面，称之为曲线C关于关于xOy面的面的

11、投影柱投影柱面面.这个柱面与这个柱面与xOy面的交线称为曲线面的交线称为曲线C在在xOy面面上的上的投影曲线投影曲线，简称，简称投影投影. . 0),(0),(zyxGzyxFC，的方程为：的方程为：曲线曲线 由此方程组消去由此方程组消去z得到方程得到方程H(x,y)=0就是曲线就是曲线C关于关于xOy面上的投影柱面方程面上的投影柱面方程.20 投影柱面与投影柱面与xOy面的交线就是曲线面的交线就是曲线C在在xOy面面上的上的投影曲线投影曲线，即，即 . 00),(zyxH，就是曲线就是曲线C在在xOy面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.22222面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程在在求求

12、曲曲线线xOyzyxyxzC2 例例解解：.0122 zyx投投影影曲曲线线方方程程为为四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. 0GxHyIzJ(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )21FzxEyzDxyCzByAx 2221. 1. 椭

13、球面椭球面2222221( , ,xyza b cabc为为正正数数) )(1)(1)范围：范围：,xaybzcyxz22(2)(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆22221,0 xyabz 22221,0yzbcx 222210 xzacy ozyx2222221( , ,xyza b cabc为为正正数数) )23与与11()zzzc的交线为的交线为椭圆椭圆：1zz 同样同样11()yyyb11xxxa（）及及的截痕的截痕也为椭圆也为椭圆. .(3) 截痕截痕: :2222222222111()()abccxyczcz2222221( , ,xyza b cabc为为正正数数)

14、)ozyx24(4) 当当 ab 时为旋转椭球面时为旋转椭球面;当当abc时为球面：时为球面：1222222 czayax由看作椭圆由看作椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成12222 czaxz222221xyzac 或或.2222azyx 252. 椭圆椭圆锥面（二次锥面）锥面（二次锥面）22222( ,)xyza bab为为正正数数zxyoxyz263. 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面zxy2222221 ( , ,)xyza b cabc为为正正数数zxyzxy27(2) 双叶双曲面双叶双曲面2222221( , ,)xyza b cabc 为为正正数数1yy 平平面面

15、上上的的截截痕痕为为双双曲曲线线1xx 平平面面上上的的截截痕痕为为双双曲曲线线11()zzzc平平面面上上的的截截痕痕为为椭椭圆圆zxyo28注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 2222221xyzabc单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面2222221xyzabc 294. 抛物面抛物面2222xyzpq(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面( p , q 同号同号) )特别特别, ,当当 p = q 时为绕时为绕 z 轴的轴的旋转抛物面旋转抛物面. .zxyoxyzo0, 0 qp0, 0 qpzpypx 222230(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍

16、形曲面）2222xyzpq( p , q 同号同号) )xyzo31内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程( , )0F x y z 球面球面2222000()()() =xxyyzzR 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线( , )00f y zx 绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:22(, )0fxyz 柱面柱面如如,曲面曲面( ,)0F x y 表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.322. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程( ,)p q同同号号 椭球面椭球面2222221xyzabc 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面2222xyzp

17、q2222xyzpq 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面: 22222xyzab2222221xyzabc2222221xyzabc 33五、二次曲面的化简五、二次曲面的化简 利用化二次型为标准形的方法通过正交变换利用化二次型为标准形的方法通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，以进和平移变换把一般二次方程化为标准方程，以进一步判别曲面的类型一步判别曲面的类型.34例例0122222 yxyzxzxy将二次曲面将二次曲面化为标准方程，并指出它是什么曲面化为标准方程，并指出它是什么曲面.35解：解： 令令 011101110A则原方程可以写为则原

18、方程可以写为 ，TT,0 ,2,2zyxub )1(. 01TT ubAuu求出矩阵求出矩阵A的特征值及对应的标准正交向量的特征值及对应的标准正交向量分别为分别为,31,31,312T11 q， 36T3T23262,61,61,0 ,21,211 qq， 令令),(321qqqQ 则有则有),0 , 2, 0(),1, 1, 2(diagTT QbAQQ式变为式变为则则，其中，其中作正交变换作正交变换)1(,),(T111zyxvQvu 01TTT QvbAQvQv即即, 01221212121 yzyx37配方得配方得, 0)1(2212121 zyx作平移变换作平移变换 1212121zzyyxx可得可得, 02222222 zyx这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个圆锥面圆锥面.5x 229xy1yx斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴轴的直线