高考专题复习第一节　随机抽样与统计图表

1、第十章 统计初步及统计案例第一节随机抽样与统计图表学习要求-公众号：新课标试卷:1.理解随机抽样的必要性和重要性,会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.2.了解分层抽样和系统抽样方法,了解茎叶图,折线图,扇形图,并体会它们各自的特点.在本考点中,命题形式多以实际应用为背景进行考查分层抽样或系统抽样,有时也常结合概率问题进行综合交汇命题.1.总体、个体、样本、样本容量的概念统计中所考察对象的全体构成的集合看作总体,构成总体的每个元素作为个体,从总体中抽取的各个个体所组成的集合叫样本,样本中个体的个数叫样本容量.2.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样

2、本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.3.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)将总体的N个个体编号.(2)确定分段间隔k,对编号进行分段.这里的间隔一般为k=NnNn表示不大于Nn的最大整数.(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk).(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+k,再加k得到第3个个体编号l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.4.分层抽样定义:当总体由差异明显的几个部分组成时,按某种特征将总体分成

3、互不交叉的层,然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.5.统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具,常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形统计图、茎叶图等.1.下列四个选项中,其中正确的是()A.简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关B.系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样C.在分层抽样的过程中,哪一层的样本越多,该层中个体被抽到的可能性越大D.要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平答案B简单随机抽样,分层抽样每个个体被抽到的

4、概率均相同,故A、C错误;对于D选项,剔除2个学生是采用简单随机抽样的方法进行剔除的,所以对剔除者是公平的.2.采用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A.40,5B.50,5C.5,40D.5,50答案A因为2 00550=40余5,所以用系统抽样法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本,抽样间隔是40,且应随机剔除的个体数为5.故选A.3.(人教A版必修3 P64 A5改编)某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从男学生中抽取的人数为100,那么n=

5、()A.200B.300C.400D.500答案A每个个体被抽到的概率为100800=18,应抽取的教师人数为20018=25,应抽取的女学生人数为60018=75,故样本容量n=25+75+100=200.4.(易错题)为了了解2020年参加市运动会的240名运动员的身高情况,从中抽取40名运动员进行测量.下列说法正确的是()A.总体是240名运动员B.个体是每一名运动员C.40名运动员的身高是一个个体D.样本容量是40答案D根据统计的相关概念并结合题意可得,此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身高,而不是运动员,并且一个个体是指一名运动员的身高,选项A,B表达的对象都是运

6、动员,选项C未将个体和样本的概念理解透彻.在这个问题中,总体是240名运动员的身高,个体是每名运动员的身高,样本是40名运动员的身高,样本容量是40.因此选D.易错分析对于选项A、B,易对总体、个体、样本的概念把握不准,误认为考察的对象是运动员;对于选项C,易把个体和样本混淆致误.5.(易错题)对于下列抽样方法:运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道;从20个零件中一次性拿出3个来检验质量;某班50名学生,指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛;为了保证食品安全,从某厂提供的一批月饼中,拿出一个检查后放回,再拿一个检查,反复5次.其中,属于简单随机抽样的是.(把正确的序号都填上)答案解析对于,

7、一次性拿出3个来检验质量,违背简单随机抽样特征中的“逐个”抽取;对于,指定其中成绩优异的2名学生,不满足等可能抽样的要求;对于,不满足不放回抽样的要求.故填.易错分析对简单随机抽样的概念理解不透彻,不能正确区分三大抽样方法的异同点.简单随机抽样1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;盒子里共有80个零件,从中抽取5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后把它放回盒子里,再抽取下一个零件进行质量检验; 从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0B.1

8、C.2D.3答案A不是简单随机抽样;因为被抽取样本的总体容量是无限的,而不是有限的;不是简单随机抽样;因为它是有放回抽样;不是简单随机抽样;因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;不是简单随机抽样;因为不是等可能抽样.2.已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击中至少3次击中目标的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;再以每4个随机数为一组,代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:752702937140985703474373863669471

9、41746980371623326168045601136619597742476104281据此估计,该射击运动员4次射击中至少3次击中目标的概率为.答案0.75解析4次射击结果中至少有2次没有击中目标的有7140,1417,0371,6011,7610,所以所求概率P=1-520=1520=0.75.3.(2020山西运城三模)总体由编号为01,02,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为.7816657208026314070243699728019832049234493582

10、003623486969387481答案28解析从选定的两位数字开始向右读,剔除不合题意及与前面重复的编号,得到符合题意的编号分别为16,08,02,14,07,28,因此选出来的第6个个体的编号为28.名师点评1.简单随机抽样的特点:(1)抽取的个体数有限.(2)逐个抽取.(3)不放回抽取.(4)等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.2.抽签法与随机数法的适用情况:(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.系统抽样典例1(1)某学校为了解1 000名新生的身

11、体素质,将这些学生编号为1,2,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生(2)采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为()A.7B.9C.10D.15答案(1)C(2)C解析(1)根据题意,系统抽样是等距抽样,所以抽样

12、间隔为1 000100=10.因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数,结合选项知应为616.故选C.(2)由题意知将960人分成了32组,每组30人,第k组选出的人的号码为30(k-1)+9(k=1,2,32),令45130(k-1)+9750,解得23615k25710,又kN*,故k=16,17,25.故选C.变式探究本例(1)条件不变,则被抽到的学生的最小编号为,最大编号为.答案6;996解析根据题意,可知此系统抽样的抽样间隔为1 000100=10,共分100组,46号在第5组,被抽到的最小编号在第一组,是46-104=6,最大编号在第100组,是46+1095=99

13、6.名师点评1.系统抽样掌握“4特点”(1)适用于元素个数很多且均衡的总体.(2)每个个体被抽到的机会均相等.(3)总体分组后,在起始部分的抽样采用简单随机抽样.(4)若总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔k=Nn.2.系统抽样谨防“1易错”用系统抽样法抽取样本,当Nn不为整数时,取k=Nn,即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N-nk)个个体,且剔除的多余的个体不影响抽样的公平性.1.现用系统抽样方法从已编号(160)的60枚新型导弹中随机抽取6枚进行试验,则所抽取的6枚导弹的编号可能是()A.5,10,15,20,25,30B.2,4,8,16,32,48C.5,15,25,35,4

14、5,55D.1,12,34,47,51,60答案C2.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本,若抽出的产品中有一件产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为()A.73B.78C.77D.76答案B样本的分段间隔为8016=5,所以13号在第三组,则最大的编号为13+(16-3)5=78.分层抽样角度一求总体容量或样本容量典例2(1)(2020黑龙江哈师大附中期末)某中学有高中生480人,初中生240人,为了了解学生的身体状况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取容量为n的样本,其中高中生有12人,那么n等于()A.6B.9C.12D.18(2)(2

15、020陕西西安模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区中抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为()A.101B.808C.1 212D.2 012答案(1)D(2)B解析(1)由分层抽样的性质得:n480+240=12480,解得n=18.(2)甲社区每个个体被抽到的概率为1296=18,样本容量为12+21+25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N=10118=808.角度二求每层中的样本数

16、量典例3(1)(2020广东深圳高级中学适应性考试)某校举行“我和我的祖国”文艺汇演,需征集20名志愿者参与活动服务工作,现决定采取分层抽样的方式从“摄影协会”“记者协会”“管理爱好者协会”中抽取,已知三个协会的人数比为523,且每个人被抽取的概率为0.2,则该校“摄影协会”的人数为()A.10B.20C.50D.100(2)(2020江西新余模拟)分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法.在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱多少衰出之,问各

17、几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案(1)C(2)B解析(1)由题意知从“摄影协会”中抽取的人数为55+2+320=10,因为每个人被抽取的概率为0.2,故该校“摄影协会”的人数为100.2=50.(2)依题意由分层抽样可知,100(560+350+180)=10109,则甲应付:10109560=5141109(钱);乙应付:1010

18、9350=3212109(钱);丙应付:10109180=1656109(钱).故选B.名师点评分层抽样的注意事项:(1)分层抽样中分多少层及如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样,故所有层中每个个体被抽到的可能性相同.(3)抽样比=样本容量总体容量=各层抽取的个体数该层的个体数.(4)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.1.某校为了解学生的学习情况,采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中抽取81人进行问卷调查,若高二被抽取的人数为30,则n=()A.860B

19、.720C.1 020D.1 040答案D由已知条件知抽样比为301 200=140,所以811 000+1 200+n=140,解得n=1 040,故选D.2.(2020黑龙江齐齐哈尔一模)为了了解民众对新能源汽车的认可程度情况.对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查.假设四个单位的人数有如下关系:乙的人数是甲、丁人数的等比中项.甲、乙人数之和比丙的人数少30,且丙单位有66人.用分层抽样的方法从甲、乙两个单位抽取的人数之比为12,则这四个单位的总人数N为()A.150B.120C.140D.160答案A设甲单位的人数为x,从甲、乙两个单位抽取的人数之比为12,故乙单位的人数为2x

20、.甲、乙的人数之和比丙的人数少30,故丙的人数为3x+30.乙的人数是甲、丁人数的等比中项,丁的人数为4x.已知丙单位有66人,即3x+30=66,求得x=12,故甲、乙、丙、丁单位的人数分别为12,24,66,48,故总人数N=12+24+66+48=150.统计图表1.(2018课标全国,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加

21、了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案A设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知:种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a0.06a0.3a0.04a建设后经济收入0.74a0.56a0.6a0.1a根据上表可知B、C、D结论均正确,结论A不正确,故选A.2.某城市为了了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量的高峰期大

22、致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案A观察题中2014年的折线图,发现从8月至9月,以及从10月开始的三个月的月接待游客量都是减少的,故A选项中的结论是错误的.名师点评(1)通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.(2)折线图可以显示随时间而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.A组基础达标1.(2020山东青岛质量检查)为庆祝中华人民共和国成立70周年,我国于2019年10月1日在北京天安门广场举行了大型阅兵仪式.在此次活动中,共有15个徒步方队,32个装备方队,12个空中梯队,约15 000

23、名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅.若按照方队个数进行分层抽样,从徒步方队与空中梯队中共选出18个方队,则选出的空中梯队的个数为()A.12B.10C.8D.6答案C空中梯队所占的比例为1215+12=49,故选出的空中梯队的个数为1849=8.2.(2020湖北十堰第二次诊断考试)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()781665720802631407024369972801983204923449358200362348696938

24、7481A.08B.07C.02D.01答案D从选定的两位数字开始向右读,剔除不合题意及与前面重复的编号,得到符合题意的编号分别为08,02,14,07,01,因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D.3.(2020湖北黄石第二中学模拟)为了解某校高三学生的身体状况,采用分层随机抽样的方法从本年级学生中随机抽取部分男生和女生进行体重测量,并将男生的体重数据整理得到如图所示的频率分布直方图,已知从左到右前三个小组的频率之比为123,第二个小组的频数为10,若该年级中男、女生比例为43,则从该年级中抽取的学生总数为()A.40B.70C.210D.30答案B4.(多选题)(2020山东济南模拟)

25、随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时,该家庭的消费结构也发生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线图:则下列结论中错误的是()A.该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B.该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C.该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D.该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍答案ABD5.(2020河南郑州第一次模拟)国家统计局服务业调查中心和中

26、国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示,则下列结论中错误的是()A.12个月的PMI不低于50%的频率为13B.12个月的PMI的平均值低于50%C.12个月的PMI的众数为49.4%D.12个月的PMI的中位数为50.3%答案D从题图中数据的变化看,PMI不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI不低于50%的频率为412=13,所以A中结论正确;由题图可以看出,PMI的平均值低于50%,所以B中结论正确;12个月的PMI的众数为49.4%,所以C中结论正确;12个月的PMI的中位数为49.6%,所以D中结论错误

27、.6.(2020辽宁抚顺高考模拟)如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图.根据图中的信息,判断下面说法错误的是()A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差答案B由题意得甲厂轮胎宽度的平均数是195,众数是194,中位数是194.5,极差为3,乙厂轮胎宽度的平均数是194,众数是195,中位数是194.5,极差为5,故A,C,D中说法正确,B中说法错误.7.(2020江西八校联考)从编号为001,002,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样

28、本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为()A.480B.481C.482D.483答案C根据题意及系统抽样的定义,相邻两编号的差为25,设分为了n组(nN*),所以7+25(n-1)500,所以n51825,n的最大值为20,得最大的编号为7+2519=482.8.(2020河南平顶山期末)某中学初中部共有240名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该中学的男教师的人数为()A.93B.123C.162D.228答案C该中学初中部共有240名教师,其中男教师占30%,则男教师有24030%=72人,高中部共有150名教师,其中男教师占60

29、%,则男教师有15060%=90人,所以该中学的男教师共有72+90=162人.9.(2020河南洛阳月考)一家大型公司共有员工1 000名,为了比较他们的收入状况,公司收集了他们9月份的工资数据共1 000个,要比较该公司员工的收入差距,用统计图比较简便.答案条形统计图解析由于1 000个数据是比较多的,因此用茎叶图不现实.如果用折线统计图,绘图是一个很复杂的工作,而采用条形统计图,可以看出员工的收入差别情况,故采用条形统计图最为简便.B组能力拔高10.(2020湖北荆州模拟)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为001,002,500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,分组后,在

30、第一组采用简单随机抽样抽得的号码为003.这500名学生分别在三个考点考试,从001到200在第一考点,从201到355在第二考点,从356到500在第三考点,则在第三考点考试的人数为()A.14B.15C.16D.21答案A由题意可知,将500名学生平均分成50组,每组10人,第k(kN*)组抽到的号码为10(k-1)+3.令35610(k-1)+3500(kN*),解得37k50,则满足37k50的正整数k有14个,故在第三考点考试的学生人数为14.故选A.11.某高中在校学生有2 000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各

31、年级参与比赛的人数情况如下表:高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中abc=235,全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取了一个容量为200的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取人.答案36解析根据题意可知,样本中参与跑步的人数为2001-25=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为12032+3+5=36.12.用分层抽样的方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据如下表:相关人数抽取人数高一99x高二27y高三182(1)求x,y的值;(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人,求这2人都来自高二年

32、级的概率.解析(1)由题意可得x99=y27=218,解得x=11,y=3.(2)记从高二年级抽取的3人为b1,b2,b3,从高三年级抽取的2人为c1,c2,则从这两个年级抽取的5人中选2人的基本事件共有10个:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(b3,c1),(b3,c2),(c1,c2),设所选的2人都来自高二年级为事件A,则A包含的基本事件有3个:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),则P(A)=310=0.3,故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3.C组思维拓展13.为了考察某校的教学水平,将抽取该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况,采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同):从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取20人,考察他们的学习成绩;每个班都抽取1