流体力学II复习

1、1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 卡门涡街卡门涡街2矢量形式：矢量形式：可压缩流体的可压缩流体的定常流动：定常流动：不可压缩流体的定不可压缩流体的定常或非定常流动：常或非定常流动：0)(vt0)()()()(zyxvzvyvxv0zvyvxvvzyx0)()()(zyxvzvyvxt3涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 一、涡线一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该一条曲线，在给定瞬时，这条曲

2、线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。点的流体微团的角速度的方向相重合。1234涡线的微分方程涡线的微分方程),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx4涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡管强度守恒定理涡通量涡管强度守恒定理 二、涡管二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。三、涡束三、涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量四、涡通量( (涡管强度涡管

3、强度) ) 旋转角速度的值与垂直于角速度方旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。dAdJ22nxyzAAAJdAd Adydzdzdxdxdy 5涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡管强度守恒定理涡通量涡管强度守恒定理 五、涡管强度守恒定理五、涡管强度守恒定理在同一时刻，同一涡管的各个截面上，涡通量都是相在同一时刻，同一涡管的各个截面上，涡通量都是相同的。即涡管强度是守恒的，与截面的选取无关。同的。即涡管强度是守恒的，与截面的选取无关。 1122AA 2n6 斯托克斯定理斯托克斯定理 一、速度环量一、速度环量 速度在某一封闭周线的线

4、积分。速度在某一封闭周线的线积分。)(dzvdyvdxvsdvzyx 速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线绕行的而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线绕行的正正方向为封闭曲线所包围的区域总在先进方向的左侧。方向为封闭曲线所包围的区域总在先进方向的左侧。xy7 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。面的涡通量。AnKKdAsdv2()xyzxyzAv dxv

5、dyv dzdydzdzdxdxdy8Re0.50.5Re709一、欧拉运动微分方程式一、欧拉运动微分方程式2dyypp2dzzpp2dxxpp2dxxpp2dzzpp2dyypppyfxfzfzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1矢量形式矢量形式10二、欧拉积分式二、欧拉积分式常数22vpF欧拉积分式欧拉积分式物理意义：物理意义：理想不可压缩流体和可压理想不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用缩的正压流体，在有势的质量力作用下作下作无旋流动无旋流动，流场中，流场中任一点任一点的单位的单位质量流体质量力的位势能、压强势能质量流体质量力的位势能、压

6、强势能和动能的总和保持不变，且这三种机和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。械能可以相互转换。11二、伯努利积分式二、伯努利积分式( (续续) )常数22vpF伯努利积分式伯努利积分式物理意义：理想物理意义：理想不可压缩流体和可压缩不可压缩流体和可压缩的正压流体，在的正压流体，在 有势的质量力作用下有势的质量力作用下作作有旋流动有旋流动时，时，沿同一条流线沿同一条流线上各点单上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。能可以相互转换。12三、伯努利方程三、伯努利方程伯

7、努利方程伯努利方程常数22vpgz物理意义物理意义：在重力作用下不可压缩理想：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于流体作定常流动时，对于有旋流动，沿有旋流动，沿同一条流线同一条流线单位质量流体的位势能、压单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于强势能和动能的总和保持不变；对于无无旋流动，在整个流场旋流动，在整个流场中总机械能保持不中总机械能保持不变变. .13有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网一、有势流动一、有势流动 速度势速度势( (续续) )（1 1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相

8、应坐标的偏导数（2 2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。的速度势之差。（3 3）不可压有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。）不可压有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。zvyvxvzyxzvrvrvzr1ABBABABAzyxABddzzdyydxxdzvdyvdxv02222222zyx14有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网（1 1）速度与流函数的关系）速度与流函数的关系（2 2）在平面流动中，任意两点的流函数值之差，恰为通过两点）在平面流动中，任意两点的流函数值之差，恰为通过两点

9、连线的单位厚度的流量。连线的单位厚度的流量。（3 3）对于平面不可压缩势流（无旋流），流函数满足拉普拉斯方程。）对于平面不可压缩势流（无旋流），流函数满足拉普拉斯方程。二、流函数二、流函数( (续续) )coscos()()BBBBVnxyxyxyBAAAAAdydxqv dlvvdlvvdlv dyv dxdldl222220 xy xvyvyxrvrvr115有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网三、流网三、流网1.1.速度势速度势 和流函数和流函数 的关系的关系xyvyxvyx0)(yyxx等势线簇等势线簇 和流线簇和流线簇 相互垂直。相互垂直。常数),(yx常数),(

10、yx16有势流动有势流动 速度势和流函数速度势和流函数 流网流网三、流网三、流网( (续续) )2.2.流网流网在平面上，等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网。在平面上，等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网。17几种简单的平面无旋流动的叠加几种简单的平面无旋流动的叠加一、叠加原理一、叠加原理 叠加公式叠加公式1.1.叠加原理叠加原理(1)(1)几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。(2)(2)几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新无旋几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新无旋流动的速度势函数和流函数。流动的速度势函数和流函数。(3)(3)新

11、无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。新无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。2.2.叠加公式叠加公式.321.32118平行流绕过圆柱体无环流的平面流动平行流绕过圆柱体无环流的平面流动8.8.三孔圆柱探针三孔圆柱探针)sin41 (2122vpp22111 4sin2ppv2221(1 4sin)2ppv22311 4sin2ppv22221310,211 4sin2ppvpppv19平行流绕过圆柱体有环流的平面流动平行流绕过圆柱体有环流的平面流动库塔库塔- -儒可夫斯基公式儒可夫斯基公式7.7.库塔库塔- -儒可夫斯基公式儒可夫斯基公式vdprFFyLsin200 理想流体有环量绕流圆柱理

12、想流体有环量绕流圆柱体，在垂直于来流方向上，流体，在垂直于来流方向上，流体作用于单位长度圆柱体的升体作用于单位长度圆柱体的升力的大小等于密度、来流速度、力的大小等于密度、来流速度、和速度环量三者的乘积。和速度环量三者的乘积。20一、边界层一、边界层边界层的基本概念边界层的基本概念1.1.边界层的概念边界层的概念 在大雷诺数下紧靠物体表面流速在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。级的薄层称为边界层。 在实际应用中规定从固在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到体壁面沿外法线到速度达到势流速度的势流速度的99%99%处的

13、距离为处的距离为边界层的厚度。边界层的厚度。2.2.边界层的厚度边界层的厚度v0.99v0.99v21一、边界层（续）一、边界层（续）边界层的基本概念边界层的基本概念3.3.边界层的特征边界层的特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层（1 1）与物体的长度相比，）与物体的长度相比， 边界层的厚度很小；边界层的厚度很小；（2 2）边界层内沿边界层厚）边界层内沿边界层厚 度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3 3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4 4）边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；）边界

14、层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5 5）在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；）在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；（6 6）边界层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。）边界层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。22一、边界层（续）一、边界层（续）边界层的基本概念边界层的基本概念4.4.判别边界层层流、紊流的准则数特征判别边界层层流、紊流的准则数特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层Rexvxx离物体前缘点的距离离物体前缘点的距离临界雷诺数临界雷诺数56Re5 103 10 x 23vvv0.99v第三式表明边界层内第三式表明边界层内y方向压强方向压强梯

15、度为零，即边界层内横截面梯度为零，即边界层内横截面上各点的压强相等。上各点的压强相等。边界层外边界层外缘上的压强缘上的压强由势流决定：由势流决定：22 01 0yxxxxxyvvxyvvvpvvxyxypy ddddpvvxx 边界层的微分方程边界层的微分方程边界条件：边界条件： 0,0,0;,xyxyvvyxvv x220111xyvdpdvdvvvydxdxdx 24边界层的动量积分关系式边界层的动量积分关系式ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCA根据动量方程，得根据动量方程，得002wxxxpdyvxvdyvx002wxxdxdpdyvdxdvdyvdxd25边界层的位

16、移厚度和动量损失厚度边界层的位移厚度和动量损失厚度 边界层的位移厚度边界层的位移厚度 1001()(1)xxxvvv dydyvv 边界层的动量损失厚度边界层的动量损失厚度 22001()(1)xxxxvvv vv dydyvvxv 在边界层内因粘性的影响，流体动量将减在边界层内因粘性的影响，流体动量将减少，减少的动量可以用以理想流体的速度少，减少的动量可以用以理想流体的速度v流流过某层厚度为过某层厚度为 的截面的流体动量来代替，的截面的流体动量来代替， 称为动量损失厚度。称为动量损失厚度。22221wddvvvdxdx221212wddvdxv dxvv 在边界层内因粘性的影响，流体流量将减

17、在边界层内因粘性的影响，流体流量将减少，减少的流量可以用以理想流体的速度少，减少的流量可以用以理想流体的速度v流流过某层厚度为过某层厚度为 的截面的流体流量来代替，的截面的流体流量来代替， 称为位移厚度。称为位移厚度。21269.1 9.1 无限空间淹没紊流射流的特征无限空间淹没紊流射流的特征9.2 9.2 圆断面射流的运动分析圆断面射流的运动分析9.3 9.3 平面射流平面射流9.4 9.4 温差或浓差射流温差或浓差射流27ns28tan3.4BOKaaMOns2925 . 1)(1 RyvvmRy25 . 1)(1 mvvns30202000vrvQns31eTmTT00pQ cTpQcT

18、dQ32sArTvTgde200020000tan() (0.510.35)coscosxyxxaArdddd2/520)205. 0(226. 0 xaaTTArye002,2bxxbyy00202egbTArv T33微弱扰动的传播微弱扰动的传播 34假设：假设：1.1.流体是可压缩的流体是可压缩的2.2.忽略流体的粘性忽略流体的粘性3.3.流动过程是等熵的流动过程是等熵的4.4.忽略流体的重力忽略流体的重力一、连续性方程一、连续性方程0dddAAvvvAC35二、能量方程二、能量方程Cvh22CvTcp22CvkkRT212Cvkc2122三、运动方程三、运动方程0ddvvp四、封闭方程

19、四、封闭方程Cpk212netqdhdvgdzw热1xxxxxyzxvvvvpvvvftxyzx36222pT111pTcdvc()sdpcds37一、声速一、声速 声音传播的速度，即微弱扰动波传播的速度。声音传播的速度，即微弱扰动波传播的速度。 声音是由微弱压缩和微弱膨胀波交替组成的。声音是由微弱压缩和微弱膨胀波交替组成的。Kc 液体液体kRTpkc完全气体完全气体空气空气288.220.05340.3/TKckRTTm s38二、马赫数二、马赫数气体在某点的流速与当地声速之比。气体在某点的流速与当地声速之比。cvMa 亚声速流亚声速流1Ma声速流声速流1Ma超声速流超声速流1Ma39扰动源

20、扰动源cta2c t (a ) (a ) 静止波静止波二、马赫数二、马赫数 (b ) Ma1 (b ) Ma1 (d ) Ma1VcVc 扰动中心扰动中心 扰动不可到达扰动不可到达区区/ / 静音区静音区 马赫线马赫线扰动区扰动区41三、临界状态（续）三、临界状态（续）0c222220max11111121221crkcvcvckkk42四、速度系数（续）四、速度系数（续）22*2(1)2(1)kMaMkMa*M43 当当超声速气流超声速气流流过大的障碍物时，气流在障碍流过大的障碍物时，气流在障碍物前将受到急剧压缩，其压强、温度和密度都将物前将受到急剧压缩，其压强、温度和密度都将突跃地升高，而

21、速度突跃地降低，这种使流动参突跃地升高，而速度突跃地降低，这种使流动参数发生突跃变化的数发生突跃变化的强压缩波强压缩波叫做激波。叫做激波。w 正激波正激波 w 斜激波斜激波 w 曲激波曲激波一、正激波的形成和厚度（续）一、正激波的形成和厚度（续）44一、正激波的形成和厚度一、正激波的形成和厚度2.2.正激波的厚度正激波的厚度 激波厚度随马赫数的增大而迅速减小。激波厚度随马赫数的增大而迅速减小。 激波是有厚度的。激波是有厚度的。 激波的厚度非常小，通常忽略不计。激波的厚度非常小，通常忽略不计。 实际计算中将激波作为间断面来处理。实际计算中将激波作为间断面来处理。45二、正激波的传播速度（续）二、

22、正激波的传播速度（续）激波的传播速度和波后激波的传播速度和波后气流的速度决定于压强气流的速度决定于压强突跃。突跃。2211211221121/1/1sppvcppk 2121211212121()()(/1)(/1)/gppvcppk 2211gvsv222,Tp111,Tpxxsgvv46 蓝金蓝金许贡纽公式许贡纽公式 22121111111pkkppkkp22121111111kpkkpk2222112111()1111ppkTkpppkTkp经过激波的密度突跃和温度突跃只决定于压强突跃。经过激波的密度突跃和温度突跃只决定于压强突跃。三、蓝金三、蓝金许贡纽公式许贡纽公式 2211gvsv2

23、22,Tp111,Tpxxsgvv47三、蓝金三、蓝金许贡纽公式许贡纽公式 11kk48例题：设长管中静止气体空气的参数是例题：设长管中静止气体空气的参数是p p1 1=1.013=1.01310105 5Pa(Pa(绝对绝对) )，T T1 1=288K,k=1.4=288K,k=1.4。用活塞压缩气体以。用活塞压缩气体以产生激波，波后的压强产生激波，波后的压强p p1 1=1.143=1.14310105 5Pa(Pa(绝对绝对) )，求，求2 2、T T2 2、c c2 2、v vs s、v vg g。111p RT22121111111pkkppkkp2222112111()1111p

24、pkTkpppkTkpckRT221121sppv 212121()gppv 49例题：设长管中静止气体空气的参数例题：设长管中静止气体空气的参数p p1 1=1.013=1.01310105 5Pa(Pa(绝对绝对) )，T T1 1=288K,k=1.4=288K,k=1.4。用活塞压缩气体以产生。用活塞压缩气体以产生激波，波后的压强激波，波后的压强p p2 2=1.143=1.14310105 5Pa(Pa(绝对绝对) )，求，求2 2、T T2 2、c c2 2、v vs s、v vg g。p2=1.143105p1=1.0131052=1.312kG/m31=1.226kG/m3T2

25、=296KT1=288Kc2=344.9m/sc1=340.2m/svs=355.6m/svg=23.26m/svs-vg=332.34m/sgvsv111,Tp222,Tp50四、正激波前后气流参数的关系四、正激波前后气流参数的关系 波阻的概念（续）波阻的概念（续）1.1.正激波前后气流参数的关系（续）正激波前后气流参数的关系（续） 1 12 21 12 21v2v111Tp222Tp物理意义物理意义普朗特激波公式建立了正激波前后气流速度之间普朗特激波公式建立了正激波前后气流速度之间 的关系，即正激波前、后速度系数的乘积等于的关系，即正激波前、后速度系数的乘积等于1 1。 正激波前来流的速度

26、为超声速，正激波后的气流正激波前来流的速度为超声速，正激波后的气流 永远为亚声速流。永远为亚声速流。普朗特激波公式：普朗特激波公式：或或221crcvv12*1*MM51例题：有一超声速风洞，其缩放喷管进口空气例题：有一超声速风洞，其缩放喷管进口空气p p0 0=1.52=1.5210106 6Pa(Pa(绝对绝对) )，T T0 0=500K=500K。空气沿喷管作等熵流动，。空气沿喷管作等熵流动，至出口时至出口时MaMa1 1=3.9376=3.9376，M M* *1 1=2.13=2.13，倘若在出口恰好出现正激，倘若在出口恰好出现正激波，试求激波前后的压强、温度、密度、速度。波，试求

27、激波前后的压强、温度、密度、速度。p2=1.95105p1=1.0881042=1.411kG/m31=0.301kG/m3T2=481.5KT1=121.9Kv2=192.1m/sv1=871.5m/sMa2=0.4367Ma1=3.9376四、正激波前后气流参数的关系四、正激波前后气流参数的关系 波阻的概念（续）波阻的概念（续）52四、正激波前后气流参数的关系四、正激波前后气流参数的关系 波阻的概念（续）波阻的概念（续）2.2.正激波的波阻正激波的波阻 气流经过激波，速度降低，动量减小，熵值增气流经过激波，速度降低，动量减小，熵值增加，因而必有作用在气流上与来流方向相反的力，加，因而必有作用在气流上与来流方向相反的力，阻滞气流的力，相反，气流作用在物体上也存在阻阻滞气流的力，相反，气流作用在物体上也存在阻力，这种因激波存在而产生的阻力称为波阻。力，这种因激波存在而产生的阻力称为波阻。 波阻的大小决定于激波的强度，激波越强，波波阻的大小决定于激波的强度，激波越强，波阻越大，反之亦然。阻越大，反之亦然。53一、气流速度与通道截面的关系一、气流速度与通道截面的关系vdvMaAdA) 1(2vdvMad2vdvkMapdp2vdvMakTdT2) 1( 变截面管流变截面管流54二、喷管二、喷管( (续续) )1.1.收缩喷管收缩喷管( (续续) )(2)(2)变工况分析变工况分析0