中南大学大学物理电磁学-静电场

1、第四篇第四篇 电磁学电磁学1905年爱因斯坦建立年爱因斯坦建立狭义相对论狭义相对论1865年麦克斯韦提出年麦克斯韦提出电磁场理论电磁场理论1820年年奥斯特发现奥斯特发现电流对磁针的作用电流对磁针的作用公元前公元前600年年1831年年法拉第发现法拉第发现电磁感应电磁感应古希腊泰勒斯古希腊泰勒斯第一次记载电现象第一次记载电现象静电场静电场-相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场两个物理量两个物理量：电场强度、电势；电场强度、电势； 一个实验规律一个实验规律：库仑定律；库仑定律； 两个定理两个定理： 高斯定理、环流定理高斯定理、环流定理第九章第九章电荷守恒定律电荷守恒定

2、律： 在一个与外界没有电荷交换的系统在一个与外界没有电荷交换的系统内内, 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。电荷的电荷的量子化效应量子化效应：q=ne9-1 电荷电荷 库仑定律库仑定律一、电荷的量子化一、电荷的量子化电荷的电荷的种类种类：正电荷、负电荷：正电荷、负电荷电荷的电荷的性质：同号相斥、异号相吸性质：同号相斥、异号相吸电量电量：电荷的多少：电荷的多少 单位单位：库仑：库仑 符号符号：C二、二、电荷守恒定律电荷守恒定律二、库仑定律二、库仑定律0221rrqqkF or单位矢量，单位矢量，由由施力物体指向受力物体施力物体指向受力物体。电荷电

3、荷q1作用于电荷作用于电荷q2的力。的力。F 真空中两个静止的点电荷之间的作用力真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力静电力），），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。1q2qror041k00000022902121201094110858 CNmkmNC .讨论讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。0221041rrqqF rrqqrrqqF3210022104141 注意：只适用两个点电荷之间

4、注意：只适用两个点电荷之间所以库仑力与万有引力数值之比为所以库仑力与万有引力数值之比为 39103.2 geFF）NReFe(102 .848202 电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力 NRGmMFg472106 . 3电子与质子之间的万有引力为电子与质子之间的万有引力为 例：例：在氢原子中，电子与质子的距离为在氢原子中，电子与质子的距离为5.3 10-11米，试求米，试求静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。忽略！忽略！解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的解：由于电子与质子之间距离约为它们自身

5、直径的10105 5倍，倍，因而可将电子、质子看成点电荷。因而可将电子、质子看成点电荷。数学表达式数学表达式离散状态离散状态niiFF10204iiiirrqqF 连续分布连续分布 FdF0204rrqdqFd 1q2q1Fq10r20r2FF静电力的叠加原理静电力的叠加原理 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。静电力的两种观点：静电力的两种观点：电荷电荷电荷电荷“电力电力”应为应为“电场力电场力”。力的传递不需要媒介，不需要时间。力的传递不需要媒介，不需要时间。超距作用超距

6、作用：近距近距作用：作用：法拉第指出，电力的媒介是电场，法拉第指出，电力的媒介是电场， 电荷电荷产生电场；电场对其他电荷有力的作用。产生电场；电场对其他电荷有力的作用。 电场电场AE电场电场 BE电荷电荷A电荷电荷B产生产生产生产生作用作用作用作用9-2 电场强度电场强度当电荷静止不动时，两种观点的结果相同。但当电荷运动当电荷静止不动时，两种观点的结果相同。但当电荷运动或变化时，则出现差异。近代物理学证明或变化时，则出现差异。近代物理学证明“场场”的观点正确。的观点正确。电场电场电荷电荷电荷电荷一、电场一、电场叠加性叠加性研究方法：研究方法：能法能法引入电势引入电势 uE力法力法引入场强引入场

7、强对外表现：对外表现：a.对电荷（带电体）施加作用力对电荷（带电体）施加作用力b.电场力对电荷（带电体）做功电场力对电荷（带电体）做功二、电场强度二、电场强度0qFE 场源场源电荷电荷试验试验电荷电荷q0qF),(zyxEE a.由由 是否能说，是否能说， 与与 成正比，与成正比，与 成反比？成反比？ 0qFE EF0qQ qP Q0E P 0EqF 讨论讨论b.一总电量为一总电量为Q0的金属球，在它附近的金属球，在它附近P点产生的场强点产生的场强为为 。将一点电荷。将一点电荷q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于、还是等

8、于P点的点的0E0EFqF三 点电荷的电场强度点电荷的电场强度020041rrqqF 020041rrqqFE 02041rrqE )(0 qP0r E0r)(0 qPE四、场强叠加原理四、场强叠加原理点电荷系点电荷系1q2qP10r1EE2E20riniiEqFqFE010niiFF102041iiiiiirrqEE 点电荷系的电场点电荷系的电场iziziyiyixixEEEEEE ,场强在坐标轴上的投影场强在坐标轴上的投影kEjEiEEzyx 连续带电体连续带电体PdqEd0r EdE连续带电体的电场连续带电体的电场0204rrdqEd 02041rrdqEdE zzyyxxdEEdEEd

9、EEkEjEiEEzyx 电荷元随不同的电荷分布应表达为电荷元随不同的电荷分布应表达为体分布体分布dVdq 面分布面分布dSdq 线分布线分布ldqd 例例1电偶极子电偶极子如图已知：如图已知：q、-q、 rl， 电偶极矩电偶极矩lqp 求：求：A点及点及B点的场强点的场强20)2(4lrqE 20)2(4lrqE 解：解：A点点 设设+q和和-q 的场强的场强 分别为分别为 和和 E E lryx BAl E E五、电场强度的计算五、电场强度的计算oAE2220)4(42lrqrlEEEA 3030241241rpirqlEA 20)2(4lrqE 20)2(4lrqE lryx BAl E

10、 EoAElr 3042rqlEA )4(41220lrqEE 42cos22lrl 对对B点：点：23220)4(41cos2lrqlE 3041rpEB 3041rpEB l Blr E EBEo coscos EEEBlr 30241rpEA 3041rpEB lryx BAlr E E E EBEAE例例3 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在O点的电场。点的电场。已知：已知： a 、 1、 2、 解题步骤解题步骤1. 选电荷元选电荷元ldqd 2041rlddE sincosdEdEdEdEyx5. 选择积分变量选择积分变量一个变量是变量，而线积分只要、lr 2.确定确定 的方向的方

11、向EdxEdyEd1 2 dllyxarO Ed3.确定的大小确定的大小dE. 4投影到坐标轴上建立坐标，将dE选选作为积分变量作为积分变量arctan)arctan(l dald2csc 22222222cscactgaalar cos2041rdldEx coscsccsc42220ada dacos40 xEdyEd1 2 dllyxarO Ed 2104 dadEExxcos)sin(sin1204 a dardldEysin4sin41020 2104 dadEEyysin)cos(cos2104 a22yxEEE xEdyEd1 2 dllyxarO EdxyEE /arctan当

12、直线长度当直线长度 2100,aL或或0 xE无限长均匀带无限长均匀带电直线的场强电直线的场强aE02 当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向外，方向垂直带电导体向外，当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向里。方向垂直带电导体向里。讨论讨论)sin(sin1204 aEx)cos(cos2104 aEyaEEy02 课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a204)xaL(dqdE L)xaL(dxE0204 )(aLa 1140 aPLXOxdxEd)()(aLaqaLaLqL 0044 例例4 求一均匀带电圆环轴线上任一点

13、求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。处的电场。已知：已知： q 、a 、 x。dlaqdldq 2 idEEd /kdEjdEEdzy 204rdqdE yzxxpadqr/Ed EdEd 当当dq位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。由对称性由对称性a.yzxdqEd0 zyEEyzxxpadqr/Ed EdEd cos/EdEdE 2122)(cosxarrx cos220241rldaqEa cos2041rq 2322041)(xaqx i)ax(xqE232204 讨论讨论当当x=0,即在圆环中心处，即在圆环中心

14、处，0 E当当 x 0Ei)ax(xqE232204 2ax 时时0 dxdE23220242)aa(qaEEmax 2041xqE 这时可以这时可以把带电圆环看作一个点电荷把带电圆环看作一个点电荷这正反映了这正反映了点电荷概念的相对性点电荷概念的相对性i)ax(xqE232204 当当xax时，1.1.求均匀带电半圆环圆心处的求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知，已知 R、 E204RdqdE 电荷元电荷元dq产生的场产生的场根据对称性根据对称性 0ydE 0204sinRRdsindEdEEx 0204)cos( RR02 课堂练习：课堂练习：oRXY d dqEdOXY R204RdldE

15、cosRdldEEy204224202020 sincosRdRR 取电荷元取电荷元dq则则 0 xdE由对称性由对称性方向：沿方向：沿Y轴负向轴负向 dl dEd2.2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 , ,R例例5 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。 已知：已知：q、 R、 x 求：求：Ep解：细圆环所带电量为解：细圆环所带电量为22Rqrdrdq 由上题结论知：由上题结论知：2322041)(xrxdqdE 2322042)(xrrdrx 232200)(2xrrdrxdEER )1 (2220 xRx RrPx

16、dr22xr Ed讨论讨论1. 当当Rx（无限大均匀带电平面的场强）（无限大均匀带电平面的场强）0 0 )xRx(E22012 02 E212222)1 ( xRxRx 2)(211xR)1 (2220 xRxE 20)(2111(2xR 204xq )xRx(E22012 2. 当当R0211141rEdSESdEse R+rqRr qqi0224 qrE 2024rqE E222242rESdESdEse E204Rq21rrROORq解：解：rR电量电量 qqi高斯定理高斯定理024 qrE 场强场强204rqE 24 rESdEe 电通量电通量均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电

17、场强度分布曲线ROEOrER204RqE2S 高高斯斯面面解解: E具有面对称具有面对称高斯面高斯面:柱面柱面SESES 02110SES 012 02 E例例3. 均匀带电无限大平面的电场，均匀带电无限大平面的电场，已知已知 ES1S侧侧S 12SSSeSdESdESdESdE侧 0iq0 E高高斯斯面面lrE解：场具有轴对称解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面高斯面：圆柱面例例4. 均匀带电圆柱面的电场。均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 seSdESdESdESdE上底侧面下底 (1) r Rlqi02lrlErE02高高斯斯面面lrE seSdES

18、dESdESdE上底侧面下底 rlE2课堂练习：课堂练习：求均匀带电圆柱体的场强分布，已知求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R， ( 为为单位长度圆柱体的带电量单位长度圆柱体的带电量) 202Rr ERr Rr r02 lrlE012Rr Rr lRrrlE220129-4静静电场的环路定理电场的环路定理 电势电势rdrr cl dc E ba保守力保守力dlEql dEql dFdA cos00 drdl cos其中其中 baEdrqA0EdrqdA0 则则与路径无关与路径无关 qarbrdr barrbao)rr(qqdrrqq11440020 一一、静电场力所做的功静电场力所做的功推广推广

19、 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。 acbadbl dEql dEq000二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所做的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所做的功为零。00 q 0l dEq0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周

20、电场力所做的功一周电场力所做的功 acbbdal dEql dEql dEqA000在静电场中，电场强度的环流恒为零。在静电场中，电场强度的环流恒为零。 静电场的静电场的环路定理环路定理静电场的两个基本性质：静电场的两个基本性质：有源且处处无旋有源且处处无旋b点电势能点电势能bW则则ab电场力的功电场力的功 baabldEqA0baWW 0 W取取aaaWldEqA0EWa属于属于q0及及 系统系统试验电荷试验电荷 处于处于0qa点电势能点电势能aWab注意注意三、电势能三、电势能保守力的功保守力的功=相应势能的减少相应势能的减少所以所以 静电力的功静电力的功=静电势能的减少量静电势能的减少量

21、 aaaldEqWu0定义定义电势差电势差 电场中任意两点电场中任意两点 的的电势之差（电压）电势之差（电压）bauu abbaabl dEl dEuuu bal dE aaldEqW0四、电势四、电势单位正电荷在该点单位正电荷在该点所具有的电势能所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远单位正电荷从该点到无穷远点点(电势零点电势零点)电场力所做的功电场力所做的功 a、b两点的电势差等于将单位正电荷从两点的电势差等于将单位正电荷从a点移点移到到b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。 定义定义电势电势 将电荷将电荷q从从ab电场力做的功电场力做的功 baldEq0baabWWA )(0bauuq

22、 注意注意1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。2、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。3、电势零点的选择。、电势零点的选择。根据电场叠加原理场中任一点的根据电场叠加原理场中任一点的1、电势叠加原理、电势叠加原理若场源为若场源为q1 、q2 qn的点电荷系的点电荷系场强场强电势电势nE.EEE 21 PPnl dEEEl dEu)(21 niinuu.uu121各点电荷单独存在时在该点电势的各点电荷单独存在时在该点电势的代数和代数和 PPnPl dE.l dEl dE21五、电势的计算五、电势的计算1 1）. .点电

23、荷电场中的电势点电荷电场中的电势r qP 0r如图如图 P点的场强为点的场强为 0204rrqE PrPrqdrrqldEu02044 由电势定义得由电势定义得讨论讨论 对称性对称性大小大小以以q为球心的同一球面上的电势相等为球心的同一球面上的电势相等最最小小ururuq 00最最大大ururuq 002、电势的计算、电势的计算由电势叠加原理，由电势叠加原理，P点点的电势为的电势为点电荷系的电势点电荷系的电势 iiirquu04 rdqduu04 连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理，由电势叠加原理，P点点的电势为的电势为dqP r1r 1q 2qnq 2rnr 根据已知的场强分布，

24、按定义计算根据已知的场强分布，按定义计算 由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 PPldEu电势计算的两种电势计算的两种方法方法： iiirquu04 rdqduu04 例例1 、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势lOq q XYr1r2r ),(yxP 210122010214)(44rrrrqrqrquuuP 由叠加原理由叠加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220)(41yxqlxuVrqu20108 .2844rOqqqq课堂练习：课堂练习：已知正方

25、形顶点有四个等量的电点荷，已知正方形顶点有四个等量的电点荷，求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变oucq90100 . 1 0电场力所做的功电场力所做的功JquuqA720000108 .28)108 .280()( 电势能电势能 0108 .2870JWWW改变cmrCq5,100 . 49XYZO Rdlr Px例例2、求均匀带电圆环轴线求均匀带电圆环轴线 上的电势分布。上的电势分布。 已知：已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdl04 RPrRrdlduu 20004242204xRq 方法二方法二 定义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布2

26、3220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4Rr Rr 由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定义由定义 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 例例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，qORPr课堂练习课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差求等量异号的同心带电球面的电势差 已知已知+q 、-q、RA 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rq BARrR E0由电势差定义由电势差定义

27、BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所做的功，电场力所做的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所做的功电场力所做的功2.如图已知如图已知+q 、-q、Rq q RRROdabcRqRqRqRqRquuAcooc000006)434(44044000RqRquuAOO一、一、 等势面等势面等势面等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面+9-5 电场强度与电场强度与 电势梯度电势梯度的关系的关系+电偶极子的等势面电偶极子的等势面 等势面的性质等势面的性质等势面与电场线处处正交，等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降低的方向。电场线指向电势降低的方向。abu0)( baabuuqA2 bauu 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cos dlqEldEqdA 0)( dcdccduuqWWA沿电场线移动沿电场线移动 q cdEdcuu a,b为等势面上任意两点，移动电荷为等势