平稳时间序列预测

1、 邵贯赏、黄尹鹏、胡世业、陈颖仙、林邵贯赏、黄尹鹏、胡世业、陈颖仙、林 倩倩第五章第五章时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法mixmindLoading第一节第一节 一次移动平均法一次移动平均法第二节第二节 一次指数平滑法一次指数平滑法第三节第三节 线性二次移动平均法线性二次移动平均法第四节第四节 线性二次指数平滑法线性二次指数平滑法第五节第五节 二次曲线指数平滑法二次曲线指数平滑法第六节第六节 温特线性与季节指数平滑法温特线性与季节指数平滑法第五章第五章 时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法第一节第一节 一次移动平均法一次移动平均法一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值一次移动平均法

2、是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。 设时间序列为设时间序列为1, 2,.,x x移动平均法可以表示为：移动平均法可以表示为：11111./ttttt Nit NFxxxNxN 式中：式中：tx 为最新观察值；为最新观察值；1tF为下一期预测值。为下一期预测值。例例 下表是某产品下表是某产品111月的月销售量，试选用月的月销售量，试选用N=3和和N=6，采用一次移动平均法对，采用一次移动平均法对12月的销售量进行预测。月的销售量进行预测。月份销售额（万元）预测值（N=1）预测值（N=3）预测值（N=6）1月46.0 2

3、月50.0 46.0 3月59.0 50.0 4月57.0 59.0 51.7 5月55.0 57.0 55.3 6月64.0 55.0 57.0 -7月55.0 64.0 58.7 55.2 8月61.0 55.0 58.0 56.7 9月45.0 61.0 60.0 58.5 10月49.0 45.0 53.7 56.2 11月46.0 49.0 51.7 54.8 12月46.0 46.7 53.3 当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。选选

4、N N策略策略移动平均法的两个主要限制 限制一：计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须存储大量数据；移动平均法的优点 计算量少； 限制二：N个过去观察值中每一个权数都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。第二节第二节 一次指数平滑法一次指数平滑法 一次指数平滑法是利用前一期的预测值一次指数平滑法是利用前一期的预测值 tF代替代替 t nx得到预测的通式，即得到预测的通式，即 ：1(1)tttFxF 或：或：1111(.)tttt nFxxxn 11(.)tttt nFxxxn111tttt nFxFx

5、nn因为1(1)tttFxF 所以推算思路：严平稳严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。宽平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为一次指数平滑法是一种加权预测，权数为。它既不需。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新可以大大减少数据存

6、储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和观察值、最新预测值和值，就可以进行预测。它提供值，就可以进行预测。它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值差的修正值 。()tttexF时期销售额（万元）指数平滑预测值=0.1=0.3=0.9197-29597.00 97.00 97.00 39596.80 96.40 95.20 49296.62 95.98 95.02 59596.16 94.79 92.30 69596.04 94.85 94.73 79895.94 94.90 94.97 89796.14 95.83 9

7、7.70 99996.23 96.18 97.07 109596.51 97.03 98.81 119596.36 96.42 95.38 129696.22 95.99 95.04 139796.20 95.99 95.90 149896.28 96.30 96.89 159496.45 96.81 97.89 169596.21 95.97 94.39 17-96.09 95.68 94.94 3222()FFxFxF例例 运用一次指数平滑法对某公司第运用一次指数平滑法对某公司第17期的销售额进期的销售额进行预测（取行预测（取=0.1，0.3 ，0.9）。并计算均方误差，选）。并计算均方误

8、差，选择使其最小的择使其最小的进行预测。进行预测。解答解答 =0.1,=0.3,=0.9时，均方误差分别为：均方误差分别为： MSE=3.93, MSE=3.98, MSE=4.2 因此，可选因此，可选=0.1作为预测时的平滑常数。作为预测时的平滑常数。 该公司第该公司第17期销售量的预测值为：期销售量的预测值为：171616(1)0.1 950.9 96.2196.09()FxF万元第三节第三节 线性二次移动平均法线性二次移动平均法 基本原理 为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上

9、，再进行一次移动平均，且时间序列应有明显的线性变化趋势线性二次移动平均法的通式为：线性二次移动平均法的通式为：(1)(2)2tttaSS(1)(2)21tttbSSNt TttFabTT为预测超前期数.(3.1).(3.2).(3.3).(3.4)（3.1）式用于计算一次移动平均值；（3.2）式用于计算二次移动平均值； （3.3）式用于对预测（最新值）的初始点进行基本修正，使得预测值与实际值 之间不存 在滞后现象；（3.4）式中用其中：12N (1)(2)ttSS除以，这是因为(1)(1)(2)()ttttaSSS修正值期数销售额（万元）1125-2135-3195151.67 -4197.5

10、175.83 -5186192.83 173.44 212.22 19.39 -6175186.17 184.94 187.39 1.22 231.61 7155172.00 183.67 160.33 -11.67 188.61 8190173.33 177.17 169.50 -3.83 148.67 9220188.33 177.89 198.78 10.44 165.67 10219209.67 190.44 228.89 19.22 209.22 11226221.67 206.56 236.78 15.11 248.11 12198214.33 215.22 213.44 -0.8

11、9 251.89 13260228.00 221.33 234.67 6.67 212.56 14245234.33 225.56 243.11 8.78 241.33 15-251.89 (1)(2)2tttaSS(1)(2)21tttbSSNt TttFabT第四节第四节 线性二次指数平滑法线性二次指数平滑法一、布朗单一参数一、布朗单一参数线性线性指数平滑法指数平滑法 其基本原理与线性二次移动平均法相似其基本原理与线性二次移动平均法相似 ，因为当（线性）趋势存，因为当（线性）趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑

12、值之差加在一次平滑值上，则可对（线性）趋势进行修正。之差加在一次平滑值上，则可对（线性）趋势进行修正。 计算公式：(1)(1)11tttSaxa S(2)(1)(2)11tttSSS(1)tS为一次指数平滑值；(2)tS为二次指数平滑值；(1)(2)2tttaSS(1)(2)1tttbSSt mttFabmm为预测超前期数期数销售额（万元）1125125.00 125.00 -2135127.00 125.40 128.60 0.40 -3195140.60 128.44 152.76 3.04 129.00 4197.5151.98 133.15 170.81 4.71 155.80 518

13、6158.78 138.28 179.29 5.13 175.52 6175162.03 143.03 181.03 4.75 184.42 7155160.62 146.54 174.70 3.52 185.78 8190166.50 150.54 182.46 3.99 178.22 9220177.20 155.87 198.53 5.33 186.45 10219185.56 161.81 209.31 5.94 203.86 11226193.65 168.17 219.12 6.37 215.25 12198194.52 173.44 215.59 5.27 225.49 1326

14、0207.61 180.28 234.95 6.83 220.86 14245215.09 187.24 242.94 6.96 241.78 15-249.91 (1)(2)2tttaSS(1)(2)21tttbSSNt TttFabT(2)(1)(2)2211SSS二、霍尔特双参数二、霍尔特双参数线性线性指数平滑法指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相似，只是它不用其基本原理与布朗线性指数平滑法相似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。计算公式：计算公式：111ttttSxSb 111ttttbSSb t mttFS bm期数销售额（

15、万元）预测值m=11125125.00 10.00 -2135135.00 10.00 135.00 3195170.00 30.00 145.00 4197.5198.75 29.00 200.00 5186206.88 12.30 227.75 6175197.09 -5.37 219.18 7155173.36 -20.06 191.72 8190171.65 -5.38 153.30 9220193.14 16.11 166.27 10219214.12 20.01 209.25 11226230.07 16.76 234.14 12198222.41 -2.77 246.83 132

16、60239.82 13.37 219.64 14245249.10 10.09 253.19 15-259.19 111ttttSxSb 111ttttbSSb t mttFS bm=0.5,g=0.8第五节第五节 二次曲线指数平滑法二次曲线指数平滑法 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一定是线性的，可能按二次曲线的形状增加而减定是线性的，可能按二次曲线的形状增加而减少。对于这种非线性增长的时间序列，采用二少。对于这种非线性增长的时间序列，采用二次曲线指数平滑法可能要比采用线性指数平滑次曲线指数平滑法可能要比采用线性指数平滑法更为有效。它的特点是不但

17、考虑了线性增长法更为有效。它的特点是不但考虑了线性增长的因素，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。的因素，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。二次曲线指数平滑法的计算过程共分以下七个步骤：二次曲线指数平滑法的计算过程共分以下七个步骤：(1)(1)11tttSxS(2)(1)(2)11tttSSS (3)(2)(3)11tttSSS (1)(2)(3)33ttttASSS2(1)(2)(3)26 510 84 31ttttBSSS2(1)(2)(3)221ttttCSSS212t mtttFA BmCm1、计算t时期的单指数平滑值2、计算t时期的双指数平滑值3、计算t时期的三重指数平滑值4、计算t时

18、期的水平值5、计算t时期的线性增量6、计算t时期的抛物线增量7、预测m时期以后，即（t+m）时期的数值其中，m是正整数，m1年度观测值销售额（亿元）198812.912.90 12.90 12.90 -198914.9113.91 13.40 13.15 14.66 1.13 0.25 -199015.9614.93 14.17 13.66 15.95 1.41 0.26 15.92 199114.4114.67 14.42 14.04 14.80 -0.07 -0.13 17.49 199214.5714.62 14.52 14.28 14.58 -0.25 -0.14 14.66 1993

19、14.614.61 14.57 14.42 14.56 -0.20 -0.10 14.26 199415.3514.98 14.77 14.60 15.22 0.29 0.03 14.31 199515.8415.41 15.09 14.84 15.80 0.50 0.07 15.52 199616.916.16 15.62 15.23 16.83 0.89 0.14 16.33 199718.2617.21 16.42 15.82 18.20 1.30 0.20 17.79 199817.417.30 16.86 16.34 17.67 0.26 -0.07 19.60 199918.711

20、8.01 17.43 16.89 18.61 0.64 0.03 17.90 200019.5318.77 18.10 17.49 19.50 0.82 0.06 19.27 200120.8219.79 18.95 18.22 20.76 1.15 0.12 20.35 200222.8721.33 20.14 19.18 22.76 1.77 0.23 21.97 200324.5922.96 21.55 20.37 24.60 1.97 0.23 24.65 200425.9324.45 23.00 21.68 26.02 1.78 0.13 26.68 200528.0426.24 2

21、4.62 23.15 28.02 2.01 0.15 27.87 200629.4527.85 26.23 24.69 29.53 1.79 0.07 30.10 200731.4729.66 27.95 26.32 31.46 1.93 0.09 31.36 200833.9931.82 29.88 28.10 33.92 2.33 0.16 33.43 200939.5635.69 32.79 30.45 39.16 4.30 0.56 36.33 201048.0841.89 37.34 33.89 47.54 7.31 1.10 43.74 201153.6747.78 42.56 3

22、8.22 53.89 7.44 0.89 55.39 2012-61.77 =0.5第六节第六节 温特线性与季节指数平滑法温特线性与季节指数平滑法温特线性与季节指数平滑法利用三个方程式，其中温特线性与季节指数平滑法利用三个方程式，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的参数。参数。 其中，其中，L L 为季节的长度；为季节的长度；I I 为季节修正系数。为季节修正系数。111ttttt LxSSbI 111ttttbSSb 1ttt LtxIIS01 01 01 序号年份季度销售额（万元）预测值m=1120071362-0.92 -220072385-1.