量子力学1-5章作业解答

1、第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P1 T712022年4月26日教师：刘以良教师：刘以良Email: 电 气 信 息 工 程 学 院 量子力学教程量子力学教程 ( (第二版第二版) )第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P2 T71第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象第五章第五章 微扰理论微扰理论第六章第六章 散射散射第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子第八章第八章 量子力学若干进展量子力学若干进展 目录目录第一章第一章 绪论绪论物理

2、学物理学第五版第五版P3 T71第 一 章绪 论第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P4 T711.1经典物理学的困难经典物理学的困难1.2光的波粒二象性光的波粒二象性1.3原子结构的波尔理论原子结构的波尔理论1.4微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版本章目录本章目录1.5例题例题第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P5 T711.2 1.2 在在0K0K附近附近, ,钠的价电子动能为钠的价电子动能为3 3电子伏特电子伏特, ,求其德布罗意波长？求其德布罗意波长？解：解：( (电子静止质量电子静止质量 m me e=9.109=9

3、.1091010-31 -31 kg)kg)电子动能电子动能E3 eVE3 eV电子静质量能电子静质量能mec2=9.10910-31(3.0108)2=8.19810-14 (J)Ee = 8.19810-14 /(1.610-19)=5.1105 eVE Ee 属于非相对论情况属于非相对论情况第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P6 T71mmEhph101931341008. 710602. 131091. 9210626. 62第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P7 T71已知已知 氦相对原子质量：氦相对原子质量： 4.00264.0026 C12 C12原子质量

4、的原子质量的1/121/12为：为：1.661.661010-27-27 kg kg k=1.381 k=1.38110-23 J/K第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P8 T71解：解： T=1 K时氦原子的动能时氦原子的动能)(1029.110602.110381.1232341923eVkTEk氦原子的静止能量氦原子的静止能量)10731.310602.1)100 .3(1066.10026.4919-28272eVcmHe（2cmEHek属于非相对论情况属于非相对论情况第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P9 T71mEmhphkHe919427341026. 1

5、10602. 11029. 11066. 10026. 4210626. 62第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P10 T711.4 1.4 利用玻尔利用玻尔索末菲的量子化条件，求；索末菲的量子化条件，求；(1)(1)一维谐振子的能量；一维谐振子的能量；(2)(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径解：已知一维谐振子的能量：解：已知一维谐振子的能量：222212xmmpE玻尔玻尔索末菲的量子化条件索末菲的量子化条件hnpdx)21(2222xmmEp第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P11 T71假设坐标的取值氛围假设坐

6、标的取值氛围-xm, xm2/2mExm则则mmmmxxxxdxxmmEdxxmmEpdx22222222mmxxdxxmmE22222EdxxmmEmmxx222222第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P12 T71hnE)21(2hnE)21(2)21(nE第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P13 T71解：解：正负电子对的总能量不小于两电子总静止质量能正负电子对的总能量不小于两电子总静止质量能已知：电子静质量已知：电子静质量me=9.10910-31 kg222cmEhvehcmve2第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P14 T71hcmve2cmhh

7、cmcvcee)/(2mcmhec1210426.2第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P15 T71第二章波函数和薛定谔方程第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P16 T712.1波函数的统计解释波函数的统计解释2.2态叠加原理态叠加原理2.3薛定谔方程薛定谔方程2.4粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版 本章目录本章目录2.6一维无限深方势阱一维无限深方势阱2.5定态薛定谔方程定态薛定谔方程2.7线性谐振子线性谐振子2.8势垒贯穿势垒贯穿第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P17 T712.1 2

8、.1 证明在定态中，几率流与时间无关证明在定态中，几率流与时间无关)r()r()r()r(m2i e )r(e )r(e )r(e )r(m2i )(m2iJ *EtiEti*EtiEti* ）（）（ e )r()t (f)r()tr(Eti ，证：对于定态，可令证：对于定态，可令 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P18 T71ikrikrerer1)2( 1)1(212.2 由下列定态波函数计算几率流密度：12 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P19 T71分分量量只只有有和和rJJ21 解：

9、解： sinr1er1erer在球坐标中在球坐标中 r2r22rikrikrikrikr1*1*111emrk e)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2i e)er1(rer1)er1(rer1m2i )(m2iJ )1( rJ1与同向同向 表示向外传播的球面波表示向外传播的球面波第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P20 T71rmrkrmrk r)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2i r)er1(rer1)er1(rer1m2i )(m2iJ )2(3020220ikrikrikrikr*2*222 rJ2与与反向反向 表示向内表示向内(即向原点即向原点) 传播的球

10、面波传播的球面波第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P21 T712.3 一粒子在一维势场一粒子在一维势场 axax0 00 x)x(U，中运动，求粒子的能级和对应的波函数中运动，求粒子的能级和对应的波函数第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P22 T71t)x(U与与)x(E)x()x(U)x(dxdm2222 )x(E)x()x(U)x(dxdm2 0 x111222 )x(E)x(dxdm2 ax0 22222 )x(E)x()x(U)x(dxdm2 ax333222 解：解：无关，是定态问题。其定态无关，是定态问题。其定态薛定谔薛定谔方程方程 在各区域的具体形式为在

11、各区域的具体形式为第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P23 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P24 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P25 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P26 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P27 T71aA12.4 2.4 证明（证明（2.6-142.6-14）式中的归一化常数是）式中的归一化常数是 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P28 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P29 T712.5 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置求一维谐

12、振子处在激发态时几率最大的位置 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P30 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P31 T712.6 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)x(U)x(U 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P32 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P33 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P34 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P35 T71axaxUxU , 0

13、 , 0)(000UE2.7 2.7 一粒子在一维势阱中一粒子在一维势阱中运动，求束缚态运动，求束缚态( () )的能级所满足的方程。的能级所满足的方程。第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P36 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P37 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P38 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P39 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P40 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P41 T71ak2coskk2ak2sin)kk(e ak2sinkak2sinkak2coskk

14、2e aksinekakcosaksinek akcosekakcosaksinekek akcosaksinekaksinekk akcosaksinekakcosekke ekaksinkakcoskeakcosaksin0akcosaksinek ekaksinkakcoskeakcosaksin0aksinkakcoske022122122ak2221222221ak222ak222ak122ak222ak1ak122ak2222ak2122ak2222ak21akak12222ak2222ak1ak12222ak222222ak111111111111111111第一章第一章 绪论绪

15、论物理学物理学第五版第五版P42 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P43 T71第三章量子力学中得力学量作业第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P44 T71 本章目录本章目录3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符3.2 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符3.3 3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动3.4 3.4 氢原子氢原子3.5 3.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性3.6 3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系3.7 3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定两力学量同时有确定 值的条

16、件值的条件 不确定关系不确定关系3.8 3.8 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化 守恒定律守恒定律2第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P45 T71（已知（已知 ） 0122)12(5312aandxexnnaxn 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P46 T71解：(1) dxexxUx2222222121 22222212121221 U 0122)12(5312aandxexnnaxn 41 241U 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P47 T71 (2) dxxpxpT)()(2122*2 dxedxdexx22222122221)

17、(21 dxexx22)1(22222 222222222 dxexdxexx 0122)12(5312aandxexnnaxn 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P48 T71223222 T 442222222 41 414121 UET或者：或者：第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P49 T71(3) dpxpcexptix)()()(2222 dxxxpcp)()()(* 2122122 dxeetixxPi dxeextix222221221 21 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P50 T71 dxeepipxti2222222)(212 21

18、 dxeeeipxpti222222)(2122 21 22122222ptiee tipee 222221 2221)()(2 pepcp 动量几率分布函数为 -012222)12(531dxeaandxexxnnaxn或或者者第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P51 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P52 T71解解: （1） r的期望值的期望值? drddrreadrrrar sin1),(02200/23020 0/233004draraar04030232! 34aaar 01!naxnandxex第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P53

19、T7102203020/23020200/230202002/23022214 4 sin sin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P54 T71(3) 电子出现在电子出现在r+dr球壳内出现的几率为球壳内出现的几率为 02022 sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P55 T710321 , , 0 0)(arrrdrrd ， 令令0)(

20、, 0 21 rrr 时时，当当为几率最小位置为几率最小位置0/222003022)482(4)(areraraadrrd 08)(230220 eadrrdar 0ar 是最可几半径是最可几半径第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P56 T71222221 pT(4) 22222sin1)(sinsin1)(1 rrrr 02002/2/302 sin)(1200ddrdreeaTarar 02002/22/302 sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar 0/020302 )2()1(240drearraaar 20220204022)442(24aaaa 0

21、1!naxnandxex第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P57 T71 ppxpcx)()()( (5)drrpcp),()()(*200cos02/302/3 sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar0cos0/2302/3)cos( )2(20dedrerapriar00cos/2302/30)2(2priareiprdrera第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P58 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P59 T71 动量几率分布函数422025302)(8)()(paapcp第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P60 T7

22、1第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P61 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P62 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P63 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P64 T71)()(xaAxx 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a, 如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P65 T71解：解：第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P66 T71能量的几率分布函数为2)(nCE 第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第

23、五版P67 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P68 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P69 T713.9.设氢原子处于状态),()(23),()(21),(11211021 YrRYrRr求：氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的期望值。第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P70 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P71 T714exp)21()(2202/12 xxpix ?)()(22 px 3.12.粒子处于状态 式中 为常量。求：粒子的动量期望值，并计算测不准关系第一章第一章

24、绪论绪论物理学物理学第五版第五版P72 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P73 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P74 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P75 T71证明？证明？第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P76 T713.13 利用不确定关系估计氢原子的基态能量利用不确定关系估计氢原子的基态能量( 了解一下）了解一下）第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P77 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P78 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P79 T71第四章态和力学量的表象第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P80 T71 本章目录本章目录4.1 4.1 态的表象态的表象4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示4.4 4.4 幺正变换幺正变换4.5 4.5 狄拉克符号狄拉克符号4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象2第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P81 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P82 T71解解: (1)第一章第一章 绪论绪论物理学物理学第五版第五版P83 T71第一章第一章 绪论绪论物理学物理学