x11-5方向导数ppt课件

1、11-511-5实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的提出问题的提出 函数函数 z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)沿某一方向沿某一方向h的变化率问的变化率问题题二、方向导数的定

2、义二、方向导数的定义00000(cos ,cos)(,)limhf xhyhf xyh0| |P Phh22()()xy 000000(,)(,)limlimhhf xx yyf xyfhh0PoyxhPxy000()()limhf rhf rh0rr 0( )hfD f rh0000(,)(cos,cos,cos)( , )lim,hhD fxyzfxhyhzhfx y zh推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不

3、存在.讨论函数讨论函数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？0(0cos ,0cos)(0,0)(0,0)limhhfhhfD fh0lim1hhh例000),(2222422yxyxyxxyyxf例：求函数在点O沿任意方向h0=(cos,cos)的方向导数0000000(cos ,cos)(,)(,)limhhf xhyhf xyD f xyh22240coscoslimcoscoshh0cos00coscoscos2222cos,xxyzaaaa(, ,xyzaaa ax y za向量,)与轴的夹角称为 的

4、方向角。222cos,yxyzaaaa222cos,zxyzaaaa方向余弦方向余弦xyzoa222222222(,yxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa,)0|aaa定理定理11-6： 若若u= f( r)=f(x,y,z)在点在点r0=(x0,y0,z0)处可微，处可微，则沿方向则沿方向h0=(cos,cos,cos)的方向导数为：的方向导数为： 0()hD f r(,)( , , )( )fffuf xx yy zzf x y zxyz o hxyz ( )ufxfyfzo hhxhyhzhhcoscoscos .ffffxyzh(,).(cos ,cos,cos )fffxy

5、z00()Df rh沿着沿着x轴负向、轴负向、y轴负向的方向导数是轴负向的方向导数是 yxff ,.00()Df rhcoscoscos .ffffhxyz0()(,) (0,1)xyyhD f rfff0()(,) (0, 1)xyyhD f rfff 0()(,) (1,0)xyxhD f rfff0()(,) ( 1,0)xyxhD f rfff 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 （1）当当4 时时，方方向向导

6、导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.三、梯度的概念三、梯度的概念0gradf h?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点问问题题P过过P点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？cossinsinffffxyzh(,) (cos ,cos,cos )fffxyz222()()() cosfffxyz,ffxy当h的方向与()的方向一致时0| |cosgradfh.),(kzfjyfixfzyxgradf

7、 也为多元函数也为多元函数f在点在点r0的导数记为的导数记为D f （r0） gradf (r0)= f （r0）=（fx(r0), fy(r0）, fz(r0) ） 梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值向一致，其模为方向导数的最大值.2.梯度的运算公式： gradC=OgradmUnV）=m gradUngradV grad(UV)= Ugrad(V)+ Vgrad(U) grad(U/V)= Vgrad(U)- Ugrad(V)/v2 例例.),(vgradvfugradufvufgrad 证证明明,),

8、(zfyfxfvufgrad zvvfzuufzfyvvfyuufyfxvvfxuufxf ,而而,),(zvvfzuufyvvfyuufxvvfxuufvufgrad .),(:vgradvfugradufvufgrad 即即例例1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点

9、A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d例例2. 函数函数)ln(22zyxu解解:31,32,32那么Axu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研), ) 1 ,2,2(AB0h2121Azu0(,)uuuuhxyzh21例例3.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处

10、矢径 r 的模 ,r PQ=1 ，-1, 1 PQ0= e=1,-1,1/ = gradTe例4 一金属球内任一点处温度与该点到球心原点距离成反比且已知在点P1，2，2处的温度为400 求（1求球温T在点1,2，2处沿P到Q2,1，3方向的变化率。（2求球温T在点1,2，2最大变化率为多少？ (3) 证明球内温度T任意点处上升最快的方向总是指向原点方向。解 (1)lT (2) T(X)在P点处沿gradT 方向的最大变化率| gradT |3rzyxXT120120)(222333120,xyzTrrr 等值面，等值线：等值面，等值线：设空间区域设空间区域R3上上U=f(x,y,z),取取u相

11、同数值的点所组成的相同数值的点所组成的曲面，曲面，f(x,y,z)=C为等值面。为等值面。 例：例：u=(R2-x2-y2-z2)1/2=C的等值面为同心球面。的等值面为同心球面。 设平面区域设平面区域DR2上上U=f(x,y)取取u相同相同数值的点所组成的曲线，数值的点所组成的曲线，f(x,y)=C 为等值线。为等值线。等高线的画法等高线的画法用平面用平面z=c去截曲面去截曲面z=f(x,y)。曲线在曲线在xoy面上投影为等值线面上投影为等值线f(x,y)=Coyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值线等值线),(yxgradf(P61)梯度与等值线梯度与等值线f(x,y)=C

12、在点在点P处的切线垂直处的切线垂直P( )( , ( )r xx y x ( )(1,( )(1,)xyfr xy xf 切向量( , )( , ),( , )xygrad f x yfx yfx y ( , )( )0grad f x yr x （P60) u=f(x,y,z)的在任点梯度gradf与过该点的等值面垂直(即与该点的切平面垂直。） lf( , , )( , , ),( , , ),( , , )xyzgrad f x y zfx y zfx y zfx y z 等值面：f(x,y,z)=C,确定二元函数隐函数z =z (x, y)切平面的法向量(,1)zznxy ( , (,)

13、 )0f x yz xy两边对 x ，y求偏导xfzfxz0(,1)yxzzffffyfzfzy0( , , )grad f x y zn 例1设f(x,y)=xey (1) 求grad fx,y）；（2求f在点P2，0处沿P到Q(1/2，2)方向的变化率。（3问f(x,y)在P点处沿哪个方向的变化率最大？最大变化率为多少？解 (1) grad fx,y）=(ey， xey)|(2,0)=(1,2) (2) PQ=-3/2 ,2 PQ0= h=(-3,4)/5 = gradfh0=(1,2) (-3,4)/5=1lf (3) f(X)在P点处沿grad fx,y） =(1,2)方向的变化率最大

14、| grad fx,y） |=5解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.例例 3 3 求 函数求 函数)(12222byaxz在 点在 点M)2,2(ba处 沿曲 线处 沿曲 线12222byax在这点的内法线方向的方向导数。在这点的内法线方向的方向导数。 解：函数的等值线为椭圆，法线方向为梯度方向22(,),22abgradfab 方向向内，即内法向方向梯度方向上方向导数最大为2222(,)()() ,22fabg

15、radfabl 222()abab解解?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxMczbyaxu 例例4 4 ,20202000000zyxrzyxr 0000001(,)rxyzr002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr 00000000()()()rD f rDf rrgradf rr 0002224442,Mxyzgraduabc0000222222()(,)xyzgradf rabc,时时当当c

16、ba 000222022,Mfgraduxyzar42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax例5求函数处沿外法线方向的方向导数。22222200002221M,)xyzuxyzxy zabc在椭球面上的点 （00002220222000444222(,)2Mxyzabcnxyzabc例6. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx解解:lM (1,1,1) 处切线的方向向量)1 , 1 , 1(