常用的离散分布 (2)ppt课件

1、四、二项分布四、二项分布每一次实验每一次实验, ,设在一次实验中设在一次实验中, ,只需两个对立的结果只需两个对立的结果: :,A或或A反复进展反复进展n n次独立实验次独立实验, ,A A发生发生的概率都是的概率都是A A不发生的概率不发生的概率这样的这样的n n次独立反复实验次独立反复实验 称作称作n n重贝努里实验重贝努里实验. . 用用 表示表示Xn n重贝努里实验中重贝努里实验中事件事件A(A(胜利胜利) )出现的出现的能够取值能够取值: :X次数次数, ,0,1,2,3,.,n, pq 1, p 都是都是PnkX.210nq111nnpCq222nnpCq.kknn kpCq.np

2、称随机变量称随机变量X服从参数为服从参数为,n p的二项分布的二项分布, ,记为记为kpn kq即即 ( , )Xb n pP XkknC 0,1,2,.,kn EXpnDXqn p可以证明，可以证明， 二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差分别为分别为0.5, 0.5 XU 0.30.3 在四舍五入时在四舍五入时, ,今有今有n n个加数个加数, ,每个加数的取整误差每个加数的取整误差服从服从 0.5, 0.5上的均匀分布上的均匀分布, ,计算它们计算它们绝对误差小于绝对误差小于 的概率的概率. .0.3例例 设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差, ,X解解P10.5

3、0.5)(xfy 的概率为的概率为: :每个加数的绝对误差小于每个加数的绝对误差小于0.30.3X P0.30.3X ( )Xfx dx0.30.31dx0.6 设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. .Y 的能够取值为的能够取值为0,1,2,.,n中至少有中至少有3个的个的1)n1)n个加数个加数2)2)每个加数的绝对误差每个加数的绝对误差4)4)各加数的绝对误差能否各加数的绝对误差能否至少有至少有3 3个加数的个加数的10.50.5)(xfy 或者小于或者小于0.3,0.3 或者或者3)3)每个加数的绝对误差每个加数的绝对误差小于小于 的概率都

4、是的概率都是0.30.6小于小于0.3互不影响互不影响. . ()Yb,n0.6绝对误差绝对误差小于小于 的概率为的概率为: :0.3P3Y 0P Y 设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. .1P3Y 1 1P Y 2P Y1 0.4n10.61nC 10.4n 20.62nC 20.4n 0.5, 0.5 XU设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差XP0.3X 0.30.3( )Xfx dx0.30.31dx0.6 五、几何分布五、几何分布例例 射击的次数射击的次数. .XP直到击中为止直到击中为止, , 设每次设每次p击中的概率都

5、是击中的概率都是且各次射击的结果且各次射击的结果(01),p 令令 表示表示X对某一目的射击对某一目的射击, ,.123n是独立的是独立的.假定一个实验假定一个实验直到初次胜利为止直到初次胜利为止, ,胜利的概率是胜利的概率是, p( 01),p 不断地反复实验不断地反复实验, ,的结果的结果是独立的是独立的. .令令 表示表示X实验的次数实验的次数. .XPppq2pq1npq .其中其中qp1设设 表示表示iA“第第 次胜利次胜利 iiP A()q 令令p iP A()p1P X 1APA 21()APPA 21() ()qp A A AP 312()AAPPP A 123() () ()

6、AP 1()p P X 2P X 3pqq nnA AAAP 121.()nnPPAAAAPP 121() (). () （ ）npq 1qp 2P Xn 称称X X服从服从参数为参数为 的几何分布的几何分布. .p且各次实验且各次实验.123n123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1几何分布：几何分布：p 01,p pq pq 2npq 1. q1p1 123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1几何分布：几何分布：p 01,p p 1 1np nnq1EX1p EX p qp 2qp 23npqn 1. .2q 23q 1.nnq .11nnxn 1x 时时，1n ()

7、nx1nnx 23(.)nxxxx 1x x21(1)x 2(1)q 123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 01,p 1EXp 1n2n1npq2EX p 22 pq 223 pq 21.npqn . 1np2n1nq121nnxn时，时，1 x1n ()nnx1nnnxx11nnxn x2(1)x 31(1)xx p3(1)q 1q p 3p1q 2p 1q DX 2EX 2()EX21pq 21p pq 2几何分布有性质：几何分布有性质：123.XnPppq2pq1npq .Xm XnmP nP X对恣意自然数对恣意自然数m m，n n，有有证证Xm XnmP P Xm n

8、PXm Xm mP X P Xnm P Xm mP X1P Xm2P Xmk. mpq mpq 1m kqp 1.q1mpqmq mq nmq nq nP X称为无记忆性，称为无记忆性， 是几何分布的特征性质是几何分布的特征性质. .六、超几何分布六、超几何分布0100010C0600C一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中恣意捞从池中恣意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有600条草鱼条草鱼, 400400条鲢鱼条鲢鱼, ,草鱼的数量草鱼的数量求这求这100100条鱼中条鱼中解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼400600X的能够取值

9、为的能够取值为0,1,2,3,.,100 0P X C400100C1000100kC600 P Xk kC1000400,1,2,3,. 00,1k 例例 100的概率分布的概率分布. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中恣意捞从池中恣意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有8080条草鱼条草鱼, , 920920条鲢鱼条鲢鱼, ,中草鱼的数量中草鱼的数量求这求这100100条鱼条鱼解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼92080X的能够取值为的能够取值为0,1,2,3,.,80C1000100kC

10、80P Xk 192000 kC 0,1,2,3,. 80.,k 例例 100的概率分布的概率分布. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中规定规定C80810, 8280C 80100.C 即当即当k80k80时时, ,800kC ,81,82100,.,一个池塘中有一个池塘中有10001000条鱼条鱼, ,从池中恣意捞从池中恣意捞100100条鱼条鱼, ,其中有其中有930条草鱼条草鱼, 7070条鲢鱼条鲢鱼, ,草鱼的数量草鱼的数量求这求这100100条鱼中条鱼中解解 设设 表示表示X草鱼的数量草鱼的数量.条草鱼条草鱼条鲢鱼条鲢鱼70930X的能够取值为的能够取值为,31,.30.,10

11、0C1000100kC930 P Xk 07010kC k 例例 100的概率分布的概率分布. .捞出的捞出的100100条鱼中条鱼中规定规定C701000, 9970C 0717.C 即当即当j 70j 70时时, ,700jC 30, 31, ., 1000, 1,., 29,EX 1NnN 可以证明可以证明, ,定义定义 对给定的自然数对给定的自然数12,n NN以及以及12,NNN 共共 12NNN 个个个个k1N2N个个nk n个个假设假设 P Xk , nNCkNC12kNnC 0,1,2,.,kn 那么称那么称 服服从从 X超几何分布超几何分布.超几何分布超几何分布的数学期望和方

12、差分别为的数学期望和方差分别为1,NnNDX n 12,NN 这里商定这里商定,ab 当当时时,0abC 2NN 1NnN (1)(1)无前往无前往(2)(2)有前往有前往kNN12)2)每次或取到红球或取到黑球每次或取到红球或取到黑球. .3)3)每次取到红球的概率都是每次取到红球的概率都是4)4)各次摸取互不影响各次摸取互不影响NN1个黑球个黑球, ,N2设袋中有设袋中有 个红球个红球, ,N1从中取从中取n n次次, ,每次取一个球每次取一个球, ,表示取到的红球个数表示取到的红球个数. .X P Xk 12nNNC 1kNC2kNnC 0,1,2,.,kn 服从超几何分布服从超几何分布

13、. .X1) 1) 次摸取次摸取n服从二项分布服从二项分布. .XP Xkn kNN2knC当当N N很大时很大时, ,无前往无前往接近于有前往接近于有前往, ,故故超几何分布超几何分布接近于接近于1N2N共共 12NNN 个个1,nN 2nN ，二项分布二项分布. .kn 0,1,2,.,(1)(1)无前往无前往(2)(2)有前往有前往时时pNN1其中其中P60 (2.57)P60 (2.57)1N2N共共 12NNN个个 P Xk 12nNNC 1kNC2kNnC 0,1,2,.,kn 1kNN P Xk 2n kNN knC0,1,2,.,kn 对于固定的对于固定的n,N 当当 P Xk

14、 12nNNC1kNC2kNnCkp,n kq knC1qp当当 很大时很大时, ,N无前往接近于有前往无前往接近于有前往, ,故超几何分布故超几何分布接近于二项分布接近于二项分布. .1,N 2,N 且且例例 设设1010粒种子中粒种子中NC1080.9共共N N粒粒NC101010C 910C 一大批种子的发芽率为一大批种子的发芽率为90%,从中任取从中任取1010粒粒, ,求播种后求播种后(1)(1)恰有恰有8 8粒发芽的概率粒发芽的概率; ;(2)(2)不少于不少于8 8粒发芽的概率粒发芽的概率. .解解有有 粒种子发芽粒种子发芽. .X (1)8P X NC0.98NC0.1220.

15、1 C810 (2)8P X 8P X 9P X 10P X NC0.1280.9NCNC10NC0.11NC0.99NC10NC0.10NC0.91080.920.1 C81090.910.1 100.900.1 0.9N0.1N七、泊松分布七、泊松分布定义定义 且取这些值的概率为且取这些值的概率为其中其中( )XP 为常数为常数, ,那么称那么称 服服从从X参数为参数为的的记为记为设随机变量设随机变量 能够取的值为能够取的值为X,!kke e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e 0,1,2,., ,.k0,1,2,3,.k P Xk0, 分布分布, ,泊松泊松( )XP 1

16、由由121.!012!2kXPeeeekk xe21.2!nxxxn x 0nP Xn e 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2. .! .!nn e e 泊松分布的数学期望与方差分别为泊松分布的数学期望与方差分别为 EX DXEX 泊松分布：泊松分布：. 1 用同样的方法可求得用同样的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n 1n . e 1!1e 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 2 2 2 e .01.2.nXP!nen 例例 书籍中每页的印刷错误书籍中每页的印刷错误服从泊松分布服从泊松分布,一个印刷错误的页数一

17、个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数求恣意检验求恣意检验4 4页页, , 每页上都没有印刷错误每页上都没有印刷错误解解 设任一页上设任一页上X有有 个印刷错误个印刷错误. P Xm,!mme 0,1,2,3,.m 1P X 2P X 总页数总页数有一个印刷错误的页数有一个印刷错误的页数 总页数总页数有两个印刷错误的页数有两个印刷错误的页数 2P X有有一样一样, 1P X 1!1e 22!e 2 的概率的概率.例例 书籍中每页的印刷错误书籍中每页的印刷错误服从泊松分布服从泊松分布,一个印刷错误的页数一个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数求恣意检验

18、求恣意检验4 4页页, , 每页上都没有印刷错误每页上都没有印刷错误解解 设任一页上设任一页上X有有 个印刷错误个印刷错误. P Xm,!mme 0,1,2,3,.m 有有一样一样,2 的概率的概率.一页上无印刷错误的概率为一页上无印刷错误的概率为 0P X 2e 00!e 任取任取4 4页页, ,设设 表示表示iA“第第 页上页上i无印刷错误无印刷错误P A A A A12341234() () () ()P A P A P A P A 8e ()iP A2e 0.135335 40.135335 ( (表表P276)P276)例例 某商店根据某商店根据服从参数为服从参数为=10=10的的销售量销售量为了以为了以95%95%保证不