第二章 结构可靠性的基本概念和原理 数学基础

1、第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础 一一 、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征 1、位置特征、位置特征 随机变量随机变量-指在一定条件下的实验中指在一定条件下的实验中,每每次都取一个不能预先确知数值的变量。次都取一个不能预先确知数值的变量。 随机变量的取值为可预先列举的有限个值随机变量的取值为可预先列举的有限个值(有时是可列个值有时是可列个值) ,称为离散型随机变量。称为离散型随机变量。 随机变量的取值为充满某一区间的任何数随机变量的取值为充满某一区间的任何数值值,则称为非离散型随机变量则称为非离散型随机变量(

2、或连续型随机变或连续型随机变量量)。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n反映随机变量的集中位置或分布中心的数学特征有数学期望、众数或中位数等。n 对离散型随机变量来说,所有可能值与其对应概率乘积的总和称为该随机变量的数学期望。例如,设离散型随机变量的可能值为x1、x2 、 x3 、 、xn其对应的概率分别为p1、p2 、 p3 、 、pn,则X的数学期望,记为Ex或n n,记为：第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础Ex= （2-1）若X

3、以等概率xi=1/n,取xi=1,2,3,n,则： Ex= (2-2)即随机变量的数学期望就是其所有可能值的平均值。在一般情况下,随机变量取的概率是不相等的,设第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n即随机变量X的数学期望是所有可能值x1,x2, ,xn的加权平均值。称mi为xi的权数。n随机变量的数学期望实际上是平均值的推广。并常常把数学期望就称为平均值。n连续型随机变量：由于它的可能值是不可列的,是连续地充满某个区间的,因而式(2-1 )中的离散值替换为连续变量x, 对应的概率xi则替换为概率元f(x)dx,且总和

4、改为积分,即得非离散型随机变量的数学期望,即:第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n当已确知随机变量的取值范围为(a,b )时,则上式积分可改为从a到b。n在位置特征中,除了最常用的数学期望外,有时也用众数和中位数,分别记为1x和2x。n对离散型随机变量来说,众数是概率为最大的可能值;第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n对连续型随机变量来说,众数则是概率密度为极大的值。工程中常遇到的概率密度是单峰铃形曲线,故众数可由下式求得:n df(x

5、)/dx=0 (2-5)n随机变量的中位数,也常称中值, 满足等式:n p(X2x)=p(X2x) (2-6)n从几何上说,中位数将分布曲线下的面积划分为相等的两半,即随机变量取小于或大于2x值的概率相等。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n2.原点矩和中心矩n数学期望是表达随机变量的集中位置或者说分布中心的数字特征。n截面惯性矩的大小可以表示面积的分布情况。n在概率论中也用矩来描述随机变量集中程度及分布特征。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性

6、数学基础n离散型随机变量-所有可能值的k次方与其对应概率的乘积的总和称为该随机变量的k阶原点矩。n n连续型随机变量:第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n数学期望就是一阶原点矩,而k阶原点矩则是随机变量的k次方的数学期望: n EkX=EXkn随机变量X与其数学期望x之差称为中心化随机变量,即为X-x,它的k阶原点矩称为随机变量的k阶中心矩,记为k,计算公式为: n k(x)=E(X-x)k (2-9)第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础

7、n对于离散型随机变量:n对于连续型随机变量:nEk(X)= -(x-x )kf(x)dx (2-10)n一阶中心矩恒等于零。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n3 .方差、标准差、变异系数n力学中,惯性矩是面积对通过形心主轴的二阶矩,反映了面积围绕形心的分布特征。与此相对应,随机变量对数学期望的二阶矩,即二阶中心矩,则描述随机变量围绕数学期望的分布特征,通常称为方差,记为,DX，nDX= 2X=E（X-x）2 (2-11)n即方差是随机变量相对其数学期望的偏差的平方的数学期望。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二

8、章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n对于离散型随机变量:n对于连续型随机变量:第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n方差-小正数,则表示随机变量的一切可能值高度集中在数学期望附近;n方差-很大的正数,则表示随机变量的取值是很分散的,即与数学期望的偏差很大。因此,方差是描述随机变量的离散性的数字特征。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础nX= （2-13）n随机变量均方差的大小除了与离散性有关外,还与

9、其数学期望值的大小有关,因此不能仅用均方差来比较随机变量的离散度,而应采用均方差与数学期望的比值作为判据。这个比值称为离散系数或变异系数,记为。n =/ （2-14）第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n4 .偏态系数和峰度系数n当分布曲线为对称时,不难证明所有奇次阶的中心矩等于零。2k+1X0(k=1,2,),则说明分布曲线不是对称的。用三阶中心矩与均方差的三次方的比值,称为偏态系数或简称偏态,记为Cs。n Cs=3 /3 (2-15)n当Cs0时,分布曲线称为正偏态曲线;当Cs0时,分布曲线称为负偏态曲线。第二章

10、：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n四阶中心矩描述了分布曲线顶峰的突出程度。鉴于四阶中心矩具有随机变量的四次方量纲,故常采用四阶中心矩与均方差的四次方的比值,即。同时,又因正态曲线的等于3,故定义 : n Ce= 4 /4 -3 (2-16)n为峰度系数或简称峰度。n在大多数实际问题中,最常用的数字特征是数学期望及方差(或均方差)、离散系数,其次是偏态,再次是峰度。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n二、结构可靠度分析中常用的概率分布n1 .

11、正态分布n在许多实际问题中,遇到的实际变量常受到许多相互独立的随机因素的影响,而每个个别因素的影响都不起决定性的作用,但这些影响是可以叠加的。在概率论的极限理论中可以证明:具有上述特点的随机变量一般都具有以函数第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n称这种分布为正态分布或高斯分布。它依赖于两个常数及,以后,把这种分布简记为N(,)。n当 =0，=1的分布称为标准正态分布n正态分布N(,)中的常数，依次是按这个分布的随机变量的平均值与标准差。从而,对于正态分布,只要利用平均值及标准差这两个统计参数便能完全定出其分布。第二

12、章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n正态分布N(,)的变异系数为= /n若随机变量X服从N(, ),则可通过标准化变换Y=(X-)/ 化为标准正态分布,可证Y服从N(0, 1)。人们将标准正态分布函数n对于不同的上限x值计算出（x）值,制成表格形式,以供查用。对于任何非标准正态分布N(,),只要作标准化变换后,也可使用此表格。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n例如Y服从N(,),b1b2为任意两个实数,那末:n P(b1yb2)= (b2

13、-)/-(b1-)/n2.对数正态分布n 设X服从N(,)，Y=exp(x)的密度函数为:第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n这个分布称为对数正态分布(,为对数正态分布的参数) ,常记为LN(,)。n它也是实际中常用到的一种分布。当X服从正态分布时,则Y=exp(x)服从对数正态分布;反之,当Y服从对数正态分布时,则X=lnY服从正态分布。n在结构可靠性理论中,对数正态分布被用来描述抗力的统计规律。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n当

14、Y服从对数正态分布时：n在实际应用中,有时要求用对数正态分布的平均值及变异系数来表达密度函数中的参数及2。这可以用上面求得的计算公式反推得到:第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n3 .极值分布n 在结构可靠性分析中,极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用。比如对于结构荷载要研究其在基准使用期内的最大值的概率分布,如30年最大风压的分布,楼面活荷载在50年最大值的概率分布等都要用到它。n极值分布有极值型分布,极值型分布和极值型分布三种,现分述如下。n1) 极值型(最大值型)分布第二章：结构可靠性的基本概念和原理第

15、二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n极值型(最大值型)分布的概率密度函数:n f(x)=exp-(x-)-exp(-(x-) (-x) (2-21)n概率分布函数为nF(x)=exp-exp(-(x-) (-x) (2-22)n式中,参数和由下式近似确定:n =1.2825/n =-0.5772n式中参数和为极值型分布的数学期望与均方差。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n极值型分布通常用于描述活荷载、风荷载和雪荷载。n2)极值型(最大值型)n极值型(最大值型)的概率分布为:n F(x)=exp(-(/x)k) x0 (2-24)n式中和k参数用下式确定:n =(1-1/k) k1n 2=2(1-2/k)- 2(1-1/k) k2n本分布有时用于模拟地震作用。第二章：结构可靠性的基本概念和原理第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础结构可靠性数学基础n3)极值型(最小值型)n极值型(最小值型)的概率分布为:n F(x)=1-exp(-(/x)k) x0 (2-25)n式中和k参数用下式确定:n =(1+1/k) n 2=2(1+2/k)- 2(1+1/k) n该分布有时用于模拟材料强度。第二章：结构可靠性的基本概念和原理