数值计算方法期末考试题

1、精选优质文档-倾情为你奉上 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.   A4和3          B3和2   C3和4          D4和42. 已知求积公式，则（ ）A      B    &#

2、160; C     D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（    ）   A0，        B 0，        C1，         D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（    ）敛速。    A超线性 

3、;    B平方       C线性           D三次5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（   ）.       A             

4、0;  B        C                 D 1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则        ，        .2. 一阶均差  &

5、#160;                  3. 已知时，科茨系数，那么             4. 因为方程在区间上满足                &

6、#160;，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                      . 1.       9和 2.        3.       4. &

7、#160;     5.       三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 1.       解 ，           ，所以分段线性插值函数为           &

8、#160;                        2. 已知线性方程组（1）       写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）       对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 1.解

9、 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.  3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ，              方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分. 4 解  梯形公式      

10、                             应用梯形公式得                      &#

11、160;      辛卜生公式为                     应用辛卜生公式得                      

12、60;                                四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得     

13、;                              得，。所求公式至少有两次代数精确度。     又由于             

14、                          故具有三次代数精确度。  一、          填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=    

15、0; .2.设一阶差商 ，    则二阶差商 3. 设, 则        ，        。4求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么     5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径               。 7、设

16、  ，则                和                  。        8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都  

17、;             。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为               。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成              

18、0;               。 1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收敛9、10、二、计算题  （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 1、（1）    （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 2、由 ，可得 ，   &

19、#160;           3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。） 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得    所以得数值解公式： 5 利用矩阵的

20、LU分解法解方程 组 5、解：三、证明题 （5分）1设  ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有                 位有效数字。(2). 对, 差商(      )。(3). 设, 则        。(4).牛顿柯特斯求积公式的系

21、数和                       。 （1）3    （2）1    （3）7        （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，

22、0.3894）。 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。 3）迭代公式  4).（15分）求系数。 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由  5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。 1）凭你的

23、理解去叙述。2）参看书本99页。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有(     )位有效数字.2.  是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则     (      ).3.  设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是(               

24、   ).4.  迭代公式收敛的充要条件是            。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为(         ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为(           )。132.3.4. 5.迭代矩阵， 

25、;   二、判断题（共10分）1.          若，则在内一定有根。               (   )2.          区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。    

26、;     (   )3.          若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。     (   )4.          若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。      &#

27、160;                                   (   )5.          用近似表示产生舍入误差。 &

28、#160;                   (   ) 1.×  2.×  3.×  4.  5.×三、计算题（70分）1.      （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=(  &

29、#160;                )，=(             ), 插值多项式P2(x)=(                ), 用三点式求得(  

30、;       ). 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式     的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度. 4. （15分）设初值问题  . (1)     写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)  

31、;   写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。 5              =1+2(                    

32、60;    ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有             和             。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则            &

33、#160;           ；     。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数                   

34、; ；且          。4、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                                 

35、;               。5、则。1.相对误差  绝对误差 2.       13. 至少是n              b-a 4. 3    5. 1      0二、计算题1、已知函数的

36、相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。4、（15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。 解：设则可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解线性方程组

37、 解：即一、填空题（25分）1).设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有        位有效数字。2).          ，        。3).求方程根的牛顿迭代格式是           。4).已知,则  &

38、#160;         ,           。5). 方程求根的二分法的局限性是             。 1）4；     2）1，0；    3）； 4）7, 6；5）收敛速度慢，不能求偶重根。 二、计算题1).（15分）已知

39、(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。 解：2).（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。 解：由等式对精确成立得：,解此方程组得     又当时    左边右边  此公式的代数精度为2 3).（15分）取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题     3）梯形法为即 迭代得4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值. 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消

40、元；回代得解；行列式得5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。   5). 解：是的正根，牛顿迭代公式 为，  即     取x0=1.7, 列表如下：一、填空题( 每题4分，共20分)1、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                  &#

41、160;                             。2、则。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数    

42、0;               ；且          。4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                      

43、  ；     。5、按四舍五入原则数2.与8.具有五位有效数字的近似值分别为               和             。 1、3        2、     &#

44、160;       3、              14、至少是n                5、            二、计算题1、（10分）已知数据如下： 求形如拟合函数。 解：2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。 解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得  。3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。 解：4、（15分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。 （2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求积公式形如：。5、（15分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组A