太原理工大学卓越班高数上第三节任意项级数

1、高等数学高等数学主讲教师主讲教师 数学学院数学学院 魏毅强魏毅强 教授教授联系电话联系电话Email : Yiqiang Wei 2统计学统计学第七章第七章 无穷级数无穷级数 Yiqiang Wei 4v 7.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v 7.2 正项级数正项级数v 7.3 任意项级数任意项级数v 7.4 幂级数幂级数v 7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数v 7.6 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用v 7.7 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的 基本性质基本性质v 7.8 傅里叶级数

2、傅里叶级数v 7.9 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数v 7.10 以以2l为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数目录目录 Yiqiang Wei 5学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。v 2）熟悉几何级数与级数的收敛性。）熟悉几何级数与级数的收敛性。v 3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，敛法，会会用根式

3、审敛法。用根式审敛法。v 4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。）掌握交错级数的莱布尼兹定理。v 5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。和收敛的关系。v 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。v 7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。收敛区间及收敛域的求法。Yiqiang Wei 6学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一）了解幂级数在

4、其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。级数的和。v 9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。v 10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。开为幂级数。v 11) 了解幂级数在近似计算中的简单应用。了解幂级数在近似计算中的简单应用。v 12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数

5、展开为付氏级数，氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。级数和函数的表达式。Yiqiang Wei 77.3.1 交错项级数交错项级数7.3.3 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛7.3 任意项级数任意项级数7.3.2 交错项级数审敛法（莱布尼茨审敛法）交错项级数审敛法（莱布尼茨审敛法）7.3.4 绝对收敛的性质绝对收敛的性质Yiqiang Wei 87.3.1 交错项级数交错项级数定义定义3.1 如果如果 ui0，i=1，2， ，n， ，则则u1 1- -u2

6、 u3 - (-1)n-1 un 称为称为交错交错项级数项级数。注：注：有时候我们也将正、负项交替出现的级数归入交错有时候我们也将正、负项交替出现的级数归入交错项级数中讨论。项级数中讨论。7.3 任意项级数任意项级数Yiqiang Wei 97.3.2 交错项级数审敛法交错项级数审敛法(莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法)7.3 任意项级数任意项级数德国数学家莱布尼茨德国数学家莱布尼茨1646年年1716年年定理定理3.1 如果序列如果序列 un 单调递减趋于零，单调递减趋于零，即即11) 1(nnnu则级数则级数 收敛，且其余项收敛，且其余项rn的绝对的绝对值值|rn | un 1, 2 , 1,

7、1nuunn0limnnuYiqiang Wei 10举例举例例例3.1 讨论交错项级数的收敛性讨论交错项级数的收敛性作差；作比；求导作差；作比；求导注；注； 判别单调性的一般方法有判别单调性的一般方法有3 3种种7.3 任意项级数任意项级数11) 1(nnn12112) 1(nnnn211) 1(nnnnYiqiang Wei 117.3 任意项级数任意项级数7.3.3 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛（称为绝对收敛判别法）（称为绝对收敛判别法）注：注：条件收敛级数，收敛和与加法次序有关，当改变加法条件收敛级数，收敛和与加法次序有关，当改变加法次序时收敛和也会改变次序时收敛和也会改变。而

8、绝对收敛级数的收敛和不因加。而绝对收敛级数的收敛和不因加法的次序改变而改变。法的次序改变而改变。 定理定理3.2 如果如果级数级数 收敛收敛，则，则 也也收敛收敛 1|nnu1nnu1nnu1|nnu定义定义3.2 如果如果 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛；绝对收敛；1nnu1|nnu如果如果 发散，发散， 收敛，则称收敛，则称 条件收敛。条件收敛。1nnuYiqiang Wei 127.3 任意项级数任意项级数例如例如例例3.2 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性12sinnnn2)11 () 1(11nnnnpqknqknpqknpkln212ln)2211221(101 Yiqia

9、ng Wei 137.3 任意项级数任意项级数7.3.4 绝对收敛的性质绝对收敛的性质定理定理3.3 绝对收敛级数的各项任意重排后构成的级数仍然绝对收敛级数的各项任意重排后构成的级数仍然绝对收敛，且与原级数有相同的和。绝对收敛，且与原级数有相同的和。 定理定理3.4 如果如果 绝对收敛，绝对收敛，则则 也也绝对收敛绝对收敛 。1nnu1nnv11nmmnvu1111111)(mmnnnmnmmnnmmnvuvuvu称为柯西乘积称为柯西乘积Yiqiang Wei 14 Yiqiang Wei 15戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，

10、1646年年1716年）年） 德国哲学家、数学家。第一个公开微积分方法的人，并德国哲学家、数学家。第一个公开微积分方法的人，并且符号被主流应用，而牛顿是确认早于莱布尼茨使用微且符号被主流应用，而牛顿是确认早于莱布尼茨使用微积分的。莱布尼茨终生未婚，但是在积分的。莱布尼茨终生未婚，但是在50岁时曾经想要结岁时曾经想要结婚，但是女方提出说婚，但是女方提出说需要一些时间需要一些时间“，这从而给了莱，这从而给了莱布尼茨时间去正面的思考这个问题，所以最终莱布尼茨布尼茨时间去正面的思考这个问题，所以最终莱布尼茨终生未婚。终生未婚。关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际关于微积分创立

11、的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。莱布尼茨则早于牛顿。莱布尼茨1684年年10月在教师学报上发表的论文一种月在教师学报上发表的论文一种求极大极小的奇妙类型的计算，是最早的微积分文献。这篇仅有六页求极大极小的奇妙类型的计算，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。 返回返回Yiqiang Wei 16因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立

12、地创建微积分的。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。牛顿在三年后，即牛顿在三年后，即1687年出版的年出版的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。这段话被删