复变函数与积分变换课件(PPT版)51_孤立奇点

1、1第五章 留数及其应用 第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.2 留数留数5.1 孤立奇点孤立奇点5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 25.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点孤立奇点一、引言一、引言 二、零点二、零点 三、孤立奇点三、孤立奇点 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 五、如何进行孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 35.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、引言一、引言 本章重点解决闭路积分问题。本章重点解决闭路积分问题。 D r C 0z如图，考虑积分如图，考虑积分 .d)( zz

2、f(1) 若若 在在 G G 上连续，在上连续，在 D 上解析，上解析， )(zf.0d)( zzf则则 (2) 若若 在在 D 上有唯一的奇点上有唯一的奇点 )(zf,0z.d)(d)( Czzfzzf则则 此时，将函数此时，将函数 在在 点的邻域内进行洛朗展开，点的邻域内进行洛朗展开， )(zf0z Cnzzz)(d0,1 n,2 i,1 n,0 由由 则积分则积分 “不难不难? ” 得到。得到。 zzfd)(,)()()()(20201001202zzazzaazzazzazf G G 45.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 则称则称 为为 的的零点零点； ,0)(0 zf0zz )(

3、zf(1) 若若 所谓函数所谓函数 的的零点零点就是方程就是方程 的的根根。 )(zf0)( zf定义定义 设函数设函数 在在 处解析，处解析， )(zf0z, )()()(0zzzzfm ,0)(0 z (2) 若若 )(z 在在 处解析且处解析且 0z则称则称 为为 的的 m 阶零点阶零点。 0zz )(zf对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。 结论结论 即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。 二、零点二、零点 P106定义定义 5.2 P107 ( (进入证明进入证明?)?)55.1 孤立奇点 第五章

4、留数及其应用 二、零点二、零点 定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的： )(zf0z(1) 为为 的的 m 阶阶零点零点。 0z)(zf,0)(0)( zfk(2) .0)(0)( zfm;1,2,1,0 mk,)()()(1010 mmmmzzazzazf其中，其中， .0 ma(3) 在在 内的泰勒展开式为内的泰勒展开式为 )(zf |0zz 充要条件充要条件 ( (如何判断零点的阶数如何判断零点的阶数? ) ) P107定理定理 5.4 ( (进入证明进入证明?)?)65.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 其中，其中， .0 ma二、零点

5、二、零点 充要条件充要条件 ( (如何判断零点的阶数如何判断零点的阶数? ) ) 定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的： )(zf0z(1) 为为 的的 m 阶阶零点零点。 0z)(zf,0)(0)( zfk(2) .0)(0)( zfm;1,2,1,0 mk(3) 在在 内的泰勒展开式为内的泰勒展开式为 ,)()()(1010 mmmmzzazzazf)(zf |0zz . )()(0zzzm 202010)()()( zzazzaazzmmmm收敛且解析收敛且解析 75.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例例 .1)(3 zzf, )1(

6、)1()(2 zzzzf故故 为为 的一阶零点。的一阶零点。 1 z)(zf例例 .1)32()(e3zzzf 故故 为为 的三阶零点。的三阶零点。 23 z)(zf.1823)(e)(3zzzf 85.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的三阶零点。的三阶零点。 0 z)(zf,0cos1)0(0 zzf,0sin)0(0 zzf,01cos)0(0 zzf)(23! 51! 31 zz0 z)(zf是是 的三阶零点。的三阶零点。 ,0)0( f方法一方法一 )(53! 51! 31)( zzzzzf方法二方法二 95.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(42! 41! 2111)

7、( zzzf)(22! 411 zz0 z)(zf是是 的二阶零点。的二阶零点。 1! 31! 211)()(32 zzzzzf)(22! 41! 31! 21zzz 0 z)(zf是是 的二阶零点。的二阶零点。 105.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 三、孤立奇点三、孤立奇点 邻域邻域 内解析，内解析， |00zz 则称则称 为为 孤立奇点孤立奇点。 )(zf0z使得使得 在去心在去心 且存在且存在 ,0 )(zf定义定义 设设 为为 的奇点，的奇点， 0z)(zf例例 ,sin)(zzzf 为孤立奇点。为孤立奇点。 0 z例例 ,ln)(zzf 原点及负实轴上的点均为奇点，原点及负实轴

8、上的点均为奇点， 但不是孤立奇点。但不是孤立奇点。 P102定义定义 5.1 115.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例例 ,sin1)( zfz1,0sin z1(1) 令令 为孤立奇点；为孤立奇点； kzk1,k z1,2,1,0 k(2) 0 z也是奇点，也是奇点， 但不是孤立奇点。但不是孤立奇点。 邻域邻域 内解析，内解析， 则称则称 为为 孤立奇点孤立奇点。 使得使得 在去心在去心 )(zf定义定义 |00zz 设设 为为 的奇点，的奇点， 且存在且存在 ,0 0z0z)(zf)(zf三、孤立奇点三、孤立奇点 P102 例例5.3 125.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、

9、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将将 在在 内内 |00zz )(zf定义定义 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，0z)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数： ,)()(0 nnnzzazf(1) 若若 ,0 na,0 n有有 则称则称 为为 的的可去奇点可去奇点。 0z)(zf( ( 即不含负幂次项即不含负幂次项 ) ) P103 135.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心

10、邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 |00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点， 0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数： ,)()(0 nnnzzazf则称则称 为为 的的 N 阶极点阶极点； 0z)(zf( ( 即含有限个负幂次项即含有限个负幂次项 ) ) (2) 若若 ,0 Na,0 N有有且且 ,0 na,Nn 有有 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为 的的简单极点简单极点。 1 N0z)(zf145.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的

11、去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 |00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点， 0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数： ,)()(0 nnnzzazf( ( 即含无限个负幂次项即含无限个负幂次项 ) ) (3) 若若 ,0 N,Nn 有有 ,0 na则称则称 为为 的的本性奇点本性奇点。 0z)(zf155.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内 |00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇

12、点， 0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数： ,)()(0 nnnzzazf,)()()(010010 zzaazzazzazfNN小结小结 (1) 可去奇点可去奇点 不含负幂次项；不含负幂次项； (2) N 阶极点阶极点 含有限多的负幂次项含有限多的负幂次项, 且最高负幂次为且最高负幂次为 N； (3) 本性奇点本性奇点 含有无穷多的负幂次项。含有无穷多的负幂次项。 可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 165.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 ,)()()(010010 zzaazzazzazfNN可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 (2)

13、 N 阶阶极点极点 (3) 本性奇点本性奇点 )(lim0zfzz不存在且不为不存在且不为 . czfzz )(lim0( (常数常数) )； ;)(lim0 zfzz(1) 可去奇点可去奇点 方法方法 注注 在求在求 时，可使用时，可使用罗比达法则罗比达法则。 )(lim0zfzz( (该条件只能判断是极点该条件只能判断是极点) ) ;)()(1)(010 zzaazzzfNNNN 阶极点阶极点 五、如何进行孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类 P103105定理定理5.15.3 175.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 ( (不含负幂次项不含负幂次项) ) )(53! 51! 311

14、sin)( zzzzzzzf0 z解解 是是 的奇点，的奇点， )(zf,1 zzzfzzsinlim)(lim00 由由 是是 的可去奇点。的可去奇点。 0 z)(zf可知，可知， 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf,! 51! 31142 zz. )|0( z 如果约定如果约定 在在 点的值为点的值为 1， 0 z)(zf则则 在在 点点 )(zf0 z就解析了，就解析了， 因此称因此称 为为 的可去奇点。的可去奇点。 0 z)(zfP105 例例5.4 185.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 0 z解解 是是 的奇点，的奇点， )(

15、zf. )(lim0zfz考察极限考察极限 是是 的本性奇点。的本性奇点。 0 z)(zf因此，因此， 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf( (含无穷多个负幂次项含无穷多个负幂次项) ) . )|0( z,!1! 21112 nznzze)( zfz1x1e00lim yx)(lim00zfyx 由由 ; )(lim00zfyx x1e00lim yx,0 )(lim0zfz不存在且不为不存在且不为 . 可知，可知， 195.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 ( (含有限个负幂次项，且最高负幂次为含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2 ) )

16、 )(e22)1(! 21)1(1)1( zzz1 z解解 是是 的奇点，的奇点， )(zf, 211)1(lim)(lime zzfzzz由由 是是 的极点。的极点。 1 z)(zf可知，可知， 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 1 z)(zf 可见，可见， 为为 的二阶极点。的二阶极点。 1 z)(zf21)1()(ee zzfz. )|0( z,)1(! 3! 21)1(eeee2 zzz205.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(4233! 41! 2111cos)( zzzzzzf0 z解解 是是 的奇点，的奇点， )(zf, 300cosl

17、im)(limzzzfzz 由由 是是 的极点。的极点。 0 z)(zf可知，可知， 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf,! 41! 2113 zzz. )|0( z 可见，可见， 为为 的三阶极点。的三阶极点。 0 z)(zf含有限个负幂次项含有限个负幂次项 且最高负幂次为且最高负幂次为 3 是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？ 问题问题 215.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 则则 为为 的的 N 阶极点。阶极点。 0z)(zf1. , )()(1)(0

18、zzzzfN 若若 其中其中 在在 点的邻域内解析，点的邻域内解析， )(z 0z且且 ,0)(0 z )()()(010010zzaazzazzazfNN)()(1010 zzaazzNNN0z为为 的的 N 阶极点的充要条件阶极点的充要条件(即定义即定义)为：为： )(zf 事实上，事实上， , )()(10zzzN 其中，其中， 在在 点的邻域内解析，点的邻域内解析， )(z 0z.0)(0 Naz 且且 P105 式式( (5.1) ) 225.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 2. ,)()()(zzzf 若若 零点，零点， 且且 为为

19、 的的 m 阶零点，为阶零点，为 的的 n阶阶 )(z 0z)(z 则则 (1) 当当 时，时， nm (2) 当当 时，时，nm )(zf)()()()(1010zzzzzznm , )()()(00zQzzzznm 即即 0z)(zf为为 的可去奇点。的可去奇点。 0z)(zf为为 的的 (n - m) 阶极点。阶极点。 P107定理定理 5.5 235.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 1 z是是 的一阶极点。的一阶极点。 )(zf判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。 例例 22)1(1)( zzzfiz 是是 的二阶极点。的二阶极点。 )(zf解解 ,)1( )1()1(

20、)1()(2 zzzzzf由于由于 1 z是是 的可去奇点，的可去奇点， )(zf故故 解解 ,)()(1)(22izizzzf 由于由于 0 z是是 的一阶极点，的一阶极点， )(zf故故 245.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,2kzk 令令 ,2,1,0 k故故 是是 的一阶极点。的一阶极点。 )(zfkz由于由于 是是 的一阶零点，的一阶零点， zcoskz判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。 例例 zzzf2sincos)( 但不是但不是 的零点，的零点， zcos解解 ,kzk 令令 ,2,1,0 k由于由于 是是 的二阶零点，的二阶零点， z2sinkz故故

21、 是是 的二阶极点。的二阶极点。 )(zfkz255.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的四阶零点，的四阶零点， 解解 0 z4z故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。 )(zf0 z)()(1! 51! 41! 31! 2111)(54324zzzzzzzzf 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 0 z)(zf,! 51! 41! 31! 212zzz . )|0( z 因此，因此， 为为 的二阶极点。的二阶极点。 0 z)(zf注注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握 )1(ez

22、z 且是且是 的二阶零点，的二阶零点， 265.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点， 解解 0 zzzsin 故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。 )(zf0 z判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。 例例 )e (1sin)(2 zzzzf由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点， 解解 0 z)(e12 zz故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。 )(zf0 z 什么情况下会出现本性奇点呢什么情况下会出现本性奇点呢 ? 1e z且是且是 的一阶零点，的一阶零点， zsin且是且是 的一阶零点，的一阶零点， 275.1 孤立奇点 第五章 留数及其应

23、用 为可去奇点。为可去奇点。 0 z为可去奇点。为可去奇点。 0 z判断下列函数的奇点的类型。判断下列函数的奇点的类型。 例例 .)( gzf)()(zz 上述函数都有一个共同点：上述函数都有一个共同点： 为本性奇点。为本性奇点。 1 z1 z为本性奇点。为本性奇点。 为本性奇点。为本性奇点。 0 z285.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 考虑下面两类函数考虑下面两类函数： 小结小结 (2) gzf)()()(zz (1) )()()(zzzf 比较分子分母比较分子分母 的零点的阶数的零点的阶数 czfzz )(lim0可去奇点可去奇点 , , N 阶阶极点极点。 )(lim0zfzz)(

24、)(lim0cgzfzz )()(lim0 gzfzz函数函数 连续连续 )(zg可去奇点可去奇点 , , 本性奇点本性奇点? 295.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 休息一下305.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：不恒为零的解析函数的零点是孤立的不恒为零的解析函数的零点是孤立的 即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的。即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的。 , )()()(0zzzzfm 0)(0 z 设设 )(z 在在 处解析且处解析且 0z由由 在在 处解析，有处解析，有 在在 处连续，处连续， )(z 0z)(z 0z,02| )(| )(|0 zz ,2| )(|0z

25、令令 ,0 则必存在则必存在 ,2| )(| )()(|00zzz 有有 故故 在在 的去心邻域内不为零，的去心邻域内不为零， )()()(0zzzzfm 0z当当 时，时， |0zz 又当又当 时，时， ,0)(0 mzz |00zz ( (返回返回) )315.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (1) 为为 的的 m 阶阶零点零点。 (3) 在在 内的泰勒展开式为内的泰勒展开式为 ,)()()(1010 mmmmzzazzazf定理定理 设函数设函数 在在 处解析，则下列条件是等价的：处解析，则下列条件是等价的： )(zf0z,0)(0)( zfk0z(2) )(zf.0)(0)( zfm;1,2,1,0 mk)(zf其中，其中， .0 ma |0zz 附：附：关于函数零点的充要条件的证明关于函数零点的充要条件的证明 P107 修改修改 325.1 孤立奇点 第五