曲线与方程含解析

1、课题：曲线与方程【考情分析】1考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系2利用直接法或定义法求轨迹方程3结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质【基础梳理】1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x

2、，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题注意事项1.通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一2.对于中点

3、弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：设点：即设出弦的两端点坐标；代入：即代入圆锥曲线方程；作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y

4、的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程【题型一直接法求轨迹方程】【例1】已知双曲线以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆的长轴端点为焦点，则该双曲线方程为_答案：1解析：椭圆方程为1，其焦点坐标为(0，±)，长轴端点为(0，±)，即双曲线顶点为(0，±)，焦点为(0，±)，设双曲线方程为1，则a，c，b23.所求双曲线方程为1.【变式1】 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线

5、l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程解设点M的坐标为(x，y)，M是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知·0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.线段AB中点M的轨迹方程为x2y50.【题型二定义法求轨迹方程】【例2】已知点A(2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设M，N是曲线C上任意两点，且|AA|AA|，问直线MN是否恒过某定点？若是，请求出定点坐标；否则，请说明理由解：(1)设P(x，y)，则由直线PA

6、与直线PB斜率之积为，得·(x±2)整理得曲线C的方程为1(x±2)(2)若|AA|AA|，则AA.由题意知A(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN斜率不存在，则N(x1，y1)由AA，得·1，又1，解得直线MN方程为x.若直线MN斜率存在，设方程为ykxm.由得(4k23)x28kmx4m2120.即x1x2，x1·x2.(*)由AA，得·1，整理得(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240.将(*)式代入，解得m2k或mk.此二种情况均有(4k23)x28kmx4m2120，均有>0.若m2k，此时

7、直线过定点(2,0)，不合题意，舍去故mk，即直线MN过定点(，0)，斜率不存在时依然满足【变式2】 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2，且小于|C1C2|6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设

8、点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21(x1)【题型三参数法、相关点法求轨迹方程】【例3】已知抛物线y24px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程解设M(x，y)，直线AB方程为ykxb.由OMAB得k.由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20.所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0.所以y1y2.由OAOB，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)把k代入，得x2y24px0(x0)即M的轨迹方程为x2y24px0(x0)【变式3】 如图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直

9、线xy2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程解设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2xx1，2yy1)点N在直线xy2上，2xx12yy12，又PQ垂直于直线xy2.1，即xyy1x10，由、联立，解得又Q在双曲线x2y21上，xy1，即221，整理得2x22y22x2y10，这就是所求动点P的轨迹方程【重难点突破】【例4】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0) 为动点，F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足A·B

10、2，求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理，得2210，得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A，B.设点M的坐标为(x，y)，则A，B(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是A，B(x，x)由A·B2，即·x·x2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy1

11、50(x0)【巩固提高】1.双曲线1(a>0，b>0)的焦距为4，一个顶点是抛物线y24x的焦点，则双曲线的离心率e等于 ()A. 2B. C. D. 答案：A解析：依题意，得c2，a1，所以e2.2.已知双曲线1(a>0，b>0)的离心率为，则椭圆1的离心率为()A. B. C. D. 答案：C解析：因为在双曲线中，e21，所以.在椭圆中，e211，所以椭圆的离心率e.3.已知点A(1,2)是抛物线C：y22px与直线l：yk(x1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是()A. B. C. D. 2答案：B解析：将点(1,2)代入y22px中，可得p2，即得抛物线y24x，其焦点坐标为(1,0)，将点(1,2)代入yk(x1)中，可得k1，即得直线xy10，抛物线C的焦点到直线l的距离d，故应选B.4. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率为()A. B. C. 或D. 或答案：D解析：因为m是2和8的等比中项，则m±4，圆锥曲线x21，即为x2±1，可能是椭圆，也可能是双曲线当为椭圆时，离心率为；当为双曲线时，离心率为，故选择D.5.已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四