数列通项公式的求法

1、数列通项公式的求法 211,cos,sin,2nnnnnaana 或或注： 有的数列没有通项公式，如：3，e，6；有的数列有多个通项公式,如：-1,1,-1,1 数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 解：变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，110 nna例2，求数列3，5，9，17，33，解：变形为：21+1，22+1，23+1，24

2、+1，25+1，12 nna 注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便不同）nna222nnan4a通项公式为：l练习：练习：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：l（1）l（2）l（3）149161 , 2 , 3, 4,2510172121,3251234,2345;122nnnan;12nan1) 1(1nnann二、定义法：二、定义法：例例3三、叠加法叠加法 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用叠加法进行消元 例4，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式na

3、解： 两边相加得： 212aa323 aa545 aanaann1naan4321) 1(21nnan434aal练习：练习：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。)(52Nnnan四、叠积法 当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用叠积法进行消元 例6、已知数列 中， ， ，求通项公式 。 na21annnaa31na解：由已知 ， ，得： 把1，2，n分别代入上式得： ， ，21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa例6、1123aa2233aa113nnnaa把上面n-1条式子左右两边同时相乘得： 21) 1(321133nn

4、nnaa2)1(32nnna ， ，五、已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是： 注意：要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2() 1(11nssnsannn2n六、 构造法当给出递推关系求 时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。na 113,21(1)1.(2).nnnnnaaaaaa例8.已知数列满足求证：数列是等比数列求数列的通项公式1(1)21nnaa11 22 21nnnaaa 11122naa 是以为首项，为公比的等比数列()nN(2)1nnba令1122nnnbb 122nbb是以为首项， 为公比的等比数列111 2ba 则1 2

5、nna 21nna()nN如果本题没有第一问，你能否想到构造出如果本题没有第一问，你能否想到构造出一个等比数列一个等比数列 呢？呢？1na 1nax设数列成等比数列，则113,21nnnnaaaaa变式已知数：列满足，求1()? ()nnaxax212nnaax121nnaa而1x探究：探究：11,1,0nnnnab acad cdaax一般地：形如，求 可以转化成等比数列待定系数法例 9 ， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ， ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434aa2) 1(41naann两边分别相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422naan例10，已知 ， ，且 ，求 。 21a0na)(211Nnaaaannnnna解： 即 0211n