171定积分在几何中的应用

1、1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 badxxfA)( badxxfxfA)()(12引入引入1 1 求平面图形的面积求平面图形的面积: :xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A321SSSdxxfba )(1S2S3S)(xfy 引入引入2 2 求运动物体的位移求运动物体的位移 我们已经看到，定积分可以用来计算平面我们已经看到，定积分可以用来计算平面图形的面积，求运动物体的位移，事实上，图形的面积，求运动物体的位移，事实上，定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习定积分的简单应用吧！定积分的简单

2、应用吧！1.1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. .2.2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法及方法. . （重点、难点）（重点、难点）类型类型1 1：求由一条曲线求由一条曲线y=y=f(xf(x) )和直线和直线x=x=a,xa,x= =b(ab(ab)b)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S S(3) |( )|( )( )( )cbcbacacSf x dxf x dxf x dxf x dx (1) ( )baSf x dx(2) ( )baSf x dx (2

3、)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab探究点探究点1 1 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形曲边形面积面积 A=A1-A2ab1曲边形面积的求解思路曲边形面积的求解思路类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=y=f(xf(x) )和和y=y=g(xg(x) )，直线，直线x=x=a,xa,x=b=b(ab)(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx解解:作出作出y2=x,y=x2

4、的图象如图所示的图象如图所示:得交点横坐标为得交点横坐标为x=0 x=0及及x=1.x=1.因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为32311002|33xx211.333oxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx22yxyx解解方方程程组组曲曲边边梯梯形形OABCOABC曲曲边边梯梯形形OABDOABDS = S-SS = S-S【总结提升总结提升】求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范

5、围( (积分的上限积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)写出平面图形的定积分表达式；写出平面图形的定积分表达式；(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积运用微积分基本定理计算定积分，求出面积. .y =2xy =2x解解方方程程组组y = x-4y = x-4直线直线y=x-4y=x-4与与x x轴交点为轴交点为(4,0).(4,0).因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为2yx4yx 解解: :作出直线作出直线y=x-4,y=x-4,曲线曲线 的图象如图所示，所求面积为图的图象如图所示，所求面积为图中阴影部分面积中阴影部分面积. .2yxS1S2得得直直线线y = x-4

6、y = x-4与与曲曲线线y =2xy =2x交交点点的的坐坐标标为为 8,4 .8,4 .将所求平面图形的面积分割成左右两个部分将所求平面图形的面积分割成左右两个部分. .2yx4 xyS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx332248820442 22 2140(4).3323xxx本题还有其他解法吗？本题还有其他解法吗？另解另解1 1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分将所求平面图形的面积分割成左右两个部分. .2yx4 xyS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx88042(4)xdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282

7、042 2140|(4 )|.323xxx24400(4)240.3ySydydy还需要把函数还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数，函数 变形为变形为2yx22yx 另解另解2 2：将所求平面图形的面积看成位于将所求平面图形的面积看成位于y y轴右边轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y y为积分变量为积分变量例例3 求求两抛物线两抛物线y8x2，yx2所围成的图形的面积所围成的图形的面积解析解析 作出曲线作出曲线y8x2，yx2的草图，的草图，所求面积为图中阴影部分的面积所求面积为图中阴影部分的面积解方程

8、组，解方程组，(1)求不分割图形面积的步骤为：画图形；求不分割图形面积的步骤为：画图形；求交点求交点(以确定积分上下限以确定积分上下限)；用定积分表；用定积分表示再计算示再计算(2)一般原则上函数下函数作被积函数一般原则上函数下函数作被积函数【总结提升总结提升】C4.求抛物线求抛物线y=x2-1，直线，直线x=2，y=0所围成的图形的所围成的图形的面积面积.yx解：解：如图，由如图，由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所示：所求面积如图阴影所示：所以：所以：212211(1)(1)Sxdxxdx2133118()().333xxxx5.如图，求曲线如图，求曲线yx2与直线与直线y2x所围图形的面积所围图形的面积S.1.思想方法思想方法:数形结合及转化数形结合及转化.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图作出示意图;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)求交点坐标，确定图形范围；求交点坐标，确