优秀教案2两条直线的交点坐标

1、3.3直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标教材分析本节内容是数学必修2第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式的第一课时.本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础.本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系.教学目标重点：能判断两条

2、直线的位置关系，会求两直线的交点坐标.难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程.知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程.能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想.教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，自主探究点：二元一次方程组的解与两

3、条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题.考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，.易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参.拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题.教具准备课件、几何画板、三角板课堂模式学案导学一、引入新课知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）问题1.直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？问题2.如何求二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有几种情况？问题3:直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？【师生活动】师：展示课件、提出问题.生：思考、讨论并回答问题.师：每一个关于x,y的二元一次方程都表示条直线，而二

4、元一次方程组的解有三种情况，直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种，那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗？如果有，那么又有怎样的对应关系呢？【设计意图】复习巩固，以旧带新；简单的知识回顾，为学生自主探究铺平道路，唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课.二、探究新知探究1:两条直线的交点坐标问题1：教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表，并讨论直线上的点与对应方程AxByC0的解有怎样的关系？几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线11:AxByC0点A在直线1上点A坐标（x°,y°）满足方程Ax0By

5、76;C0直线11与12的交点是AA4Biy0Ci0点A坐标(x0,y0)满足方程组A2x°B2y0C20生：独立思考，小组交流，完善表格.AxoBiy。Ci0,Ax。B2y。C20.师：因为直线li与12的交点是A,故点A在直线li,也在直线12.所以点A坐标（X0,yo）既满足li的方程，又满足直线12的方程，即:问题2:由上述问题可知，两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组.那么，如果两条直线li:AxBiyC10,I2:A2XB2yC20相交，如何求这两条直线的交点坐标？生：交流，讨论.师生共同总结：要求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.

6、【设计意图】设置问题串，以旧带新，通过对熟悉知识点的温故讨论，引发学生探究新知的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力.探究2:两条直线的位置关系师：求解下列方程组，判断对应两条直线是否相交（教材例2变式）.(1)(2)(3)xy0,3x3y100.3xy40,6x2y10.3x4y50,6x8y100.生：自主完成练习，并请学生到前面板演解题过程5555（1）万程组有唯一解（,），所以直线11：xy0与l2：3x3y100即为相交，交点（,）.3333（2）方程组无解.（3）两个方程可化为同一个方程，所以方程组有无数解.师：（1）中方程组有唯一解对应直线11与12相交；（2）中方程组无

7、解，两个方程就没有公共解，那么方程对应的两条直线有交点吗？它们具有怎样的位置关系？生：没有.两条直线平行.师：（3）中方程组有无数解，两条直线具有怎样的位置关系？生：两条直线重合.【设计意图】通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？已知11：A1xB1yC10,12：A2xB2yC20,AxByC10将方程联立，得，对于这个方程组解的情况分三种讨论：A2xB2yC20（1）若方程组有唯一解，则11、12相交，有唯一的公共点；（2）若方程组无解，则11、12没有公共点，即平行;(3)若方程组有

8、无数多个解，则11、12有无数多个公共点，即重合.【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解；由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论，循序渐进，符合学生的认知规律，便于理解记忆；在问题探究的过程中，让学生体会数形结合的思想.三、理解新知师：如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？生：写出两条直线方程，联立求解：方程组有唯一解两直线相交方程组无解两直线平行方程组有无穷多解两直线重合师：如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢？请大家完成下列表格：11：AxByC10(A,B1,G0),12:A2xB2yC20(A2,B2,C20)两直线的位置关

9、系方程组解的个数方程系数的关系相交有唯一解A1B1A2B2平行无解A旦QA2B2C2重合后尢数个解A旦&a2b2c2如果Ai,Bi,Ci,A>,B2,C2中有等于零的情况，方程较简单，两条直线的位置关系容易确定.【设计意图】理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.四、运用新知例1求下列两条直线的交点坐标：11 :3x4y2012 ：4x2y20生：分析解题思路，独立完成解题步骤.师：板书解题过程，引导学生校对自己的答案.解：解方程组3x4y20,4x2y20.得:x2,y2.所以li与12的交点是M(2,2).几何画板作图验证.设计

10、意图巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力；通过问题分析，强化求解两条直线交点的方法；教师板书示范，规范解题步骤.例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标:(1)11:xy0,12:3x3y100；11:3xy40,12：6x2y10；(3)11：3x4y50,12：6x8y100.学生自主完成例2,并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案.设计意图进一步巩固两直线位置关系与直线组成的方程组解的个数的对应关系；学生板书便于及时发现问题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反

11、思、总结的习惯.例3(补充)求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平行的直线1的方程.分析：由直线1与直线2xy60平行，可以求得直线1的斜率；又因为直线1经过两条直线x2y40和xy20的交点，所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线1的方程.解法一：,直线2xy60的斜率为2,且直线1与直线2xy60平行，直线1的斜率为：K2.左、工口小x2y40,x0,解万程组得xy20.y2.直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2).直线l的方程为y22(x0),即2xy20.解法二：设与直线2xy60平行的直线l的方程为2xyC0(C6)左、工口小x2y40,x0,解万

12、程组得xy20.y2.直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2).丫直线l经过两条直线x2y40和xy20的交点M(0,2),202C0,即C2.直线l的方程为2xy20.点评：解法一中中利用了平行直线的设法：与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBy0(0),其中待定.设计意图通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力；通过方法探究，一题多解，发散思维，有益于沟通知识和方法，开拓解题思路.【拓展提升】问题：当变化时，x2y4(xy2)0表示什么图形呢？图形有何特点？师：方程x2y4(xy2)0中的未知数是什么？可取什么值？生：未知数是x,y.可取任意实数，是常

13、数.师：是关于x,y的几元几次方程？生：二元一次方程.师：这个二元一次方程x2y4(xy2)0表示什么图形？生：表示直线.师：这个二元一次方程x2y4(xy2)0能够表示多少条直线？生：无数条，一个的值就对应一条直线.师：这些直线有什么共同特点吗？如何研究呢？既然一个的值就对应一条直线，那么能否通过给定的特殊值进行研究呢？例如取1,0,1,2.生：计算探究1时，方程为：3y60,0时，方程为：x2y40,1时，方程为：x2y4(xy2)0,即2xy202时，方程为：x2y42(xy2)0,即x0作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为M(0,2),即为例3中两条直线x2y40和xy20的交点

14、.由此猜测：方程x2y4(xy2)0表示的直线都经过M(0,2)点.动画演示，验证猜想.师：方程x2y4(xy2)0能表示xy20这条直线吗？生：思考回答.结论：方程x2y4(xy2)0表示除直线xy20以外且经过两条直线x2y40和xy20交点的直线.师：像这种具有某种共同性质的所有直线的集合，称为直线系；它的方程叫直线系方程.总结提高：若l1：A1xB1yC10、l2：A2xB2yC20相交，则方程(AixBiyCi)(A?xB2yC2)0表示过li与12交点的直线系(不包括直线应用：(例3另解)解：设经过两条直线x2y40和xy20的交点的直线1方程为x2y4(xy2)0,则(1)x(2

15、)y420.1丫直线1与直线2xy60平行，-2,即1.2直线1的方程为2xy20.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生总结：1.知识点：两条直线的交点的求法；二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系;2.思想：由特殊到一般的思想；转化化归的思想；数形结合的思想.教师强调：过两条直线交点的直线系方程.设计意图通过学生总结，培养学生的口头表达能力、归纳概括能力，教会学生学习方法，让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在，对所学知识加以思考延伸.使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识，形成知识体系.六、布置作业1 .书面作业必做题：P09A组1

16、,3,4,B组1.选做题：ykx2k1和2y40的交点在第四象限，则k的取值范围是(A.(6,2)B.(16,o)C.(1D.匚，)P(0,1)作直线m,使它被两条直线11:x3y100,l2:2xy0所截得线段以P为中点，求直线m的方程.答案：1.C;2.x4y402 .课外思考思考1：求证：不论取什么实数，直线(21)x(3)y(3)0都过一个定点，并求这个定点坐标.思考2：已知直线l:3xy10及点A(4,1),B(0,4),C(2,0),(1)试在l上求求一点P,使|PA|+|PC|最小;(2)试在l上求求一点Q,使|QA|MB|最大.设计意图书面作业的布置，以不同层次出现，对不同层次

17、学生有不同的要求，体现了分层教学的教学思想.设置“必做题”是为了进一步巩固所学，加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生学习的热情，培养学生数形结合的能力.七、教后反思本节课在设计上注重课堂的开放性，在学习过程中让学生主动参与，使学生在参与活动的过程中感受“数”与“形”的相互转换，深化坐标法的应用.通过讨论两直线方程联立方程组的解来研究两直线的交点问题，培养了学生的数形结合与运动转化的数学思想.在探究两直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数问题的过程中，把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来.通过探究讨论，动画展示，加深

18、对解析法的理解，培养学生勇于探索的科学精神.在直线系的探究过程，还是老师的启发过多、讲的多，可以尝试让学生分析讲解，老师补充完善，这样更有益于学生学习兴趣培养和对知识的理解.八、板书设计2.3.3直线与平囿垂直的性质1 .两直线的交点坐标2 .两直线的位置关系与对应方程组的解的个数的关系例1例2学生板书例3拓展提升复习课：第三章函数的应用教学目标重点：利用零点存在定理判断函数零点的个数，利用二分法求方程的近似解；掌握指数函数、对数函数、哥函数、一次函数这四种函数模型的增长差异难点：（1）利用函数性质讨论函数的零点，二分法的基本思想；（2）实际问题的函数刻画能力点：能充分利用数形结合及等价转化的

19、数学思想解决问题教育点：培养学生解决问题中思维的严密性自主探究点：通过函数图像研究指数函数、对数函数、哥函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.易错点：（1）应用零点存在定理，不注意函数图像的连续性，对定理理解不透彻（2）函数性质掌握不牢固，根据函数性质，数形结合解决问题能力弱，分类讨论的标准不明确，不能做到补充不漏学法与教具1 .学法：自主学习、合作探究；注重结合函数图像，利用数形结合和转化的思想解决问题2 .教具：多媒体，投影仪，三角尺一、【知识结构】I更占的生I零点存在定理二、【知识梳理】1 .掌握方程的根与函数零点的关系.2 .能够熟练利用零点存在定理判断函数的零点的个数3 .掌握用二

20、分法求函数的零点近似值(方程近似解)的步骤.4 .掌握指数函数、对数函数、哥函数、一次函数这四种函数模型的增长差异yax(a1)爆炸增长，yxn(n0)快速增长，ykxb(k0)匀速增长，ylogax(a1)缓慢增长.5 .掌握建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题的程序三、【范例导航】例1(提高题)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.【分析】函数f(x)2ax22x3a的二次项系数未知，因此要讨论二次项系数是否等于0.当二次项系数2a0,即a0时，函数yf(x)是一次函数，直接求函数的零点；当二次项系数2a0,即a0时，函

21、数yf(x)是二次函数，再利用数形结合讨论函数的零点3【解答】解：当a0时，函数f(x)2x3,零点为x不符合题意.2当a0时，函数f(x)2ax22x3a在区间1,1上有零点分为两种情况:48a(所以(f(1)f(1)(a3a)05)(a1)048a(3a)0112a或夺点)a0解得：1a5或a8a(3a)0a0112af(1)0f(1)0112af(1)0f(1)0一.3斛得：a5或a综上所述，若函数y37f(x)在区间1,1上有零点，则a的取值范围aKa32【点评】解决二次函数零点问题要注意结合图像，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，考虑的方面有：判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大

22、小、开口方向等从数上说，函数yf(x)的零点就是方程f(x)=0的根；从形上说，函数yf(x)的零点就是函数图彳t与x轴交点的横坐标.函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间有着内在的本质联系,高考中有许多问题涉及三者的转化，思考时要注意变式训练1：二次方程x22(k4)x2(k22)0的两个根都是正数，求实数k的取值范围.答案：2k夜或J2k10(分析：xix20),xix2变式训练2：设集合A(x,y)|x2mxy0)B(x,y)|yx1),0x2,AB，求实数m的取值范围.答案：m1例2.某单位计划用围墙围出一块矩形场地.现有材料可筑墙的总长度为l.如果要使围墙围出的矩形场地的面积

23、最大，问矩形的长、宽各等于多少?llol【分析】右设矩形的长为x,则范为(l2x),从而矩形的面积为Sx(l2x)xx,222是关于x的二次函数，建立二次函数模型，利用二次函数的方法解决实际问题2lx2【解答】解：设矩形的长为x,则宽为L(l2x),矩形的面积为l2Sx(l2x)x2x416l,_cl2所以，当x时，函数取得最大值，即Smax一，416l2x此时，矩形的宽为2ll2/,、/所以，当这个矩形的边长为L时，所围成的面积最大为二，此时矩形为正方形.416【点评】对于求实际问题的最值，应先建立函数模型，然后对函数求最值，最后要回扣实际问题，解决实际问题应注意不要忽略定义域.变式训练：矩

24、形ABCD中，已知ABa,BCb,ba,在AB,AD,CD,CB上分别截取E,H,G,F,且AEAHCGCFx,当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积？答案：当a3b,xab时，Smax(ab);482当a3b,xb时，Smaxabb.例3.旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？【分析】根据不同的人数有

25、不同的票价，需要分段列出函数关系式，然后根据列出的分段函数分析解决问题.其中，利润=收入(飞机票的总收费)一支出(包机费)【解答】设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，由题意得:当1x30时，y900；10x1200;当30x75时，y90010(x30)所以所求函数为y90010x1200(1x30)(30x75)设禾润为Q,贝UQyx15000900x15000_210x21200x15000(1x30)(30x75)当1x30时，Qmax900301500012000,当30x75时，Q2_2_10x1200x1500010(x60)21000,所以当x60时，Qmax2100012000

26、,答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元.【点评】本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题，对于分段函数的最值，应先在各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，确定出分段函数的最值.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将各段的变化规律找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的取值范围，尤其要注意端点值变式练习：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.x100x500(2)当

27、销售商一次订购450件时,该服装厂获得的利润是5850元.(1)设一次订购量为x件，服装厂的实际出厂单价为p元，写出pf(x)的表达式;(2)当销售商一次订购450件时，该服装厂获得的利润是多少元60,0答案：(1)pf(x)x62,10050四、【解法小结】1 .利用零点存在定理判断函数零点的步骤；2 .利用二分法求方程近似解和函数近似零点的步骤；3 .方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点能够进行相互转化;函数性质解决函数零点问题时，可以画出函数草图进而数形结合解决问题;5.建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题的程序五、【布置作业】必做题：1 .方程x1lgx必有一个根的区间是()A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)2 .实数a,b,c是图像连续不断的函数yf(x)定义域中的三个数，且满足abc,f(a)f(b)0,f