例谈化归方法

1、摘要：化归方法是一种重要的数学思想方法把未解决的问题，通过某种转化，归结为一类比较容易解决的问题，从而获得原问题解答.应用化归方法解题常常分为两步：第一步解决原问题的一个特殊情况；第二步将原问题化归为特殊问题.关键词：化归原则，化归方法，化归应用Abstract:Thereductionmethodisanimportantmathematicalmethod.Itturnstheunsolvedproblemintotheproblemeasytosolve.Therearetwostepstosolveproblemsbythewayofreduction.First,wemustsolv

2、easpecialcaseoftheoriginalproblem.Second,wereducetheoriginalproblemtothespecialcasewetreated.Keywords:reductionprinciple,reductionmethod,applicationsofreduction2化归的定义43化归的应用43.1 通过条件的变换实现化归53.2 通过问题的变换实现化归53.3 通过图形变换实现化归63.4 通过数量关系的变换实现化归84化归方法解题的注意点84.1 紧盯化归目标，保证化归的有效性，规范性84.2 转化的等价性，保证逻辑上的正确84.3 转

3、化的多样性，设计合理的转化方案9结论10致谢10参考文献101引言匈牙利著名数学家罗莎彼得(RoszaPeter)在她的名著无穷的玩艺一书中写过这样一个有趣的事例：她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上.”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上.”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了

4、.”2化归的定义罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去.利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：化归”，从字面上看，可理解为转化，归结的意思.数学方法论中所论及的化归”方法是指数学家们把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*,再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法.3化归的应用化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法.在数学中通常的作法是：将一个非

5、基本的问题通过分解、变形、代换一或平移、旅转、伸缩，等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答.如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的.后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的.对一元不等式也有类似的作法.又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的.再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲

6、线（在新坐标系中）来实现的.其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了.下面我们一起来看几个例题：3.1 通过条件的变换实现化归例1大约在1500年前，孙子算经中就记载了一个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”.这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变

7、成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1.因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即4735=12（只）显然，鸡的只数就是35-12=23（只）了.3.2 通过问题的变换实现化归例2在边长为4的正方形内，任意放置5个点，求证其中必存在两个点，它们之间的距离不大于22.分析首先我们注意到距离2夜这个数值，它使我们联想到边长为2的正方形的对角线长.在边长为2的正方形中，任意两点间的距离都不大于对角线的长2J2.从而原问题可转化为：证明在原条件下，至少有两个点落在同一个边长为2的正方形中.如图，我们将边长为4的正方形分成四个边长为2的正方形，从而问题又转化为：

8、在图中的四个边长为2的正方形中放置5个点，至少有两个点在同一个正方形内(含边界).而这个问题是直观明确的.因而问题得证.1|111113.3 通过图形变换实现化归立体几何是平面几何的推广和发展。因此解决立体几何问题的基本思考方法是：寻找正确的手段和方法，将它化归为平面几何去解决.例3底面是等腰梯形的四棱锥S-ABCDAD=BCAB=2CD=2SD/DAB=60,SD，底面ABCD求：(1)侧面SABf底面ABC所成二面角的大小；(2)侧棱SB与底面ABC所成的角；(3)异面直线SB和AD所成的角.略解：如图1K囱1(1)作snAB交AB于E,连结DE则/DES即为所求二面角的平面角.设SD二C

9、D二露所以AB=2所以DE=3，tg60*乙乙IDS22因为tg/DES=所以/DES=arctg,.(2)连结SB,DB则/SBD即为所求的直线与平面所成的角.因为BD=JDE2+BE2=J3a,所以tg/SBD=里=三3,所以BD3ZSBD=30°.(3)作BF/AD交DC延长线于F.连结SF,则/SBF即为异面直线所成的角因为SF2=SD2DF2=5a2,SB2=SD2DB2=4a2,BF=AD=2AE=a所以BF2=a2.因为SF=SB+BF,故/SBF=90空间角是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的总称.这三个概念的定义，为我们把空间角化归为平面角提供理论依据

10、和具体的方法.因此，在一个问题中，如果条件或结论出现空间角的概念，首先要以概念为指导作出有关的空间角，然后逐步化归为平面角去解决.例4已知矩形的面积公式，求：1)平行四边形的面积公式2)三角形面积公式3)多边形面积公式分析1）由于掌握了矩形的面积公式，因而可以应用割补法，将平行四边形ABCD专化为与之等级的矩形AEFD从而得到平行四边形的面积公式（图（a）2）由1）得到平行四边形的面积公式，于是应用拼接法，将一个与已知三角形FGMr等的三角形与之拼接成平行四边形FGHK从而得到三角形面积公式（图（b）3）由2）我们知道了三角形的面积公式，于是将多边形分割为若干个三角形，各三角形的面积之和即为多

11、边形的面积（图（c）3.4通过数量关系的变换实现化归例5已知x=三5二2x3x1,求的值.分析利用直接代入法，不可取，若转化题设，观察结论，则此题立即求出解：由已知可知方程x2-x-1=0因为2=1*5-12x3所以原式二Jxx2x2(x1)4x-5x例6已知三角形ABC的三边为a,b,c,且a2+b2+c2=ab+ac+bc,试判断ABC的形状.解：因为a2+b2+c2=ab+ac+bc所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc即：(abf+(bc2+(acf=0所以a=b,a=c,b=c所以三角形ABC等边三角形4化归方法解题的注意点4.1 紧盯化归目标，保证化归的有效性，规范性化

12、归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法和途径三个要素.因此，化归思想的实施应有明确的对象，设计好目标，选择好方法。而设计目标是问题的关键.因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：这样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.4.2 转化的等价性，保证逻辑上的正确化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果.4.3 转化的多样性，设计合理的转化方案利用化归思想解题时，转

13、化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已知问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之问的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断的构键知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础.最后，还必须说明，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要的意义.化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答.但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归得到解决的.化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的.因此，我们不能停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断的进行新的研究，在研究中获得新方法，新理论.化归方法是一种重要的数学思想方法，也是一种分析问题解决问题的基本思想方法.在解题过程中，我们要灵活的应用.我们可以参照化归的原则来分析问题，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答.但并非万能的方法，并