全国高考数学复习微专题：证明等差等比数列

1、等差等比数列的证明既考察了学生证在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列a一“（1）te义法（递推公式）：aniand（等差），q（等比）an（2）通项公式：anknm（等差），ankqnq0（等比）（3）前n项和：SnAn2Bn（等差），Snkqnk（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、如何证明一个数列是等差等比数列:（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即2an1anan2an1an

2、an2（等比）二、典型例题:例1:已知数列an的首项a13一，an53an2an11为等比数列求证：数列an1、思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在,这an样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数:an13an2an1an12an13an1,，在考虑构造“1”：3an,1an1工1an即数列I，1一，1是公比为1的等比数列3思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用bn表不：bnan1,则只需证明bn是等比数列即可，那么需要关4的条件(首项，递推公式)，所以用灯将an表示出来，并代换到an的递推公式中，进而可从bn的递推公式出发，进行证明一，11斛：令bn

3、1,贝Uananbn1递推公式变为:141bn1121bn113bn11bn3bn33bn13bn11,j.r,.1，一bn是公比为-的等比数列。即数列一1为等比数列3an小炼有话说:(1)构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用(2)代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元一表示一代入一化简”即可，说两点：1一是代换bn一1体现了两个数列an,bn的一种对应关系，且这种对应是同序数项的an对应(第n项对应第n项)；

4、二是经过代换，得到bn的递推公式，而所证bn是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。1 23例2：数列an的刖n项和为Sn,Snannn1(nN*)(*).设bnann,2 2证明：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式思路：本题所给等式Sn，an混合在一起，可考虑将其转变为只含an或只含&的等式，题目中bnann倾向于项的关系，故考虑消掉Sn,再进行求解解：sanS.1an12n21一n23n1n2,n可得:2an2anan

5、1n2annan1anan1r.1,即bn-bn121，一bn是公比为一的等比数列2bia11代入（*）可得:Sa136a122a1banbn小炼有话说：（1）遇到Sn，an混合在一起的等式，通常转化为纯an（项的递推公式）或者纯Sn（前n项和的递推公式），变形的方法如下:消去Sn：向下再写一个关于Sn1的式子（如例2）,然后两式相减（注意n取值范围变化）消去an:只需anSn&1代换即可（n2,nN）（2）Sn，an混合在一起的等式可求出a1，令n1即可（因为S1a1）（3）这里体现出bnann的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意

6、味这其通项可求，而通过bnann也可将an的通项公式求出。这里要体会两点:是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列an满足:1a16,ane口6an190,nN且n2,求证：an3为等差数列-1i斛：设bn,贝Uanan3bn3代入an冏6an190可得:3bn11bn1363bn11bn1bn3bn13bn6bn11

7、8bnibn3bn13bnbnbn为等差数列，即1an3为等差数列例4：已知曲线C:xy1,过C上一点AnXn，yn作一斜率为K1的直线交曲线CXn2于另一点An1Xn1（XnXn1且Xn0,点列An的横坐标构成数列Xn，其中11Xi（1）求Xn与Xn1的关系式;令bnXn11,求证：数列3bn是等比数列;解：（1）曲线C:Xnyn1XXn2XnynynXnXn1XnXnXn1Xn2ynXnbn1Xn2Xn2,代入到递推公式中可得:2bn12bnbn4bAbn1bn1bn12bnbnbnbn1bn1bn小炼有话说：本题求解例5：已知数列an4bnb,2bn2bn=bn14bn3bn1bn是公比

8、为4灯012的等比数列bnbn12）用构造法比较复杂，不易构造出4的形式，所以考虑用代入法直接4n6an4n10是否为等比数列？若不是，请说明理由;解：设Aan22n12na2nN,判断数列a二2n1若是，试求出an2n1bn2代入到an4n6an4n10可得:2n12n3bn4n62n1bn24n102n2n2nbn14n222n32n1bn8n124n102n2nbn122n32n1bnbn12bna12abn不是等比数列a2时，bn是等比数列，即-an2为等比数列2n1an2a122n12n1ana22n1n12n1例6：（2015山东日照3月考）已知数列an中，a11,an139nn,

9、n、山女，求证:an3n,n为偶数3数列a2n3是等比数列23思路：所证数列为a2n-,可发现要寻找的是an偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为a2n与a2nl之间的关系，再进行构造证明即可证明:由an113anann,n为奇数可得:3n,n为偶数1a2na2n132n1a2n3a2n232n1a2n3a2n22n2Qa2n1a2n222n112n13a2n232n2a2n1二a2n2331数列a2n是公比为-的等比数列23例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列an满足a11,且对任意非负整数m,nmn均有：amnamnmn1192ma2n2（1）求a0,a2（2）求证：数列a

10、m1am是等差数列，并求出an的通项公式解：（1）令mn可得：a2ma。1a01再令n0可得:2amm11a2ma02a2m4am2m3a24al13a01忿3（2）思路：考虑证明数列am1am是等差数列，则要寻找am1am,amam1的关系,即所涉及项为am1,am,am1,结合已知等式令n1,利用（1）中的a2m4am2m3,将a2m代换为am即可证明，进而求出通项公式1证明：在amnamnmn11a2m2c1am1am1m25a2ma2a2n中令n1得:2am12am12m4a2ma2由（1）得a2m4am2m3a3代入可得:2am12am12m44am2mam1am122amam1am

11、amam1数列am1am是公差为2的等差数列am1ama2al2m12mamam12m1am-1am22m2Ma2a12ama1212Lm1mm1ammm11例8:（2010安徽，20）设数列a1,a2,L,an,L中的每一项都不为0,求证:an是等差数列的充分必要条件是：对上A11.1nN都有Laa2a2a3anan1aan1思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明,首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑anan1anan1an111andan1一，然后恒等式左边进行求和即可证明。再an1证明充分性,即已知恒等式证明等差数列:

12、恒等式左侧为求和形式,所以考虑向前写一个式子两式相减,进而左边消去大量的项，可得:,通过化简可得:an2an1an1证明：先证必要性:anan1La2anan2a1an2an,从而利用等差中项完成等差数列的证明Qan是等差数列ai1左边a11a1na1右边na1当d0时,考虑ananan1an1ananan1-1左边一da1a2a2a3anan1aan11an1a1da/1nd右边aan1所证恒等式成立再证必要性:Qaa2a2a3anan1aan1a1a2a2a3anan1an1an2n1a1an2an冏2aan2a©1两边同时乘以a1an冏2得:a1n1an1nan2同理：aina

13、nn1an1-可得：2nan1nan2an2an1an2anan为等差数列小炼有话说：（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用（2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。2例9：右数列an的各项均为正数，nN,an1anan2t（t为常数），且2a3a2a（1）求a也的值a2（2）求证：数列an为等差数列解：（1）令n1,则有a2aat2.令n2,则有a3a2a4t可得：

14、2222a2a3a向a2a4a?a2a4a3aa?a?aa3aa3aa3a2a42a2a3（2）思路：所给的递推公式中含有t,而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。解：an21anan2ta22anan3t可得：2222an1an2anan2an1an3an1an冏3an2Hndn2an1an1an3an2anan2an1an3an2anan2an1从而11为3an2anan2a2a4ana3anan22an1anan22an1an1anan+2an1数列an为等差数列例10：在数列an中，a10且对任意ka2k1,a2k,a2k1成等差数列，其公差为dk,若dk2k,求证：a2k,a2k1,a2k2成等比数列思路：由a2k1,a2k,a2k1的公差为dk2k,而a2k1,a2k1表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即a2k1a