全国高校自主招生数学模拟试卷一新人教版

1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一、选择题(本题满分1.如图，在正四棱锥平面角的余弦值为(36分，每小题6分)P-ABC由,AAP660,则二面角A-PBC的A.17B.1C.一2D.-22.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|>a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是().11,.11.11.A.，一B.,C.->-D.-3，3332243p3 .将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为bo则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概

2、率等于()A.留81b.5981c.60814 .设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则bcosc的值等于()aA.1B-C.-1D.1225 .设圆O和圆Q是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是()0()|C©A.B.C.D.6 .已知A与B是集合1,2,3,，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AnB空集。若neA时总有2n+2CB,则集合AuB的元素个数最多为()A.62B.66C.68D.74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7 .在平面直角坐标系内，有四

3、个定点N-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,贝U|PA+|PB+|PC+|PD的最小值为。8 .在ABCAEF中，B是EF的中点，AB=EF=1,BC=6,CA=v33，若AB,AE+ACAF=2,则EF与BC的夹角的余弦值等于。2,3,9 .已知正万体ABCDABCD的棱长为1,以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面3与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。10 .已知等差数列an的公差d不为0,等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若ad,2.2.2b1=cf,且a-a2_a是正整数，则q等于。hb2b311.12.已知函数f(x)=sin(1力cos(

4、n)+2(1<x<-),则f(x)的最小值为x44将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）_n113 .设an=Z,求证：当正整数n>2时，an+i<an。k4k（n1-k）1，一、14 .已知过点（0,1）的直线l与曲线Cy=x+（x>0）交于两个不同点M和M求曲线Cx在点MN处切线的交点轨迹。15 .设函数f(x)对所有白勺实数x者B满足f(x+2tt)=f(x),求证：存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4

5、)满足：(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数，且对任意的实数x,有fi(x+Tt)=fi(x);(2)对任意的实数x,有f(x)=fi(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。2013年全国高校自主招生数学模拟试卷、选择题（本题满分参考答案36分，每小题6分）1.如图，在正四棱锥P-ABCDK/APB60平面角的余弦值为（B）,则二面角A-PBC的B.-7D.-2解：如图，在侧面PAB内，作AMLPR垂足为M连结CMAC则/AMC;二面角APBC的平面角。不妨设AB=2,则PA=AC=2，2,斜高为J7,故2黑J7=AM2,/2,由此得CM=AM=22AM

6、'CM-AC在AMOK由余弦te理得cos/AMC=2AMCM2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|>a2对任意实数的集合是（A）11,11,11,A.一一，一B.,-C.一一，一D.-3,332243一人21一解：令x=-a,则有|a|W一,排除B、D。由对称性排除33x恒成立，则满足条件的a所组成3C,从而只有A正确。.1.3般地，对kCR,令x=ka,则原不等式为|a|'|k1|+|a|k222户|a|,由此易知34.原不等式等价于|a|k-1|十一|k-|,对任意的kCR成立。由于23341k一1151k一315-k-324k34£k一,33

7、一鼠k：13411所以min|k一11+|k|二一，从而上述不等式等价于|a区一。kR23333 .将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为bo则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于(D)A.5281B.史81C.竺81D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有等式a-2b+10>0得2b<a+10,于是，当9种不同的结果，故基本事件总数为6181292=81个。由不b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、9中每一个值，使不等式成立，则共有9X5=

8、45种；当b=6时，a可取3、4、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9,有1种。于是，所求事件的概率为45753161=O81814 .设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则bcosc的值等于(C)aA.-B-C.-1D.1221解：令c=Tt,则对任息的xCR,都有f(x)+f(x-c)=2,于是取a=b=,c=Tt,则对任意2的xCR,af(x)+bf(x-c)=1,由此得bcosc=-1oa一般地，由

9、题设可得f(x)=JT3sin(x+平)+1,f(xc)=J13sin(x+中c)+1,其中一小兀22一0邛一且12门邛=一，于是af(x)+bf(x-c)=1可化为23，13asin(x十邛)十J13bsin(x十中一c)+a+b=1,即413asin(x+平)+o13bsin(x+cp)cosct'13bsinccos(x+tp)+(a+b1)=0,所以v13(a+bcosc)sin(x+*)VT3bsinccos(x+中)+(a+b1)=0。工abcosc=0(1)由已知条件，上式对任意xCR恒成立，故必有qbsinc=0(2),、a+b-1=0(3)若b=0,贝U由(1)知a=

10、0,显然不满足(3)式，故bw0。所以，由(2)知sinc=0,故c=2k兀+兀或c=2kjt(kZ)o当c=2k兀时，cosc=1,贝U(1)、(3)两式矛盾。故c=2kjt+兀(kCZ),，1bcosccosc=-1。由、（3）知a=b=,所以=1°2aP的圆心轨迹不可能是5.设圆O和圆Q是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆（A）)0(A,)B.解：设圆O和圆Q的半径分别是口、2,|OQ|=2c,则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为2c2cO、Q,且离心率分别是和2c的圆锥曲线（当ri=2时，OQ的中垂线是轨迹的12|1一2|一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当1=2且1

11、+2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B;当0<2c<|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C;当1金2且1+2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A6 .已知A与B是集合1,2,3,，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AnB空集。若nCA时总有2n+2CB,则集合AUB的元素个数最多为（B）A.62B.66C.68D.74解：先证|AUB|<66,只须证|AW33,为此只须证若A是1,2,，49的任一个34元子集，则必存在nCA,使得2n+2CB。证明如下：将1,2,，49分成如下3

12、3个集合:1,4,3,8,5,12,，23,48共12个;2,6,10,22,14,30,18,38共4个；25,27,29,，49共13个；26,34,42,46共4个。由于A是1,2,，49的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A即存在nCA,使得2n+2CR如取A=1,3,5,，23,2,10,14,18,25,27,29,，49,26,34,42,46,B=2n+2|nCA,则A、B满足题设且|AUB|<66。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7 .在平面直角坐标系内，有四个定点A（-3,0）,B（1,-1）,C（0,3）,p-1,3

13、）及一个动点P,贝U|pa+|PB+|PC+|PD的最小值为3v2+2J5。解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA+|PC引AC=|FA+|FC,|PB+|PD>|BD=|fb+|fd,因此，当动点P与F点重合时，|PA+|PB+|PC+|PD取到最小值|AC|+1BD|=3j2+2v"5。8 .在ABCF口AAEF中，B是EF的中点，AB=EF=1,BC=6,CA=屈，若ABAE+ACAF=2,则EF与BC的夹角的余弦值等于解：因为ABAE+ACAF=2,所以AB(AB+BE)+AC(AB+BF)=2,即2ABAC)2十ABBE+ACAB+ACBF=2。因为AB=1,331

14、36AB=、33乂12:36=7,BE=BF,所以1+BF(ACAB)1=2,即2.331BFBC=2。设EF与BC的夹角为。，则有|BF|BC|cos8=2,即3cos0=2,所以cos0=2。39.已知正方体ABCDABCD的棱长为1,以顶点A为球心，、3为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AABB面ABCD面AADD上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BBCC面CCDD和面ABGD上。在面AABB上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，3一一兀兀兀2J3兀<3则ZA1AE=

15、。同理ZBAF=，所以/EAF=，故弧EF的长为九,666369而这样的弧共有三条。在面BBCC上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得._，J3冗的小圆上，此时，小圆的圆心为B,半径为,ZFBG=,所以弧FG的长为32.3冗.3_1=冗。这样的弧也有二条。于是，所得的曲线长为.35.3冗E_,冗一。32610.已知等差数列an的公差d不为0,等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若a产d,222b1=cf,且a一a2一曳是正整数，则q等于hbb3a2a；a2a2(a1d)2(a12d)2142解：因为2-T-=丁，故由已知条件知道：1+q+qbb2b3bibqbq21qq2,14

16、214为一,其中m为正整数。令1+q+q=一，则mm1114156-3m14q=+11=一，。由于q是小于1的正有理数，所以1父一父3,2.4m2.4mm一一56一3m.1即5Wme13且3m是某个有理数的平方，由此可知q=。4m2“一语sin(n)-cos(n)215、11.已知函数f(x)='(ExE-),则f(x)的最小值为x44V2sin(冗x冗)+21515解：实际上f(x)=4(1<x<5),设g(x)=42sin(nx-)(WxW),x44444一,13.35则g(x)>0,g(x)在,上是增函数，在,上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线444431

17、335,_一x=对称，则对任息Xi=,存在X2=,使g(X2)=g(xi)。于44444f(Xi)=装上=晔2之野匕=f(X2),而f(x)在邑当上是减函数，所以XiXiX24454.5154、5f(X)>f()=，即f(X)在-,-上的最小值是。4544512 .将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填i个字母,若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有|3960一|种(用数字作答)。解：使2个a既不同行也不同列的填法有C2A2=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C2A2=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的

18、有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C61A)2=16X72种。所以，符合题设条件的填法共有722-72-16X72=3960种。三、解答题(本题满分60分，每小题20分)当正整数n>2时，an+1<an。/113 .设an=Z,求证:kik(n1-k)1 111一2n1一，一，证明：由于整数n>2,二(1=(1+1一)，因此an=L1,于是，对任意的正k(n1-k)n1kn1-kn1kk_11n11n11有一(禺-an1)=T'1-T%-2 n1k：kn2k3k1.n111/1_)乙一=(乙一一1)a0

19、,即an+1<anon2=k(n1)(n2)(n1)(n-2)wk1 ,14.已知过点(0,1)的直线l与曲线Cy=x+(x>0)交于两个不同点M和N求曲线CX在点MN处切线的交点轨迹。解：设点MN的坐标分别为(X1,y。和(X2,y2),曲线C在点MN处的切线分别为1八匕其交点P的坐标为(Xp,yp)。若直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1。1，、-1y=X.1,2由万程组Xx，消去y，得x+=kx+1,即(k-1)x+x-1=0。由题息知，该万程在y=kx1X1.(0,+°°)上有两个相异的头根X1、X2,故kw1,且a=1+4(k-1)>0(1

20、),x1+x2=>01-k一131一一一1(2),x1x2=>0(3),由此解得一<k<1。对y=x+一求导，得y=1一一2,则1-k4xx111y'lxm=1一，y'lx*=1，于正直线11的万程为yy1=(1二)(xxj,即1、，.11、2丫一(为+)=(1-r)(xx1)，化间后得到直线I1的万程为y=(12)x+(4)。同X1X1X1X11理可求得直线12的方程为y=(1；)x+乂22(5)。(4)-(5)得(X2112-2)xPx2x1x1x2因为2x1x2xiwx2,故有xp=12xix2(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得Xp=2。(4

21、)+(5)得2yp12'xi=(2-(12xi1x；12x21)xp2(1)xix2中1xi1+x2Xi+X2=1,xx2x2(x1x2)2-2x1x22乂222xix222xix2zxix22二()xx2xx2=12(1k)=2k1,代入3式佝2yp=(3-2k)xp+2,而xp=2,付yp=4-2k。又由一4k<1得2<yp<E,即点P的轨迹为2(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。15.设函数f(x)对所有白实数x者B满足f(x+2tt)=f(x),求证：存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足：(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数，且对任意的实数x,有fi(x+Tt)=fi(x);(2)对任意的实数x,有f(x)=fi(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。证明：记g(x)=f(x)f(-x),、f(x)-f(-x)一一一,h(x)=2，则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的xeR,g(x+2兀)=g(x),h(x+2ti)=h(