复变函数和积分变换22解析函数ppt课件

1、2.2 解析函数定义定义1 1称为解析点，0z否则称为奇点 。f(z)在区域D内解析: f(z)在D内每个点都解析. f(z)在z0解析: f(z)在z0的某个领域内可导. 函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：解析可导.例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；2)(zzfw仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f (z) = x +2yi在整个复平面上不解析。例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；z = 0 是它的一个奇点。. 0,12zzdzdf解析函数的性质：解析函数的性质：(1) 两个解析函数的和、差、

2、积、商仍为解析函数；(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；定理定理3 函数函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义区域在其定义区域D内解析内解析的充要条件是的充要条件是 u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内可微内可微, 并满足并满足Cauchy-Riemann方程方程:问题：对函数问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判别其解析可导性？,u v解析 可导可微且满足C-R方程.,xyyxvuvuC-R方程等价于证明: .0zf).,(),()(),(21),(21yxvyxuzf

3、zziyzzx. 0)(2)(21)21()(21)(yuxviyvxuiyviyuxvixuzyyfzxxfzf推论 ：,( , )u vx yCR若在处一阶偏导数连续且满足方程,( )f zuivzxiy则在处可导.例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:1);2)Re( )wzwzz解：1),wzxiy由 得 u=x, v=-y, 所以在复平面内处处不可导, 处处不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx当且仅当 x = y = 0时,xyyxuvuv 因此函数仅在z = 0处可导,

4、在复平面内任何地方都不解析.,. 1, 1, 0, 1xyyxyxyxvuvuvvuu( )f zuivD是区域 内的解析函数，( )0fz且1212( , ), ( , ),u x yC v x yCC C为任意常数是区域内的正交 曲线族。 (正交：两曲线在交点处的切线垂直 )例题3 证：1( , )( , )xuyuu x yCx yku 在处切线的斜率，yxvvvkyxCyxv处切线的斜率在),(),(21,yyxxuvyyyyvuuvk kCRuvuv 得证。不能同时为零。和故因yxyyxxvuiuvivuxfzf,)(0例如 2222,200 .fzzxyi xy fzzz两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010 解析函数退化为常数的几个充分