高等数学实用教程(第二章).

1、24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系1 本章将学习函数的概念及有关知识，了解函数的用途。本章将学习函数的概念及有关知识，了解函数的用途。 第一步：弄清有关的基本概念，如第一步：弄清有关的基本概念，如常量常量、变量变量、定义定义域域等等。等等。 第二步：理解函数的实质第二步：理解函数的实质变量之间的对应关系。变量之间的对应关系。熟悉构成函数的要素熟悉构成函数的要素定义域定义域、对应关系对应关系和和值域值域。了解。了解函数的表示法，如函数的表示法，如公式法、图像法、表格法。公式法、图像法、表格法。 第三步：了解函数的基本属性。如第三步：

2、了解函数的基本属性。如单调性、奇偶性、单调性、奇偶性、有界性、周期性。有界性、周期性。 本章将介绍用数学软件本章将介绍用数学软件Mathematic作函数的图形。作函数的图形。第二章第二章 函数的作用函数的作用24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系2第二章第二章 函数的作用函数的作用2-1 现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念2-2 函数的特性函数的特性*2-3 建立函数的模型建立函数的模型24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系3一、一、现实生活中的问题现

3、实生活中的问题二、二、函数的概念函数的概念三、三、基本初等函数基本初等函数四、四、简单函数简单函数五、五、复合函数复合函数六、六、初等函数初等函数七、七、反函数反函数八、八、函数的表示方式函数的表示方式九、九、用用Mathematica画图画图 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系4解：设圆柱形罐头盒的高为解：设圆柱形罐头盒的高为h h由题意得：由题意得： 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念一、一、现实生活中的问题现实生活中的问题例

4、例1 1一听罐头盒要用多少铁皮一听罐头盒要用多少铁皮 某罐头厂要生产容积为某罐头厂要生产容积为VcmVcm3 3的圆柱形罐头盒，需要求出的圆柱形罐头盒，需要求出罐头盒表面积罐头盒表面积S S 与底半径与底半径r r 的关系的关系, ,来计划使用铁皮的量。来计划使用铁皮的量。hr2rhr rrrr答：罐头盒表面积答：罐头盒表面积S S与底半径与底半径r r的关系是的关系是hrV2 rhrS 222 2rVh 022 rrVrS 则得：则得： 022 rrVrS 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系5 2-12-1现实生活中的问题与函数

5、的概念现实生活中的问题与函数的概念例例2 2钟表问题钟表问题 我们知道钟表分针我们知道钟表分针1小时走一圈小时走一圈,时针时针1小时走一个小时走一个整点整点，因此，任意两个整点之间时针与分针都会重合，因此，任意两个整点之间时针与分针都会重合，则时针与分针在则时针与分针在0-12点内能重合点内能重合12次次. 问题问题:这这12次重合的时间各是多少次重合的时间各是多少?若用若用 x 表示时针与分针重合的整点数，表示时针与分针重合的整点数，y 表示重合时的表示重合时的分钟数，你能表示出分钟数，你能表示出y与与x的关系吗？的关系吗？ 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算

6、机与信息工程系计算机与信息工程系612693xy分钟分针旋转角度分钟分针旋转角度y分钟分钟时针旋转角度时针旋转角度时针每分钟转时针每分钟转 5 . 06012360 经过经过y y分钟分钟后后时针与分针重合时针与分针重合y y分钟分钟转转0.50.5y y 660360y6分针每分转分针每分转 y y分钟转分钟转x小时时针旋转角度小时时针旋转角度x小时小时=60 x分钟分钟x小时转小时转0.5 60 x24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系72-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 5 . 06012360

7、y5 . 0 660360y6yyx65 . 05 . 060 .5.530 xy 解：由题意得解：由题意得: :y y分钟分钟时针时针旋转旋转分针分针每分转每分转 y y分钟分钟分分针针旋转旋转则有则有:即即:x小时小时=60 x分钟分钟x小时小时时针时针旋旋转转0.5 60 x时针时针每分钟转每分钟转24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系8 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念x x, , y y 的取值情况如下表的取值情况如下表 : :x0 12345y05.4510.9116.3621.8227

8、.27 答：这答：这1212次重合的时间各是次重合的时间各是0 0点点,1,1点点5.455.45分分, ,2 2点点10.9110.91分分,3,3点点16.3616.36分等分等。 x67891011y 32.7338.1843.6449.0954.556024351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系9 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例例3 3我国工薪人员应纳多少税我国工薪人员应纳多少税 根据中华人民共和国个人所得税法规定根据中华人民共和国个人所得税法规定: :个人工资个人工资, ,薪金所得应纳个

9、人所得税，应纳税所得额的计算为：薪金所得应纳个人所得税，应纳税所得额的计算为：工工资、薪金所得，以每月收入额减除费用八百元后的余额资、薪金所得，以每月收入额减除费用八百元后的余额，为应纳税所得额，为应纳税所得额. .最后列出下面的税率表：最后列出下面的税率表：个人所得个人所得税率表（工资、薪金所得适用）税率表（工资、薪金所得适用） 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系10 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念级数级数全月应纳税所得额全月应纳税所得额 税率（税率（%） 1不超过不超过500元的部分元的部

10、分 52超过超过500元到元到2000元的部分元的部分 103超过超过2000元到元到5000元的部分元的部分 154超过超过5000元到元到20000元的部分元的部分205超过超过2000元到元到40000元的部分元的部分 256超过超过4000元到元到60000元的部分元的部分 307超过超过60000元到元到80000元的部分元的部分 358超过超过80000元到元到100000元的部分元的部分 409超过超过100000元部分元部分 4524351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系11 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生

11、活中的问题与函数的概念800 x%51300800 x当当 元时元时,纳税部分是纳税部分是 ,税率为税率为 .1005)800( xy所以所以 ;28001300 x%5当当 元时元时,其中其中800元不纳税元不纳税,500元应纳的元应纳的 税税,251005500 即即 (元元).1300 x%10再多的部分再多的部分, 即即 按按 纳税纳税.10010)1300(25 xy故应纳税故应纳税 ； 解：设其工资，薪金所得解：设其工资，薪金所得x元，元， 应缴纳税款应缴纳税款y元，即列出元，即列出y与与x之间的关系。之间的关系。按税法规定当按税法规定当 元时元时,不必纳税，不必纳税，y=0.80

12、0 x24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系12 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念%558002800 x当当 元时元时,其中其中800元不纳税元不纳税,500元应纳税元应纳税 ,%10150100101500 1500元应纳元应纳 的税的税,即即 （元）；（元）；依此可列出各部分依此可列出各部分y与与x之间的关系。之间的关系。%152800 x再多的部分再多的部分,即即 按按 纳税纳税.10015)2800(15025 xy故他应纳税款为故他应纳税款为 ;24351/80数学应用与实践数学应用与实

13、践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系13 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念2.2.确定函数的两个要素确定函数的两个要素二、二、函数的概念函数的概念1.1.函数的定义函数的定义24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系14 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念1 1函数的定义函数的定义 定义：定义：设有两个变量设有两个变量x和和y，若当变量，若当变量x在实数的某一范在实数的某一范围围D内内任意任意取定一个数值时，变量取定一个数值时，变量y按照一定的按照一

14、定的规律规律f有有唯唯一确定一确定的值与之对应，则称的值与之对应，则称对应规律对应规律f是是D上的函数上的函数，有时有时也简称也简称因变量因变量y是自变量是自变量x的函数。的函数。自变量自变量因变量因变量函数函数 f 的定义域的定义域f(D)f(x)|xD称为函数的称为函数的值域值域。记作记作 y=f (x) ，xD24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系15 x x 邻域：开区间邻域：开区间 称为以称为以 为中心，为中心，以以 为半径的邻域，简称为点为半径的邻域，简称为点 的的 邻域，记为邻域，记为 xx, 0 , x 函数的定义域一

15、般用函数的定义域一般用区间区间或或集合集合的形式表示，有时也的形式表示，有时也用用邻域邻域表示表示x 邻域：开区间邻域：开区间 称为以称为以 为中心，为中心，以以 为半径的邻域，简称为点为半径的邻域，简称为点 的的 邻域，记为邻域，记为 xx, 0 , x x不包括中心点的邻域称为点不包括中心点的邻域称为点 的空心邻域，记为的空心邻域，记为 , xxx , x x xx , x24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系16 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念2 2确定函数的两个要素确定函数的两个要素（2）

16、定义域）定义域（1）对应规律）对应规律 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系17 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，就必须用不同的记号加以区别，如就必须用不同的记号加以区别，如 f ，g， ， ， 等等等，有时为了简便起见，可用等，有时为了简便起见，可用 y=y(x) 表示一个函数，这样表示一个函数，这样 y 既代表对应规律又代表因变量既代表对应规律又代表因变量.（1）对应规律）对应规律如如 y = f(

17、x ) （x D ），或或 S= f( t ) （t D ）. 在没有其他含义时，表示同一函数在没有其他含义时，表示同一函数 ,因为因为 y 的值由的值由 x 在在 D上所取的值通过上所取的值通过 f 就能完全确定，所以常常省略就能完全确定，所以常常省略 y ,而把而把一个函数简记为一个函数简记为 f ( x ) ( x D）.注意：注意：24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系18 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念1)(3)(2)(2 f1)3(3)3(2)3(2 f4722 xx例例4求上例中的求

18、上例中的 f (-3)，f (x+1)。解：解：自变量的平方乘以自变量的平方乘以2 2加加自变量的自变量的3 3倍倍减减1.1.132)(2 xxxf例例3 就是一个特定的函数就是一个特定的函数 f 确定的对应规律为：确定的对应规律为：即对自变量实行的操作是：即对自变量实行的操作是：8 1)1(3)1(2)1(2 xxxf24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系19 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念（2 2）定义域）定义域 （b b）如果该函数有实际背景，则它的定义域还要根据）如果该函数有实际背景，则

19、它的定义域还要根据问题的实际条件来确定。问题的实际条件来确定。 （a a）如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有）如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意义的自变量所取数值的全体。义的自变量所取数值的全体。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系20 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 （）函数表达式的）函数表达式的分母中是否含有自变量分母中是否含有自变量，考虑，考虑含自变量的分母不为零；含自变

20、量的分母不为零；02,21)( xxxf如：如： 对于初等函数，可从以下几个方面考虑：对于初等函数，可从以下几个方面考虑： （）函数表达式的）函数表达式的开偶数次方中是否含有自变量开偶数次方中是否含有自变量，考，考虑含自变量的被开方式大于等于零；虑含自变量的被开方式大于等于零；02x3sin3,2x3sin3)x(f （如：（如： ）24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系21 如：如： 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 （）函数表达式的对数符号）函数表达式的对数符号 log 的的真数真数中或中或底数

21、底数中中是否是否含有自变量含有自变量，考虑含自变量的真数大于零，含自变量的底，考虑含自变量的真数大于零，含自变量的底数大于零且不等于数大于零且不等于1； 1101023,)23(log)(1xxxxxfx k 2 ()函数表达式的正切符号函数表达式的正切符号 tan( ), 括号中的表达式括号中的表达式是否是否含有自变量含有自变量,考虑含自变量的表达式不等于考虑含自变量的表达式不等于 ; kxxxf 22,2tan)(如：如： ,（k为整数为整数) 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系22 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现

22、实生活中的问题与函数的概念 k ()函数表达式的余切符号函数表达式的余切符号cot( )，括号中的表达式中，括号中的表达式中是是否含有自变量否含有自变量，考虑含自变量的表达式不等于，考虑含自变量的表达式不等于 ; kxxxf 2,2cot)(如：如： ,（k为整数为整数) ()函数表达式的反正弦符号函数表达式的反正弦符号arcsin( ),括号中的表达式括号中的表达式中中是否含有自变量是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于，考虑含自变量的表达式大于等于-1小小于等于于等于1;1141, )14arcsin()( xxxf如：如： 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-

23、27计算机与信息工程系计算机与信息工程系23 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 （）函数表达式的反余弦符号）函数表达式的反余弦符号arccos( )，括号中的表达，括号中的表达式中式中是否含有自变量是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于，考虑含自变量的表达式大于等于-1小于等于小于等于1；111, )1arccos()(22 xxxf如：如： （）对函数表达式进行以上七个方面的考虑后，列出）对函数表达式进行以上七个方面的考虑后，列出不等式组，不等式组，不等式组的解不等式组的解即为函数的定义域。即为函数的定义域。表示函数的定义域常用区间、集合两种方法表示

24、函数的定义域常用区间、集合两种方法.24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系24 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念43|23| xxxx4, 3()2, 3 x71x2arcsin6xx12 例例5求函数求函数 的定义域。的定义域。xxxx4x3|2x34x32x|3x3x,2x 解不等式组得：解不等式组得：所求函数的定义域是：所求函数的定义域是：即即解：列出使函数在数学上有意义的不等式组：解：列出使函数在数学上有意义的不等式组：24351/80数学应用与实践数学应用与实践2

25、022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系25 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念0 x0 x（3 3）相同函数的）相同函数的判断判断2ln xy xyln2 例例6 与与 是不是相同的函数。是不是相同的函数。2lnxy 解：解： 的定义域为的定义域为 :xyln2 的定义域为的定义域为 :两函数定义域不同两函数定义域不同,xyln2 2ln xy 与与 不是相同的函数。不是相同的函数。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系26 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数

26、的概念| xy 2xy 例例7 与与 是不是相同的函数。是不是相同的函数。所以所以 与与 是相同的函数。是相同的函数。2xy | xy 2xy | xy 解：解： 与与 的定义域都是全体实数的定义域都是全体实数R，且对应规律相同且对应规律相同, ,24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系27 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 3对数函数对数函数 y = loga x ( a 0,且且 a 1)，定义域：，定义域：(0，+).三、基本初等函数三、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角

27、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五种函数统称为函数这五种函数统称为基本初等函数基本初等函数 1幂函数幂函数 y = xa ( a为实数为实数)，该函数的定义域由常，该函数的定义域由常数数 a 确定确定，该定义域总包含区间该定义域总包含区间 ( 0， ) . 2指数函数指数函数 y = ax ( a 0, 且且 a 1 ) ，定义域为，定义域为：(，+).24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系28 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念4三角函数三角函数 正弦函数正弦函数y=sinx，定义

28、域为：，定义域为：(，+)余弦函数余弦函数y=cosx，定义域为：，定义域为：(，+)正切函数正切函数y=tanx，定义域为：，定义域为：余切函数余切函数y=cotx，定义域为：，定义域为：正割函数正割函数y=secx，定义域为：，定义域为：余割函数余割函数y=cscx，定义域为：，定义域为：,2|Zkkxx ,|Zkkxx ,|Zkkxx ,2|Zkkxx 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系29 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念5反三角函数反三角函数 反反正弦函数正弦函数y=arcsinx，定

29、义域为：，定义域为：-1,1 反反余弦函数余弦函数y=arccosx，定义域为：，定义域为：-1,1 反反正切函数正切函数y=arctanx，定义域为：，定义域为：(，+) 反反余切函数余切函数y=arccotx，定义域为：，定义域为：(，+)24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系30 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念由基本初等函数经过四由基本初等函数经过四则运算所得到的函数。则运算所得到的函数。五、复合函数五、复合函数 在实际问题中，我们常常遇到由在实际问题中，我们常常遇到由几个较简单的函数构成一

30、个较为复杂几个较简单的函数构成一个较为复杂的函数的问题。的函数的问题。四、简单函数：四、简单函数：24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系31 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例例8有一质量为有一质量为m的物体，以初速度的物体，以初速度v0竖直上抛，竖直上抛，在不考虑空气阻力的前提下，求物体上行过程中动能在不考虑空气阻力的前提下，求物体上行过程中动能E与时间与时间t的函数关系。的函数关系。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系32上式即为动

31、能上式即为动能 E E 与时间与时间t t 的函数关系。的函数关系。, 0,)(21020gvtgtvmE 221mvE 解：由物理学知，如果物体的运动速度为解：由物理学知，如果物体的运动速度为v,则其动能则其动能E与速度与速度v之间的函数关系为之间的函数关系为 而竖直上抛运动物体在上行过程中的速度而竖直上抛运动物体在上行过程中的速度v与时间与时间t之之间间的函数关系为的函数关系为 （其中（其中g为重力加速度）为重力加速度）将将式代入式代入式，得式，得)0(0 vgtvv24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系33 2-12-1现实生活

32、中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念1定义：定义：)(xu )(ufy )(xfy 设函数设函数 的定义域为的定义域为U，而函数，而函数 的定义域为的定义域为 X , 值域为值域为 U*，并且，并且 U* 包含在包含在U 内，那么对内，那么对于于X 中的每一个中的每一个 x 经过中间变量经过中间变量 u，相应地得到唯一确，相应地得到唯一确定的一个值定的一个值 y, 于是于是 y 经过中间变量经过中间变量,而成为的函数，记而成为的函数，记为为 ,这种函数称为这种函数称为复合函数复合函数其中其中 x 称为称为自变量自变量, y 称为称为因变量因变量, u 称为称为中间变量中间变量.24

33、351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系34 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念例例9将下列函数将下列函数 y 表示成表示成 x 的复合函数的复合函数:xvvueyu 3,sin,(1)xvvuuycos,2,ln2 (2)uey 解解: : (2)(1)(1)注意：并非注意：并非任意两个函数都能构成复合函数任意两个函数都能构成复合函数. . 能不能构成复合函数能不能构成复合函数, ,只要看只要看 的定义域是的定义域是否为非空集否为非空集, ,若不为空集若不为空集, ,则能构成复合函数则能构成复合函数, ,

34、否则不能构成否则不能构成复合函数复合函数. . )(xfy vesin )3sin(xe Rx ,uyln )2ln(2v )cos2ln(2x Rx ,24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系35 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念uarcsiny 2x2u 例例10.10.函数函数 与与 能否构成复合函数能否构成复合函数. .解解: :uyarcsin 22xu 上述函数上述函数复合后定义域为空集复合后定义域为空集, ,所以所以 与与 不能构成复合函数。不能构成复合函数。uyarcsin x,)2a

35、rcsin(2x 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系36 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念把一个复合函数拆成几个简单函数的复合把一个复合函数拆成几个简单函数的复合例例1111分析下列复合函数的结构分析下列复合函数的结构解：（解：（1 1） 是由是由 13 xy2.2.复合函数的结构分析：复合函数的结构分析：13 xy （1）复合而成的。复合而成的。uy 1,3 xu24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系37 2-12-1现实生活中的问题

36、与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念解解: :（3 3） 是由是由 1sin2 xey2)1(arcsinxy (2)1sin2 xey(3)（2 2） 是由是由 2)1(arcsinxy 解解:xv1, vuarcsin, 2uy 复合而成的。复合而成的。复合而成的。复合而成的。vusin, uey 1,2 xwwv ,24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系38 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念bxexyxsin)1(2 xxxy53logtan 六、初等函数六、初等函数 定义：定义：由基本初

37、等函数经过有限次的四则运算和有限次由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成，并且能用一个式子表示的函数，叫做的复合步骤所构成，并且能用一个式子表示的函数，叫做初初等函数等函数。)0(2 acbxaxy例如：例如：凡不是初等函数的函数凡不是初等函数的函数, ,皆称为非初等函数。皆称为非初等函数。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系39 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念七、反函数七、反函数 定义定义: 设给定设给定 y 是是x 函数函数 y=f(x), xD, 若把若把 y 作为自变

38、量作为自变量, x 作作为函数为函数,则由关系式则由关系式 y=f(x) 所确定的函数所确定的函数 , yf(D) 称为函数称为函数 y=f(x) 的的反函数反函数,而而y=f(x) 称为称为直接函数直接函数. 习惯上总是用习惯上总是用 x 表示自变量表示自变量,而用而用 y 表示因变量表示因变量,因此因此,往往往把往把 改写成改写成 称为函数称为函数 y=f(x) 的的矫形反函数矫形反函数,记作记作 y = f-1(x)。所以。所以, 我们常称函数我们常称函数 y=f(x) 的反函数的反函数 为为直接反函数直接反函数。)( yx )(yx )(xy )(yx 24351/80数学应用与实践数

39、学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系40 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例如：例如：y=2x+1, y=sinx, y=ln(3x-1)等等,都是函数的公式法表都是函数的公式法表示方式。示方式。八、函数的表示方式八、函数的表示方式 函数至少可以用三种不同的常用方法来表示：函数至少可以用三种不同的常用方法来表示：公式法公式法、表格法表格法和和图象法图象法. .1 1公式法：公式法： 公式法是把一个函数通过指明运算的数学式子表示出来公式法是把一个函数通过指明运算的数学式子表示出来，依照它从自变量的值可以计算出因变量的对应值，依照

40、它从自变量的值可以计算出因变量的对应值, ,其特点其特点是精确、完整，便于理论上分析研究。是精确、完整，便于理论上分析研究。函数公式法有很多种表示形式函数公式法有很多种表示形式24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系41 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例如例如: :函数函数 是一个分段函数是一个分段函数, ,它的定义它的定义域是域是 1,210,)(2xxxxxf), 0 x2)(xxf 如如: :例例3 3。 定义：定义：在自变量在自变量x的不同取值范围内，函数有不同的解析的不同取值范围内，函数

41、有不同的解析表达式，这样的函数叫做表达式，这样的函数叫做分段函数分段函数当当 时时, ,), 1( x1 , 0 x当当 时时, , （1 1）分段函数）分段函数xxf 2)(24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系42 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念例例3 3中的函数可表示为中的函数可表示为 100800,10045)100800(80002162510080080800,10040)80800(700014628080060800,10035)60800(600086256080040800,1

42、0030)40800(500036254080020800,10025)20800(3000625208005800,10020)5800(45017558002800,10015)2800(1502528001300,10010)1300(251300800,1005)800(8000,0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxy24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系43 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 分段函数是函数公式法表示方式，它是一个分段函数是函数公式法表示方式，它是一个在其定义域的不同

43、部分用不同数学表示的函数在其定义域的不同部分用不同数学表示的函数, ,注注意分段函数不是由几个函数组成意分段函数不是由几个函数组成, ,而是一个函数而是一个函数, ,只不过是在定义域的不同部分用不同的数学表达只不过是在定义域的不同部分用不同的数学表达式表示式表示. .24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系44 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 （2 2）隐函数）隐函数 前面所说函数前面所说函数y可以可以用自变量用自变量x的关系式的关系式y=f(x)表示，这种函数称为表示，这种函数称为显函数显函数，但

44、是实际问题中有，但是实际问题中有时会遇到另一类函数，例如时会遇到另一类函数，例如 等，是等，是由一个含由一个含x和和y y的方程的方程F( (x, ,y)=0)=0所确定的函所确定的函数数，这类函数称为隐函数，这类函数称为隐函数. .由含由含x和和y的方程的方程F( (x, ,y)=0)=0所确定的函数，称为所确定的函数，称为隐函数隐函数. .222,Ryxxyeyx 24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系45 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念（3 3）由参数方程所确定的函数）由参数方程所确定的函数

45、 ttytx)()(定义：定义： 参数方程参数方程 确定确定 x与与y的函数的函数关系，称为关系，称为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数。 例如例如: :斜抛运动方程为斜抛运动方程为 确定了确定了y是是x的函数的函数. . 221gttvytvxyx24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系46 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 在实际中，常将一系列的自变量值与对应的函数值列在实际中，常将一系列的自变量值与对应的函数值列成表，如对数表、三角函数值表等，如此表示函数的方法成表，如对数表、三角函数

46、值表等，如此表示函数的方法叫做函数的表格表示法，简称表格法。叫做函数的表格表示法，简称表格法。 表格法不但是为了应用上的便利，表格法不但是为了应用上的便利，同时也同时也避免避免了了函数函数计算计算中的麻烦中的麻烦，且可以表示不知道，且可以表示不知道数学数学表达式表达式时时的函数的函数, ,这这在自然科学与工程技术上是常用的。在自然科学与工程技术上是常用的。2 2. 表格法表格法:24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系47 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 由直径由直径 D D 可以读出对应的可以读出

47、对应的 I I 值值, ,表格法的特点是简明表格法的特点是简明方便方便, ,缺点是自变量的取值有限。缺点是自变量的取值有限。4437.032.027.022.019.016.03.262.962.652.342.031.831.63熔 断熔 断电 流电 流I(安安)107.06.05.04.03.53.01.220.9150.8130.710.610.5590.508直径直径D(毫米毫米)下表是常见的保险丝在不同直径时的熔断电流下表是常见的保险丝在不同直径时的熔断电流例例1212保险丝的熔断电流和直径之间的关系保险丝的熔断电流和直径之间的关系24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022

48、-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系48 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例例13. 13. 在自动记录气压计中在自动记录气压计中, ,有一个匀速转动的圆柱有一个匀速转动的圆柱形记录鼓形记录鼓, ,印有坐标方格的记录纸就裹在这鼓上印有坐标方格的记录纸就裹在这鼓上, ,记录鼓每记录鼓每2424小时转动一周小时转动一周, ,气压计指针的端点装有一支黑水笔气压计指针的端点装有一支黑水笔, ,笔尖笔尖接触着记录纸接触着记录纸, ,这样经过这样经过2424小时之后小时之后, ,取下的记录纸上就描取下的记录纸上就描画了一条曲线画了一条曲线, ,这条曲线表示气

49、压这条曲线表示气压P P随时间随时间t t变化的函数关变化的函数关系系. . 3 3图像法：图像法：24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系49 2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例例14.14.下图的心电图下图的心电图(EKG)(EKG)显示两个人的心率摸式显示两个人的心率摸式, ,一位一位正常正常, ,另一位不正常另一位不正常, ,尽管也可以构造一个心电图函数的近似尽管也可以构造一个心电图函数的近似公式公式, ,但很少这样做但很少这样做, ,这种重复出现的图形正是医生需要了解这种重复出现的图形正是

50、医生需要了解的的, ,从图象上看这些重复图形远比从公式上看要容易的多从图象上看这些重复图形远比从公式上看要容易的多, ,而而每个心电图都把一个显示电流活动的函数表示为一个相对于每个心电图都把一个显示电流活动的函数表示为一个相对于时间的函数时间的函数. .24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系502-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念九、用九、用MathematicaMathematica画图画图 1. 1. 显函数的图形显函数的图形 作图命令作图命令：PlotPlot函数函数1 1，函数，函数2 2，函数

51、，函数3 3 , , 自变量，自变量，自变量最小值，自变量最大值自变量最小值，自变量最大值 ，参数，参数1-1-参数值参数值1 1，参数，参数2-2-参数值参数值2 2， 。说明：在同一坐标系中输出一元函数说明：在同一坐标系中输出一元函数1 1，函数，函数2 2，的的图象（曲线）。图象（曲线）。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系512-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念例例1515在同一坐标系中画出在同一坐标系中画出 的图像的图像. .3532,xyxyxy (其输入输出情况其输入输出情况如图如图2-

52、1)(操作操作)例题例题:24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系522-1 2-1 现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念图图2-1其输其输入输入输出情出情况如况如图图24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系532-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念例例1616作出作出 的图像。的图像。xeyx 1例题：例题：（操作操作）（其输入输出情况（其输入输出情况如图如图2-2）24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27

53、计算机与信息工程系计算机与信息工程系54 图图2-2其其输输入入输输出出情情况况如如图图2-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系552-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念例例1717作出函数作出函数 的图形的图形. .1,210,)(2xxxxxf例题：例题：（操作操作）（其输入输出情况如图（其输入输出情况如图2-3）24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系562-12-1现实生活中

54、的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 图图2-3输入输入输出输出如图如图24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系572-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念2 2由参数方程所确定的函数的图形由参数方程所确定的函数的图形 作图命令作图命令：ParametricPlotParametricPlot带参数函数带参数函数1 1，带参数函数，带参数函数22， 参数，参数最小值，参数最大值参数，参数最小值，参数最大值 ，操作参数，操作参数1-1-操作参操作参数值数值1 1，操作参数，操作参数2-2-操作参数值操

55、作参数值2 2， 说明：在直角坐标系中输出由参数函数说明：在直角坐标系中输出由参数函数1 1，参数函数，参数函数2 2，所，所确定的函数图像（曲线）。确定的函数图像（曲线）。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系582-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 例例1818将一小球以初速度为将一小球以初速度为9 9米米/ /秒，与水平方向的夹角秒，与水平方向的夹角为为4545的方向向上斜抛，画出小球运动的轨迹。（的方向向上斜抛，画出小球运动的轨迹。（操作操作）解：斜抛运动的参数方程为解：斜抛运动的参数方程为 2

56、214sin94cos9gttytx 0 y当当 时时, ,29877. 1, 0 tt解得解得 所以所以 29877. 1 , 0 t由参数方程作图，其输入输出情况由参数方程作图，其输入输出情况如图如图2-42-424351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系592-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 图图2-424351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系602-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念注意事项：注意事项：1. 1.

57、例题中用到各种函数类型的作图函数例题中用到各种函数类型的作图函数 （1 1）普通方程作图）普通方程作图:“:“PlotPlot函数函数1 1, ,函数函数2 2, ,函数函数3 3 , ,自变量，自变量最小值自变量，自变量最小值, ,自变量最大值自变量最大值 , ,参数参数1-1-参数值参数值1 1, ,参数参数2-2-参数值参数值2 2, , ”,”,如如例例1515、例例1616、例例1717。 （2 2）参数方程作图）参数方程作图:“:“ParametricPlotParametricPlot带参数函数带参数函数1 1, ,带参数函数带参数函数22, , 参数参数, ,参数最小值参数最小

58、值, ,参数最大值参数最大值 , ,操作参数操作参数1-1-操作参数值操作参数值1 1, ,操作参数操作参数2-2-操作参数值操作参数值2 2, , ”.”.如如例例1818。24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系612-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 2 2. .使用使用 的软件时的软件时, , 注意灵活注意灵活应用操作参数应用操作参数( (查看帮助系统查看帮助系统),),这样可以作出这样可以作出更漂亮的图形更漂亮的图形. .24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息

59、工程系计算机与信息工程系622-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 3 3自定义函数自定义函数（1 1）不带附加条件的自定义函数）不带附加条件的自定义函数 定义函数的规则是定义函数的规则是: :在在fx_:= fx_:= 或或fx_=fx_=的后面紧跟一个的后面紧跟一个以以x x为变量的表达式，其中为变量的表达式，其中x_x_称为称为形式参数形式参数。 调用自定义函数调用自定义函数fx_fx_时，只需用实在参数（变量和数值时，只需用实在参数（变量和数值等）代替其中的形式参数等）代替其中的形式参数x_x_即可。如果用即可。如果用“fx=fx=表达式表达式”定定义一个

60、函数，那么这个规则仅对义一个函数，那么这个规则仅对x x 成立，即成立，即fxfx中的中的x x不能用不能用任何其他东西取代。在运行中可用任何其他东西取代。在运行中可用“fx_:=.fx_:=.”清除函数清除函数fx_fx_的定义，用的定义，用“ClearfClearf”清除所有以清除所有以f f为函数名的函数为函数名的函数定义。定义。如如例例1515就是先定义函数，再用就是先定义函数，再用 作图作图. .24351/80数学应用与实践数学应用与实践2022-4-27计算机与信息工程系计算机与信息工程系632-12-1现实生活中的问题与函数的概念现实生活中的问题与函数的概念 ( (2 2) )带附加条