函数的零点教学教学教案详细(孔祥武

1、函数的零点教学设计精心整理常州市第一中学孔祥武一? ?设计思想与理念本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主 线”的原则而设计的教师在充分分析学生已有知识水平和思 维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探 索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引 导学生不断地提出新问题，解决新问题.、尹I I/ I* I二教材分析：1.1.?内容分析函数f(x)的零点, ,是中学数学的一个重要概念, ,从函数值与自变 量对应的角度看，就是使函数值为0的实数X；从方程的角度看，即 为相应方程f(x)=0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就 是函数f(x)与X轴

2、交点的横坐标. .函数的零点从不同的角度，将函数 与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用.! j.j x * i, y | I学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并 为下一节内容二分法求方程近似解提供理论支持.在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的 思想方法2.2. ? ?学情分析：初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他 们都能用公式法直接求方程的根.教学时可通过举例让学生知道，- -来源网络精心整理有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为 考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度 来

3、研究数的问题.本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教 材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础 上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主 发现，自我建构知识.3.?3.?教材处理本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象 的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种 关系推广到了一般情形体会函数与方程之间的转化关系.X |：/ y 对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟 这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的 剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的 理解及应用.重点：函数的零

4、点存在性定理的理解及运用-.i难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系； 三教学目标设计1 1知识与技能(1) 理解函数(结合二次函数)零点的概念.(2) 理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是 否存在零点. .2.2.过程与方法- -来源网络精心整理能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找 到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法.3.3. 情感、态度与价值观x22x一3 = 0的根与函数 厂x22x一3之间有什么联系？【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x轴交点的横 坐标 【师】：很好，方程X2-2X-3=0可看作函数y=x2-2x-3函数值为 0 0 时

5、特殊情形，函数与方程之间似乎有某种联系，-1,3是方程x22x7=0的两 根，那么是函数 厂X2-2X-3的什么呢？为了表述方便， 我们给它一 个名称， 把-1,3称为函数y=x2-2x-3的零点.(.(板书课题) )设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手， 通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关 - -来源网络在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意 义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作 用体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识和科学精 神.四.教学过程设计1 1 情境问题： 问题一：函数y =x2-2X-3图象与x轴交点

6、坐标(-1(-1 , 0 0)( 3 3, 0 0):你是怎样得到的， :令八0解出来的 问题二：方程:2【生】：【师】yX精心整理系，给学生搭自然类比引出概念零点知识是陈述性知识，关键 不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用一 沟通函数与方程的关系弓I入函数的零点的概念一是突出这一 转化的思想，二是表述起来更方便.2 2 .建构数学问题三：类似的，函数y = f(x)的零点又该怎样定义？【生】：令八0，解出f(x)=O的根便是函数的零点. .函数的零点：1 1、定义：一般地，我们把使函数-f(x)的值为 0 0 的实数x称为函 数八f(x)的零点. .【师】：函数的零点从本质

7、上来说是什么呢？一张纸还是一支 笔啊？【生】：零点是一个实数.【师】：很好，去掉修饰语，实数x称为零点我们不妨这么记 忆，零点不是点，海马不是马 2 2、 说明：(1) 函数的零点不是点，是个实数 (2)函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与x轴交点的 横坐标. .函数的零点问题二方程的根的问题二图象与x轴的交点问题设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的 思想.- -来源网络精心整理问题四：方程3456X2一3458X仁0有没有实数根？【生】：有，用D = 34582- 4? 34560计算，可以估算.【师】：很好，还

8、有别的做法吗？【生】：设f(x) =3456x2-3458X 1，f(1) = -1：0，因图像开口向上，所 以f(x) =3456x2-3458x 1的图像和x轴必有两个交点.【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看 问题. .变化：在区间(1,2)上有根吗？【生】：f(1)=-1,f (2) 0，二次函数图像必定穿越x轴，在区间(1,2)上有一个根.变化：在区间(0,1)上有根吗？【生】：f一1,f(0)“，函数图像必定穿越x轴，在区间(0,1)上有 一个根.设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的 角度，

9、来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想， 数学结合的思想. .同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函 数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形，为下面引出零点 存在性定理埋下伏笔. .问题五：若函数y = f(x)在区间a,b 上满f(a) f(b) 0, ,则函数y = f (x)在区间(a,零点吗？试举例说明. .精心整理【生 1 1】 ： 不一定， 八丄在区间(一1,1)上满足条件，却没有零点. .x【师】： 加一个怎样的条件就能保证上述函数y = f(x)在区间(a,b)上一定有零教师学生自己画图论证.- -来源网络足一定有- -来源网络点？【生】：感觉只要函数y = f

10、(x)在区间a,b上连在一起，不间断就 可以了.引出零点存在性定理设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值 异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向 纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的 引出便是自然的，水到渠成的.零点存在定理：一般地，若函数y = f(x)在区间a,b上的图象是一条X |：/ y 不间断的曲线，且f(a) f(b)：0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上有零点. 问题六( (剖析概念系列问) )：【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方.(设计意图引导学生自主发现问题)【生】：区间从a,b变化为(a,b)，为什么？

11、【师】：使零点位置更精确！第一个区间a,b能改为区间(a,b)吗？【生】：不可以，如函数fgJKZ1)，l-1,x=1【师】何谓“有零点”？【生】：至少有一个零点精心整理【师】(能逆向吗？)一般地，若函数八f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，若函数y = f(x)在区间(a,b)上有零点，贝U f(a) f(b) 0?能举例吗?【生】：二次函数f(x)d_4/在区间3,4上有零点却不满足. -【师】：不间断的单调函数y = f(x)廿/ * 在区间a,b上有f(a) f(b) cO,则函数y = f(x)在区间丿(a,b)上有几个零点？【生】：1 1 个. .I IJJ J / /

12、【师】：变式：二次函数y =f(x)在区间a,b上有f(a) f(b)：O, ,则函数y = f(x)在区间(a,b)上有几个零点？【生】：1 1 个(这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图 感受)设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深 入的剖析，诸如：满足定理的条件就有零点，不满足定理的条件 是否就没有零点，函数在区间上有零点是否一定有f(a)f(b)：O，引导 学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的 真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础这样达到完成 本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，3 3、典型例题：例题 1 1：求证：函数f(x)=

13、x3X21在区间(-2,-1)存在零点.解答：f(2)f(：0, ,函数f(x)=x3x21在区间(-2,-1)上不间断. . 强调：函数f(xx3x21在区间(-2,-1)上不间断. .注重解题规范.- -来源网络精心整理变式 1 1：求证：方程x3=4x2在区间(一2,0)上至少有两个实根解：令f(x) =X34x2,f (-2) =-8+8-2 0,f(0)=-20,f(-1)=1A0, 又函数f(x)=x3-4x-2在区间(-2,0)上连续不间断，f(x)=x3-4x-2在区间(-2,-1),(-1,0)上都至少有一个根，所以得证.教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题

14、 处理.设计意图：例题 1 1 设计了一个三次函数的例子，不能像通常二 次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性 定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理 是判断函数有无零点的又一种方法变式训练把问题推向高潮，X |：/ y 首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与 方程思想.当然变式 1 1 有一定难度，可根据学生层次选择.例题 2 2：函数f(x)=l nx x-4有零点的区间为(k,k 1) k Z，求k的值.分析 1 1:尝试直接应用定理解题.函数f(x) =1 n x x -4，f (2) = In 2 - 2：0，f (3) = In

15、3 -1 0， 函数f (x) = In x x 4在 区间(k,k 1) k Z上单调增，故k= 2分析 2 2：把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题.如x 4与y2F nx，观察图像可得零点在区间(1,4)当中,至于根到底在哪个区间， 依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查(1,4)中的整x= 2时寸,=2，yl n2：1，x=3时，力=1，y2Tn3 1， - -来源网点络- -来源网络精心整理通过精确比较，根位于区间(2,3)要进行细化. .纠正学生的常见误区：直接f (k)，f(k+1) = (ln k + k 4)(ln( k +1) + (k+1) 4 c 0的做法

16、不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用. .逐一检验整数点。归纳：函数零点的求解与个数的判断：(1)(代数法)转化为相应方程的实数根问题；( (能求则求) )，(2)(几何法)转化为函数的图象交点问题；(3)利用零点存在性定理解决.设计意图：设计一个入口较宽的，有一定挑战性的，一题多 解的例题，让学生正确理解零点存在性定理使用误区和注意事项， 并培养学生数形结合的意识，把陌生的问题转化为熟悉问题，把yI J /卜数的问题转化为形的问题，当依靠形说不清时再次把形的问题转 化为数，感受数学解题其实就是一个不断转化的过程.4 4、当堂训练：(备用)LiLi1 1、 设函数

17、f(x8lXx/11，则函数g(x)=f(x)+的零点为. i fJ! j.j、* i答：3可以直接求根，也可以作图像！2 2、 函数f(x)=xlgx-1有零点的区间为(k,k 1) k Z，则k的值为.2 2igxJ, ,转化为熟知的图像的交点，最后细化！x3 3、 方程3xlog2X=0在区间丄1内实数根的个数为.1 14法一、转化为两个图像的交点个数.法二、函数单调增，用f(a) f(b) 0- -来源网络精心整理设计意图：争对课上的重点难点内容，当堂巩固训练，变式训练， 课内时间可能来不及，看情况备用5 5、 课堂小结：（引导学生自己总结，自我建构）（1 1）函数的零点概念是什么？函

18、数的零点问题二方程的根的问题二图像与x轴交点问题函数的零点个数的判断方法有哪些？（1 1）求出相应方程的实数根； （2 2）转化为函数的图象交点 问题； （3 3）利用零点存在性定理（3 3）本节课运用了哪些数学思想方法？函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想/ I（/设计意图在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的 内容回顾总结，概况升华，进一步优化学生的认知结构，把课堂 所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生 的归纳概括能力.6 6、 课外作业：一中配套课时训练第 3333 课时函数的零点开课反思常州市第一中学孔祥武本节课好的地方：1.以问题串组织教学，一步步引

19、导学生自主建构概念，6 个大问题把整节课知识点串了起来.这样的课堂是高效的，学生在思考中发现，在探究中感悟.2.因为学生层次很好，（一中教改班），这节课我设计时立足放手让学生来说，把舞台交给学生充分体现教师 为主导，学生为主体的新课程理念许多概念的反例都是学生自己来举的，听课老师都觉得学生表现得很让 人吃惊这里学生的主动性积极性得到调动学生的大胆质疑，大声回答让人佩服，这样的课堂正是我们老- -来源网络精心整理师希望看到的，这样的学生正是我们老师希望培养的.3.零点存在性定理讲的比较细致入微，嚼得有滋有味，剖析得比较透彻，是本节课的亮点.零点存在性问题本身是充分的，有局限性的.“剖析问题(能逆

20、向吗)一般地，若函数y = f(x)在区间a,b上的图象是一条不 间断的曲线，若函数 八f(x)在区间(a,b)上有零点则f(a).f(b)：O?能 举例吗？”和变式 2 2 都在研究定理逆向方面的问题防止学生理 解发生偏差.定理的正向，逆向剖析，让学生对定理加深理解， 使得学生对定理理解更全面.4.本节课教态很自然， 始终面带微笑，不慌不忙，娓娓道来，不太像自己平时严厉的作风， 给人以亲近的感觉， 学生似乎也被感染了，师生配合较好，还要坚持.需要改进的方面：1 1 给出函数零点定义时提出问题：学习了零点定义要注意什么，X |：/ y 问题太大，太空.可改为：学习了零点，你能告诉人家零点是什 么吗？可能更具体一些.2.2. 零点不是点，黑马不一定是马说法不准确.改为零点不是点，X,jf 海马不是马可能较好.3.3. 零点存在性定理的生成亦可以设计一些活动让学生动手探究， 揭示定理(1 10 0分钟)已知函数y = f x