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文档简介
1、高中数学必修高中数学必修4 4第一章第一章 三角函数三角函数第二章第二章 三角恒等变换三角恒等变换第三章第三章 平面向量平面向量第一章三角函数第一章三角函数一一 任意角与弧度制任意角与弧度制u任意角的有关概念任意角的有关概念平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做的图形叫做角角正角正角:按逆时针方向旋转成的角叫做正角:按逆时针方向旋转成的角叫做正角负角负角:按顺时针方向旋转所成的角叫做负角:按顺时针方向旋转所成的角叫做负角零角零角:一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角:一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角象限角、轴线
2、角象限角、轴线角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x x轴轴的非负半轴重合时,那么角的终边在第几象限就说这个角是第的非负半轴重合时,那么角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角;终边落在坐标轴上的角叫做轴线角几象限角;终边落在坐标轴上的角叫做轴线角终边相同角终边相同角:所有与角:所有与角 终边相同的角,连同角终边相同的角,连同角 在内,可构在内,可构成集合成集合S=|=+k360S=|=+k360,kZ,kZ,即任一与角,即任一与角 终边相同的终边相同的角,都可以表示成角角,都可以表示成角 与整数个周角的和。与整数个周角的和。u弧度制弧度制角度定义制角
3、度定义制: 规定周角的规定周角的 为一度的角,记做为一度的角,记做1 1,这种,这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为6060进进制制弧度制定义弧度制定义:长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做:长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1 1弧度的弧度的角角. . 用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 1. 1弧度记做弧度记做1rad1rad弧度数弧度数:一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数:一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是是一个负数,零角的弧度数是0
4、. 0. 如果半径为如果半径为r r的圆的圆心角的圆的圆心角 所对的弧的长为所对的弧的长为l,那么角,那么角 的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是3601rl终边角终边角: : | | =2=2k k + + , , k kZZ 象限角象限角:第一象限角第一象限角: : (2(2k k 22k k + + , , k k Z Z) )第二象限角第二象限角: (2: (2k k + + 22k k + + , , k k Z Z) )第三象限角第三象限角: (2: (2k k + + 22k k + + , , k k Z Z) )第四象限角第四象限角: (2: (2k k + + 22k k
5、+2+2 , , k k Z Z 或或 2 2k k - - 22k k , , k k Z Z ) )u特殊角的表示特殊角的表示2223232轴线角轴线角:x x 轴的非负半轴轴的非负半轴: : = =k k 360(2360(2k k )( )(k k Z); Z); x x 轴的非正半轴轴的非正半轴: : = =k k 360+180(2360+180(2k k + + )( )(k k Z); Z); y y 轴的非负半轴轴的非负半轴: : = =k k 360+90(2360+90(2k k + + )( )(k k Z); Z); 2y y 轴的非正半轴轴的非正半轴: : = =k
6、 k 360+270(2360+270(2k k + + ) ) 或或 = =k k 360-90(2360-90(2k k - - )( )(k k Z);Z);232x x 轴轴: : = =k k 180(180(k k )( )(k k Z); Z); y y 轴轴: : = =k k 180+90(180+90(k k + + )( )(k k Z); Z); 坐标轴坐标轴: : = =k k 90( )(90( )(k k Z Z). ). 22k0 00306454360212032135431506527023180360290度度弧度弧度典例精析典例精析例1 (1) 已知角是
7、第二象限角,求: 角 是第几象限的角; 角2终边的位置;(2) 已知角45,在区间720,0内找出所有与角有相同终边的角.2解:解:(1) (1) k k3603609090 k k360360180180,k )2()k k1801809090;当当k k为偶数时,为偶数时, 在第一象限,当在第一象限,当k k为奇数时,为奇数时, 在第三象限;在第三象限;即即 为第一或第三象限角为第一或第三象限角 2 2k k36036018018022 20),当为多少弧度时,该扇形有最大面积二二 任意角的三角函数任意角的三角函数xrsecu任意角的三角函数定义任意角的三角函数定
8、义正弦:正弦:余弦:余弦:正切:正切:余切:余切:正割:正割:余割:余割:在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中设中设的始边为的始边为x x轴的正半轴,设点轴的正半轴,设点P P( (x x, ,y y) )为为的终边上不与原点的终边上不与原点OO重合的任意一点,设重合的任意一点,设r=OPr=OP,则:,则:rysinrxcosxytanyxcotyrcscu同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系正弦线:正弦线:余弦线:余弦线:正切线:正切线:有向线段有向线段MPMP有向线段有向线段OMOM有向线段有向线段ATATu正弦线,余弦线,正切线正弦线,余弦线,正切线sincostanu特
9、殊角的三角函数值特殊角的三角函数值典例精析典例精析例1 已知:角为锐角,试证:(1) sintan;(2) 1sin+cos2例2 已知sin=m (|m|1) ,求tan. 解:解:(1) (1) 当当m=0m=0时,时,=k, =k, tantan=0;=0;(2) (2) 当当0m1, 0m1, 为第一、第二象限角,为第一、第二象限角,当当 为第一象限角时,为第一象限角时,当当 为第二象限角时,为第二象限角时,(3) (3) 当当-1m0-1m0, 为第三、第四象限角,为第三、第四象限角,当当 为第三象限角时,为第三象限角时,当当 为第四象限角时,为第四象限角时,,1tan2mm,1ta
10、n2mm,1tan2mm,1tan2mm1. 函数 的定义域是( )A. x|2kx2k+ (kZ)B. x|2kx2k+ (kZ)C. x|2kx2k+ (kZ)D. x|2k0a0, 为第四象限角,为第四象限角,所以有所以有(2) (2) 当当a0a0, x0, 由终边上一点由终边上一点得得且且 为第四象限角,可知为第四象限角,可知.31535tan,41085sin,46cos,42cos),5,(xxP且, 3,542cos2xxxx得6. 已知tan=3,求下列各式的值.(1) (2) (3) ;cos4sincos3sin222cossin1.cos3sin222解:解:(1) (
11、1) 由由tan=3, tan=3, 得得(2) (2) 由由tan=3, tan=3, 得得又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1, =1, 得得从而有从而有(3)(3); 94tan3tan2cos4sincos3sin2,即2222cos9sin, 9cossin,101cos109sin22,45cossin122. 3cos3sin2227. 已知 求下列各式的值.(1) sinx-cosx;(2) ,51cossin, 02xxx.sincos122xx解:解:(1) (1) 由由可得可得而而得得(2) (2) ,2524cossin2 ,251)cos(sin,51co
12、ssin2xxxx得,2549)2524(1cossin21)cos(sin2xx,cossin, 02xxx,57cossinxx.72557511)sin)(cossin(cos1sincos122xxxxxx三三 诱导公式诱导公式sinsincoscostantan2k2k + + sinsin coscos tantan - - -sin-sin coscos -tan-tan /2/2 coscos sinsin cotcot sinsin -cos-cos tantan 3 3 /2/2 -cos-cos sinsin cotcot 2 2 sinsin coscos tantan
13、 口诀:口诀: 当锐角,奇变偶不变,符号看象限当锐角,奇变偶不变,符号看象限典例精析典例精析例1 求下列各三角函数式的值.(1) sin1320;(2) (3) tan(945);631cos(解:解:(1) sin1320(1) sin1320=sin(4=sin(4* *360360-120-120)=sin(-120)=sin(-120) )=-sin120=-sin120=-sin(180=-sin(180-60-60)=-sin60)=-sin60= =(2)(2)(3) tan(-945(3) tan(-945)=-tan945)=-tan945=-tan(3=-tan(3* *3
14、60360- -135135)=tan135)=tan135=tan(180=tan(180-45-45)=-tan45)=-tan45=-1;=-1;23;216cos)6cos()65cos()631cos()631cos(例2 已知角终边上一点P(-4,3), 求 的值.)29sin()211cos()sin()2cos(解:由角解:由角 终边上有一点终边上有一点P(-4,3), P(-4,3), 可知可知 为第二象限角,为第二象限角,且有且有,43tan,54cos,53sin.43tancossinsincos)2cos()sin(sin)2sin()2cos()sin(sin)29
15、sin()211cos()sin()2cos(2例3 已知 且为第四象限角,求sin(105)的值,31)75cos(解:由解:由 为第四象限角得为第四象限角得k k* *360360+270+270kk* *360360+360+360,则有则有k k* *360360+195+195-75-75kk* *360360+285+285,又又 可知可知 -75-75为第三象限角,为第三象限角,所以有所以有从而有从而有sin(105sin(105+)=sin180+)=sin180+(-75+(-75)=-sin(-)=-sin(-7575)=)=,31)75cos(,322)75(cos1)7
16、5sin(2.322课堂训练课堂训练1. sin585的值为( )A. B. C. D. 22222323A A2. 如果角,满足. 那么下列式子正确的个数是() sinsin; sinsin; cos cos ; coscos.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B B3. 已知 且是第四象限的角,则sin(2)( ).A. B. C. D.,135)cos(;1312;1312;1312.125A A4. sin2()cos()cos()1 .2 25. 已知tan(3)2,求 的值.)cos()sin()2cos(2)2sin()cos()3sin(6. 已知 0,0,|f(x2),则
17、下列不等式一定成立的是( )A. x1x20 B. x12x22 C. x1x2 D. x1f(cosB) B. f(sinA)f(sinB)C. f(sinA)f(cosB) D. f(sinA)0)0)或或向右向右( ( 0)0,0,0 )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点(1) 求f(x)的解析式;(2) 当 时,求f(x)的值域22).2,32(M2,12x例2 已知函数f(x)=sin(x+),(01,0)是R上的偶函数,其图象关于点 对称,求函数解析式.)0 ,43(M解:由函数是偶函数得解:由函数是偶函数得x=0 x=0为其对称轴;为其对称轴;即
18、有即有且且0,所以有又函数关于点又函数关于点MM对称,则有对称,则有且且01,得综上所述,函数的解析式为综上所述,函数的解析式为,2,20kk,2,43k,2,32).232sin()(xxf例3 已知下图是函数y=Asin(x+)的图象.(1) 求,的值;(2) 求函数图象的对称轴方程.解:解:(1) (1) 由函数图象可知由函数图象可知A=2A=2,图象过点,图象过点(0,1)(0,1)和点和点所以有,所以有,即即 函数解析式为函数解析式为(2) (2) 其对称轴:其对称轴:解得解得)0 ,1211(,得26,21211sin21;)62sin(2xy,262Zkkx,323Zkkkx或例
19、4 设函数f(x)=sin(2x+),(-0,0)的图象如图,则有( )A. B.C. D.课堂训练课堂训练)6sin(3xy)62sin(3xy)3sin(3xy)32sin(3xy2. 把 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到ysinx的图象,则的值为()A. 1B. 4 C. D. 2)21sin(xy 413. 将函数ysin4x的图象向左平移 个单位,得到ysin(4x)的图象,则等于( )A. B. C. D.12123123DDC CC C4. 若将函数 的图象向右平移 个单位长度后,与函数 的图象重合,则的最小值为()A. B. C. D.)0(),4tan(xy6)6tan(
20、xy612131415. 为了得到函数的 图象,只需把函数的图象()A. 向左平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位C. 向右平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位)32sin(xy)62sin(xy44226. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是()A. B. C. D.)3sin(xy3)21sin(xy )221sin(xy)621sin(xy)62sin(xyDDC CC C7. 函数 图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.)22cos(xy2x4x8xx8. 将函数f(x)si
21、n(x)的图象向左平移 个单位,若所得图象与原图象重合,则的值不可能等于( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 1229. 若y|2sin2xk|的周期为,则k的范围是 10.函数 单调递减区间是 . )23sin(3xyzkkk,125,12B BB B), 22,(10. 已知函数(1) 求它的振幅、周期、初相;(2) 用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3) 说明函数图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到).32sin(2xy11. 已知函数y=Asin(x+),(A0,0,|0,0,|/2),在同一周期中,当 时,ymax=3, 当 时,ymin=-3, 求函数的解析式.1
22、2x127x第二章三角恒等变换第二章三角恒等变换一一 两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切u两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切S S( ( ) ):sin(sin( ) )sinsin coscos coscos sinsin S S( ( ) ):sin(sin( ) )sinsin coscos coscos sinsin C C( ( ) ):cos(cos( ) )coscos coscos sinsin sinsin C C( ( ) ):cos(cos( ) )coscos coscos sinsin sinsin T T( ( ) ):t
23、an(tan( ) )T T( ( ) ):tan(tan( ) )tantan tantan tan(tan( )(1)(1tantan tantan ) )tantan tantan tan(tan( )(1)(1tantan tantan ) )sin,cos(),sin(cossin222222babbaababa其中u积化和差公式积化和差公式1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 u和差和差化化积公式积公式sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2
24、coscos22coscos2sinsin22 正加正,正在前,正加正,正在前,余加余,余并肩,余加余,余并肩,正减正,余在前,正减正,余在前,余减余,负正弦余减余,负正弦u二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切S S2 2 :sin2sin2 2sincos2sincos C C2 2 :cos2cos2 coscos2 2 sinsin2 2 = 2cos = 2cos2 2 1 = 11 = 12sin2sin2 2 T T2 2 :tan2tan2 21cos(1cos2 )221sin(1cos2 )2221cos2cos,1cos2sin22222)cos(sincoss
25、in2cossin2sin1二二 倍角的正弦、余弦、正切倍角的正弦、余弦、正切u半角的正弦、余弦、正切半角的正弦、余弦、正切2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan22cos12sin2cos12coscos1cos12tansincos1cos1sin2tan2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan2u角的变形角的变形例1 (1) 已知 求cos()的值;(2) 已知, (0,),且 求2的值典例精析典例精析,32)2sin(,91)2cos(,20且,71tan,21)tan(例2 已知 求 的值.),2(2 ,222ta
26、n)4sin(21sin2cos22证明:由已知证明:由已知tan(tan( ) )2tan2tan 可得可得sin(sin( )cos)cos 2cos(2cos( )sin)sin 而而sin(sin( 2 2 ) )sin(sin( ) ) sin(sin( )cos)cos cos(cos( )sin)sin 2cos(2cos( )sin)sin cos(cos( )sin)sin 3cos(3cos( )sin)sin . .又又sinsin sin(sin( ) ) sin(sin( )cos)cos cos(cos( )sin)sin 2cos(2cos( )sin)sin c
27、os(cos( )sin)sin cos(cos( )sin)sin . .故故sin(sin( 2 2 ) )3sin3sin . .例3 已知tan()2tan,求证:3sinsin(2)例4 已知函数(1) 求函数f(x)的最小正周期;(2) 求函数h(x)f(x)g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.412sin21)(),3cos()3cos()(xxgxxxf课堂训练课堂训练1cos43cos77sin43cos167的值为( )A. B. C. D.B B212131312. 已知 则cos等于( )A. B. C. D.,71)4tan(),2(DD535354543. 已知 时,代数式f(sin2)f(sin2)可化简为()A. 2sin B. 2co
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