有限元与数值方法-讲稿4

1、1有限元与数值方法有限元与数值方法第四讲第四讲第第4章章 有限元法的一般原理有限元法的一般原理授课教师：刘书田授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：研究楼教室：研究楼 102 时间：时间：2011年年4月月1日：日：18：0021：2023弹性力学问题的有限元法弹性力学问题的有限元法有限元法的基本思想有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法杆系结构的直接刚度法静定桁架的内力可以通过节点的平衡方静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移件应力、应变，再求得节点位移PP静不定桁架的内力无法

2、简单通过节点平衡方程静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。4有限元法的基本思想有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法杆系结构的直接刚度法静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方

3、程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。由节点的平衡方程就可求得节点位移；由节点的平衡方程就可求得节点位移；这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩

4、阵适当地组装得到。单元刚度矩阵适当地组装得到。2211221122222222cos ,sin , xxyyxxyyFuccsccsFucsscssEFFuLccsccsFucsscsscsFkUk或称为单元刚度矩阵F2x,u2xF2y,u2yF1x,u1xF1y,u1y12P5杆单元的有限元分析杆单元的有限元分析一维线性杆单元一维线性杆单元基本假定：基本假定：只能承受拉压内力（各杆两端的约束条只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递）件使得弯曲、扭转、剪切不能传递）轴线为直线轴线为直线1. 材料满足胡克定律材料满足胡克定律自由转动自由转动121F2F21FF6位移插值

5、位移插值)(xu)(2Luu )0(1uu 建立轴线方向的坐标系建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为记任一点轴向位移为并将节点位移表示为并将节点位移表示为2211)()()(uxNuxNxu建立杆件位移与节点位移的插值关系建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足其中，形函数必须满足1)(, 0)0(, 0)(, 1)0(2211LNNLNN1N1122N1217xaaxN101)(xbbxN102)(可简单地将形函数取为一次多项式的形式：可简单地将形函数取为一次多项式的形式：10a00b)/1(1LaLxb/11)0(1N0)0(2N0)(1LN1)(2LN考虑到边界条件，考虑到

6、边界条件，可得到可得到LxxN/1)(1LxxN/)(2因此因此位移插值位移插值8位移及应变位移及应变21)/()/1 ()(uLxuLxxuNu2121)()()(uuxNxNxu小位移假设下，应变为小位移假设下，应变为位移模式为位移模式为LuuuuxNdxdxNdxddxddxdux122121)()(Nu1 1,xBL L Bu9单元刚度阵单元刚度阵LuuEExx12利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为)(12uuLAEAPx则节点力为则节点力为)(121uuLAEF)(122uuLAEF11221111uFAEuFLr其矩阵形式表示为其矩阵形式表

7、示为1111eLAEK 单元刚度矩阵单元刚度矩阵,xE ESL L SuS 应力矩阵应力矩阵10XYxy X Y x yi 坐标变换矩阵坐标变换矩阵设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为任意单元为任意单元 i 端的任一矢量。它在端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为结构坐标系中的分量为 X、 Y；在单；在单元坐标系中的分量为元坐标系中的分量为 x、 y。 X、 Y 在单元坐标在单元坐标x轴上投影的代数和给出轴上投影的代数和给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标 y 轴上轴上投影的代数和给出投影的代数和给出 y cossin)cossin()(s

8、incos)sincos()(2121221211YXYXyYXYXxeeeeeeeeee11即即jjiivuvu,jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos坐标变换矩阵坐标变换矩阵YXyxcossinsincos令令 表示两个端点的位移矢量在单元局部坐表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，标系的分量， 表示两个端点的位移矢量在全局坐表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则标系的分量，则jjiivuvu,12上式可写成上式可写成eeRdd 坐标变换矩阵坐标变换矩阵R的具体内容为：的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：用节点坐标

9、描述方向余弦：cossin00sincos0000cossin00sincosRLYYLXXijijsin,cos坐标变换矩阵坐标变换矩阵（Xi，Yi）和和（Xj，Yj）分别为节点分别为节点 i 和节和节点点 j 在全局坐标系中的坐标值在全局坐标系中的坐标值13平面内任意方向的杆单元平面内任意方向的杆单元dTd111222cossin0000cossinuuvuuv xyx122u12uu d1uxyx122v1122uvuvd2u2v2u记为记为TrT r而节点力列阵满足而节点力列阵满足 (或或 ) rTre K dr由单元局部坐标系下的关系由单元局部坐标系下的关系可得到可得到eTT K T

10、dr或写成或写成eK drTKTKeeT其中其中14边界条件边界条件全局平衡方程全局平衡方程654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如不考虑约束条件，如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的总刚度阵是奇异的04321UUUU零位移约束条件零位移约束条件15边界条件处理边界条件处理654321656665646362615655545352514645444342413635343

11、332312625242322211615141312110000FFFFFFUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk零位移约束条件代人平衡方程，得到零位移约束条件代人平衡方程，得到约束反力约束反力外载荷外载荷未知位移未知位移16对于一般的指定位移约束，可将方程分块为对于一般的指定位移约束，可将方程分块为acacaaaccaccFFUUKKKK其中，其中， 是指定位移，是指定位移， 是主动位移是主动位移cU65432165432166656463626156555453525146454443424136353433323126252423222116151

12、4131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk边界条件边界条件即即aU17在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为sincossincos)(4)(3)(2)(2)(1)(1eeeeeeUUuUUu根据位移插值关系根据位移插值关系2211)()()(uxNuxNxu单元应变和应力单元应变和应力可给出单元轴向应变为可给出单元轴向应变为)()(1)(2)(2)(1)()()(2)(121)()()(11)()(ddd)(deeeeeeeeeeeeLuuuuLLuuxNxNxxxu )()(eeE由胡

13、克定律可进一步给出单元轴向应力为由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为18)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(2)(1sincos0000sincoseeeeeeeeeeUUUUUUUUuuT单元应变和应力单元应变和应力而由而由)(4)(3)(2)(121)()()()()(ddd)(deeeeeeeUUUUxNxNxxxuT)(4)(3)(2)(121)()()()()()(ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力196211010 EE5 . 121 AA例

14、子例子局部坐标系下的单元刚度阵局部坐标系下的单元刚度阵11111ekkkkK22222ekkkkK20例子例子TKTKeeTcossin0000cossinT652165211111111111111111112FFFFUUUUkeeeFdK65432165432111100111100110000000000001100111100112FFFFFFUUUUUUk21例子例子TKTKeeTcossin0000cossinT65436543220000010100000101FFFFUUUUkeeeFdK654321654321200000001010000000001010000000000

15、0000FFFFFFUUUUUUk22例子例子组装后的总刚度阵组装后的总刚度阵2304321UUUU考虑边界条件考虑边界条件平衡方程成为平衡方程成为求解得到求解得到约束反力为约束反力为24单元单元1在局部坐标系下的节点位移分量在局部坐标系下的节点位移分量)(4)(3)(2)(121)()()()()()(ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET单元单元1在局部坐标系下的应力在局部坐标系下的应力将位移解代入上式，得到将位移解代入上式，得到25向三维空间杆单元的推广向三维空间杆单元的推广zeyexeeUUUucoscoscos)(3)(2)(1)(1zeyexeeUUUucos

16、coscos)(6)(5)(4)(2)()()(1KJIijijij(e)ZZYYXXLKJIzyx(e)coscoscos轴线上的单位方向矢量：轴线上的单位方向矢量：coscoscos000000coscoscosxyzxyz ddTd或表示为或表示为其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角26有限元与数值方法有限元与数值方法第五讲第五讲第第4章章 有限元法的一般原理（续）有限元法的一般原理（续）授课教师：刘书田授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：研究楼教室：研究楼 102 时间：时间：2011年年4月月7日：日：18：001

17、9：4027杆单元的有限元分析杆单元的有限元分析)(xu)(2Luu )0(1uu 局部坐标系：建立轴线方向的坐标系局部坐标系：建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为记任一点轴向位移为并将节点位移表示为并将节点位移表示为2211)()()(uxNuxNxu建立杆件位移与节点位移的插值关系建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足其中，形函数必须满足1)(, 0)0(, 0)(, 1)0(2211LNNLNN1N1122N12128杆单元的有限元分析：位移及应变杆单元的有限元分析：位移及应变21)/()/1 ()(uLxuLxxu1122( )( )( )euu xN xNxuNuNd

18、小位移假设下，应变为小位移假设下，应变为位移模式为位移模式为LuuuuxNdxdxNdxddxddxdux122121)()(Nu1 1,xBL L Bu29单元刚度阵单元刚度阵单元的杆端力：单元的杆端力：11221111eeeeuFAEuFL FK dFe1111AEL K 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵,xE ESL L SuS 应力矩阵应力矩阵12eFF F30XYxy X Y x yi 坐标变换矩阵坐标变换矩阵设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为任意单元为任意单元 i 端的任一矢量。它在端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为结构坐标

19、系中的分量为 X、 Y；在单；在单元坐标系中的分量为元坐标系中的分量为 x、 y。 X、 Y 在单元坐标在单元坐标x轴上投影的代数和给出轴上投影的代数和给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标 y 轴上轴上投影的代数和给出投影的代数和给出 y cossin)cossin()(sincos)sincos()(2121221211YXYXyYXYXxeeeeeeeeee31即即jjiivuvu,jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos坐标变换矩阵：坐标变换矩阵坐标变换矩阵：坐标变换矩阵YXyxcossinsincos令令

20、表示两个端点的位移矢量在单元局部坐表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，标系的分量， 表示两个端点的位移矢量在全局坐表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则标系的分量，则jjiivuvu,32平面内任意方向的杆单元平面内任意方向的杆单元eedTd111222cossin0000cossinuuvuuv xyx122u12uu d1uxyx122v1122uvuvd2u2v2u记为记为TeeeeFT FFTF而节点力：而节点力： eee K dF由单元局部坐标系下的关系由单元局部坐标系下的关系可得到可得到eTeeT K TdF或写成或写成eeeK dFTKTKeeT其中其中331.

21、整体节点位移整体节点位移11( ,)nnu vu vd 单元节点位移：单元节点位移：总体控制方程：总体控制方程：单元集成分析单元集成分析expexp;eedT ddTd扩充矩阵扩充矩阵expT2. 整体节点力整体节点力111212(,)nnFFFFFexpeeFTFeexpeexpexpexpeexp();eeeeeeK dFTKT dTFFKdFKTK T34向三维空间杆单元的推广向三维空间杆单元的推广zeyexeeUUUucoscoscos)(3)(2)(1)(1zeyexeeUUUucoscoscos)(6)(5)(4)(2)()()(1KJIijijij(e)ZZYYXXLKJIzyx

22、(e)coscoscos轴线上的单位方向矢量：轴线上的单位方向矢量：coscoscos000000coscoscosxyzxyz ddTd或表示为或表示为其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角351111eLAEKTKTKeeT全局坐标系下的单元刚度阵为全局坐标系下的单元刚度阵为向三维空间杆单元的推广向三维空间杆单元的推广其中其中单元刚度阵向总刚度阵的组装、边界条件和载荷的处理与二维情况类似单元刚度阵向总刚度阵的组装、边界条件和载荷的处理与二维情况类似3637由梁组成的结构由梁组成的结构梁梁拱拱框架框架38欧拉欧拉-伯努利梁的基本假定伯努利梁的基本假定

23、平截面假设平截面假设：初始与梁的中性轴初始与梁的中性轴垂直的平面垂直的平面,在变形后仍垂直于在变形后仍垂直于轴线轴线, 并且在垂直轴线方向上无并且在垂直轴线方向上无变形变形当梁的高长比比较大时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪当梁的高长比比较大时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪切。称为切。称为Timoshenko梁理论梁理论dwdx39弯曲梁的有限元分析弯曲梁的有限元分析欧拉梁挠度微分方程：欧拉梁挠度微分方程：( )EIwq x 2001()2LLjiiiijUWEI wdxdwPwMqwdxdx 势能泛函：势能泛函：强制边界条件：强制边界条件：,dwwwdx自然边界条件：自然边界条件：

24、,MQwwEIEI40单元坐标下的单元位移单元坐标下的单元位移TjjiiTevv4321平面梁单元平面梁单元v 为为 y 向位移，即挠度；向位移，即挠度； 为角位移为角位移对于欧拉梁，对于欧拉梁， =dv/dx考虑两端承受弯矩和剪力的平面考虑两端承受弯矩和剪力的平面梁单元梁单元41TjjiiTeMQMQFFFF4321F其中其中，Q 为剪力，为剪力，M 为弯矩为弯矩ijxyF1F2F3F4L单元坐标下的单元内力单元坐标下的单元内力平面梁单元平面梁单元对于欧拉梁，有对于欧拉梁，有2222222ddddddd)(dxvdEIAyxvEAxvEyyAyxMzAAAx22ddddddddxvyxvyx

25、xuxxx33dxvdEIQ 42单元内位移插值单元内位移插值为满足为满足4个边界条件，取含有个边界条件，取含有4个待定系数的位移函数（个待定系数的位移函数（x 为单元局部坐标）为单元局部坐标）230123( )v xaa xa xa x这这4个待定系数可用节点未知量表示，如个待定系数可用节点未知量表示，如0111(0),(0)avv av232112322112223123231122( 323)/23(22)/vLa La LvavLvLLa La LavLvLL 位移函数和形函数位移函数和形函数43单元内位移插值单元内位移插值从而可将从而可将位移函数位移函数写成节点未知量为系数的函数：写

26、成节点未知量为系数的函数：11122324( )( )( )( )( )ev xv N xNxv NxNxN其中其中称为形函数（称为形函数（shape functions）4321NNNNN232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(LxLxNLxLxNLxLxxLNLxLxLN3 , 2 , 10)(, 1)(4 , 3 , 10)0(, 1)0(4 , 2 , 10)(, 1)(4 , 3 , 20)0(, 1)0(4231iforLNLNiforNNiforLNLNiforNNiiii44单元内位移插值单元内位移插值如果采用如果采用“自然坐标自然坐标”

27、，则形函数还可写为，则形函数还可写为12Lx)1 ()1 (81)2()1 (41)1 ()1 (81)2()1 (4124232221LNNLNN45应变矩阵应变矩阵单元弯曲应变单元弯曲应变 b 与节点位移与节点位移 e 的关系。的关系。由材料力学知，梁单元上由材料力学知，梁单元上任一点任一点的应变和该点挠度之间关系为：的应变和该点挠度之间关系为： 22dxvdyb将位移模式代入，得到单元弯曲应变和单元位移之间关系将位移模式代入，得到单元弯曲应变和单元位移之间关系)26()612()46()612(3LxLLxLxLLxLyB4321BBBBBebB平面梁单元平面梁单元46单元的应变能单元的

28、应变能eeTeexTexeedxdydzEdxdydzEvvUUK)(21)(2121),(222211dAdxEALTe 0BBK47单元坐标系下的单元刚度矩阵单元坐标系下的单元刚度矩阵 将应变矩阵代入，注意到梁截面对将应变矩阵代入，注意到梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩 AzdAyI2平面梁单元平面梁单元，可得到，可得到LEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEIzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223KdAdxEALTe 0BBK48等价节点力等价节点力 对于梁上作

29、用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为节点，按结构的取为节点，按结构的节点载荷节点载荷处理。处理。 梁单元上的横向分布荷载梁单元上的横向分布荷载 qy(x) 的势能是的势能是平面梁单元平面梁单元Lxyijqy(x)ijxdxv(x)qy (x)dxdxxqdxxqxvVLyTeTLyS)()()(NeqyeTFdxxqyTLeqy)(0NF49dxxqyTLeqy)(0NF课堂练习课堂练习ij12/2/12/2/ )(/ )23(/ )2(/ )23(22023233223223323qLqLqLqLqdxLxLxLxLxLx

30、LxxLLxLxLMQMQLiiii232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(LxLxNLxLxNLxLxxLNLxLxLN50荷载分布QiMiQjMjqL/2qL2/12qL/2- qL2/123qL/20qL2/307qL/20- qL2/20qL/45qL2/96qL/4- 5qL2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力平面梁单元平面梁单元51总体平衡方程总体平衡方程由最小势能原理，可以得到系统的平衡条件是由最小势能原理，可以得到系统的平衡条件是由此得到总体平衡方程由此得到总体平衡方程KdF11210,0,0,0e

31、eeevv52有限元与数值方法有限元与数值方法第五讲第五讲第第4章章 有限元法的一般原理（续）有限元法的一般原理（续）授课教师：刘书田授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：研究楼教室：研究楼 102 时间：时间：2011年年4月月8日：日：18：0019：4053总刚度矩阵的特性总刚度矩阵的特性刚度矩阵的物理意义：刚度矩阵的物理意义：半正定性：半正定性：ijK物理意义：物理意义：第第i个自由度发生单位位移时，需要在第个自由度发生单位位移时，需要在第j个自由度上施加的力（约束反力）个自由度上施加的力（约束反力）eeeK dF111213142122232431323334

32、41424344iiiijjjjvQKKKKMKKKKvQKKKKMKKKKKdF54总刚度矩阵的特性总刚度矩阵的特性对角元非负：对角元非负：半正定性：半正定性：0dKdT0iiK给定方向单一载荷作用下，加载点处位移方向不能与载荷方向相反给定方向单一载荷作用下，加载点处位移方向不能与载荷方向相反应变能不为负应变能不为负稀疏性：稀疏性：每个节点通过单元相连的节点数目相对较少；每个节点通过单元相连的节点数目相对较少；利用稀疏性，可以采用具有较高效率的线性代数方程组求解算法利用稀疏性，可以采用具有较高效率的线性代数方程组求解算法556543216665646362615655545352514645

33、44434241363534333231262524232221161514131211000001FFFFFFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk由Betti-Maxwell定理，有 ，即例如，给定两组载荷，使之各自作用下只引起单个自由度的位移：例如，给定两组载荷，使之各自作用下只引起单个自由度的位移：12 FF654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 000010FFFFFFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

34、kkk1221kk总刚度矩阵的对称性总刚度矩阵的对称性对称性（对线弹性问题）：对称性（对线弹性问题）：KK TBetti-Maxwell定理：定理：如果两组载荷作用于一个线弹性结构上，则第如果两组载荷作用于一个线弹性结构上，则第一组载荷在第二组载荷引起的位移上做的功等于第二组载荷在第一一组载荷在第二组载荷引起的位移上做的功等于第二组载荷在第一组载荷引起的位移上做的功组载荷引起的位移上做的功（回忆结构力学的单位力法和图乘法）（回忆结构力学的单位力法和图乘法）56总刚度矩阵的对称性总刚度矩阵的对称性KK T也可这样证明：设载荷也可这样证明：设载荷 和和 各自引起位移各自引起位移 和和 1f2f1d

35、2d由由Betti-Maxwell定理，有定理，有2121fddfTT即即0)(212121dKKdKdddKdTTT由由 和和 的任意性，有的任意性，有1d2d57总刚度矩阵的稀疏性总刚度矩阵的稀疏性000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000K总刚度阵的稀疏性的物理意义：如果结构的总刚度阵的稀疏性的物理意义：如果结构的 i 节点发生单位位移，只有节点发生单位位移，只有与节点与节点 i 通过单元发生联系的那些节点才产生节点力。反之，通过单元发生联系的那些节点才产生节点力。反之， i 节点是节点

36、是否产生节点力也只会受与它通过单元相连的节点的影响。否产生节点力也只会受与它通过单元相连的节点的影响。第第 i 列表示第列表示第i58总刚度矩阵的组装和存贮总刚度矩阵的组装和存贮666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221151514131211kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK单元刚度矩阵单元刚度矩阵中的上三角中的上三角利用刚度阵的对称性，可以只组装总刚度阵的上三角部利用刚度阵的对称性，可以只组装总刚度阵的上三角部分；在存贮时也只存上三角刚度阵分；在存贮时也只存上三角刚度阵59

37、000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000K总刚度矩阵的组装和存贮总刚度矩阵的组装和存贮x 代表单元刚代表单元刚度矩阵中的非度矩阵中的非零元素零元素利用刚度阵的稀疏性，可以采用最大半带宽、变带宽等利用刚度阵的稀疏性，可以采用最大半带宽、变带宽等技术节约存储空间技术节约存储空间60总刚度矩阵的组装和存贮总刚度矩阵的组装和存贮61结构对称性的利用结构对称性的利用Plane of Symmetry(Restrained Motions)Plane of Anti-symmetry(Restraine

38、d Motions)62结构对称性的利用结构对称性的利用63有限元法的实施流程有限元法的实施流程解方程解方程Kd= F提取单元位提取单元位移移de计算单元内计算单元内力和应力力和应力把单元刚度矩阵集合把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵成结构刚度矩阵K结构离散结构离散为单元为单元建立单元刚建立单元刚度矩阵度矩阵Ke形成等价形成等价节点荷载节点荷载F形成单元等价形成单元等价节点力节点力6465有限元法的理论基础概述有限元法的理论基础概述o将微分方程转化为等效积分弱形式将微分方程转化为等效积分弱形式 变分原理 加权余量法o采用单元上的分片假设近似函数，将积采用单元上的分片假设近似函数，将积分方程转化为

39、代数方程组分方程转化为代数方程组KaPiiNuu66有限元法有限元法(FEM)是求解是求解偏微分方程边值问题偏微分方程边值问题近似解的数值方法近似解的数值方法uuv边值问题边值问题未知量未知量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量（如位移、温度、流体速度等）（如位移、温度、流体速度等）边界条件边界条件是给定的是给定的场变量值场变量值或者其或者其偏导数偏导数有限元法的基本概念有限元法的基本概念67有限元法的基本概念有限元法的基本概念o有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为通常称

40、为“单元单元”或或“有限元有限元”。 对每一单元假定一个对每一单元假定一个分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构如结构的平衡条件），从而得到问题的解。的平衡条件），从而得到问题的解。o有限元法方程的系数矩阵通常是有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏稀疏的，便于求解。的，便于求解。o有限元法不仅计算精度高，而且能适应有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程的工程结构分析问题。结构分析问题。o有限元法有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温

41、度场、流体应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等68(a) 二维问题的几何域二维问题的几何域(b) 三角形单元三角形单元(c) 有限元网格的一部分有限元网格的一部分单元单元有限元网格有限元网格有限元法中的离散有限元法中的离散各种几何形状各种几何形状的有限元单元的有限元单元69三角形的顶点称为节点（三角形的顶点称为节点（node） 节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解node热传导问题的三角形单元热传导问题的三角形单元1T3T2Tnode有限元法中的场变量表示有限元法中的场变量表示以平面热传导问题的三角形单元为例以平面热传导问题的三角形单元为例70除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？ 单元内部点的场变量