大数定理与中心极限定理课件

1、大数定理与中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。也就是说，要从随机现象中去呈现出来。也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象。寻求必然的法则，应该研究大量随机现象。 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的

2、有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律1.解决大量随机现象平均结果稳定的大数定理表现正态分布在理论上、应用上重要性的 中心极限定理字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景5.1 大数定律定理定理 1 （独立同分布下的大数定律）（独立同分布下的大数定律） 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且 EXi = ， DXi = ， i=1,2

3、,则对任给则对任给 0,2 1|1|lim1 niinXnP几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理表明：当n足够大时，nii 11X=Xn 大大量量随随机机现现象象的的平平均均值值几几乎乎是是一一个个常常数数故将来在数理统计中，可用故将来在数理统计中，可用样本均值来估计总体均值样本均值来估计总体均值。定理定理2（贝努里大数定律）（贝努里大数定律） 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，有：，有：或或Annlim P|p |1n Annlim P|p |0n 贝努里大数定律表明，当重复试验

4、次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小。有较大偏差的概率很小。 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。定事件概率的方法。定理定理 3（辛钦大数定律）（辛钦大数定律） 设随机变量序列设随机变量序列 X1, X2, 独立同分独立同分布，具有有限的数学期布，具有有限的数学期 EXi=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，1|1|lim1 niinXnP 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现

5、象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性它是随机现象统计规律的具体表现。它是随机现象统计规律的具体表现。大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响. .例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响就受着许多随机因素的影响. .5.2 中心极限定理自从高斯指出测量误差服从正态分布自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，之后，人们发现，正态分布正态分布在自

6、然界中极在自然界中极为常见。为常见。观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大。则这种量一素在总影响中所起的作用不大。则这种量一般都服从或近似服从正态分布。般都服从或近似服从正态分布。由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身，而考个随机变量之和本身，而考虑它的虑它的标准化标准化的随机变量的随机变量nnkkk 1k 1nnkk 1XE(X )YD(X ) 的分布函数的极限。的分布函数的极限。 可以证明，满

7、足一定的条件，上述可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布极限分布是标准正态分布. -中心极限定理中心极限定理在概率论中，习惯于把和的分布收在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极中心极限定理。限定理。我们只讨论几种简单情形。我们只讨论几种简单情形。下面给出的独立同分布随机变量序下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列的中心极限定理，也称林德伯格林德伯格-列维列维（ Lindberg-Levy ）定理。定理。定理定理 4（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）设设X1,X2, 是独立同分布的随机是独立

8、同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，则，则2 2-t2-1edt2nxYnnnlimF ( x)limPYx( x) nkk 1nXnY N(0,1) n 也也即即nkk 1X N(,) 当当 n 很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布:定理表明，当定理表明，当n充分大时，充分大时，n个具有相同期望和个具有相同期望和方差的独立同分布的方差的独立同分布的r.v之和之和,(一般分布很难求出一般分布很难求出),但但可以认为可以认为近似服从正态分布近似服从正态分布。nkk 112nE()E( XX)E( X )E( Xn) n 1nkk 122n

9、D()D( X )D( X )D( X )nX 2n nkk 1nnkk 1XnY N(0,1)n1Xn N(0,1) n n2kk 12nkk 1XN(n,n)1 XX N(, )nn 中心极限定理的应用中心极限定理的应用例例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为均值为100小时的指数分布。现随机地取小时的指数分布。现随机地取16只只，设它们的寿命是相互独立的，设它们的寿命是相互独立的. 求这求这16只元件只元件的寿命的总和大于的寿命的总和大于1920小时的概率。小时的概率。解解: 设第设第 i 只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1, 2,

10、 , 16由题给条件知，由题给条件知，诸诸 Xi 独立独立，EXi =100, DXi =1000016只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为16kk 1YX 由中心极限定理：由中心极限定理：Y N(,) 16kk 1E(Y )E(X ) 16kk 1D(Y )D(X ) 1600240016kk 1E( X ) 10016160016kk 1D( X ) 21000016400 所以所以 P (Y 1920) = 1-P( Y 1920 )Y1600192016001P()1(0.8)0.2119400400 例例 已知在某十字路口，一周事故发生数的已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期

11、望为数学期望为2.22.2，标准差为，标准差为1.41.4（1 1）以）以 表示一年（表示一年（5252周）此十字路口事周）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求故发生数的算术平均，试用中心极限定理求 的极限分布，并求的极限分布，并求XX2XP（2 2）求一年的事故发生数小于）求一年的事故发生数小于100100的概率的概率解：解：标准化后求解由周事故发生数第 )524 . 1, 2 . 2(521 )4 . 152, 2 . 252( 52.2 , 1k:X52122521kkkkkNXXNXk棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布的正棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊

12、情况。态近似）是上述定理的特殊情况。定理定理 5 ( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有nnnnpPxnp 1p lim()2tx21edt2 定理表明，定理表明，当当n很大，服从很大，服从二项分布二项分布随机随机变量变量 可可近似近似认为服从认为服从正态分布：正态分布：nnnnp N(0 ,1 )np(1p)N(,) nnp(D(p)1 nE(n)p npnp(1p) 例例2 一船舶在某海区航行，已知每遭受一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于一次波浪

13、的冲击，纵摇角大于3的概率的概率p1/3，若船舶遭受了，若船舶遭受了90 000次波浪冲次波浪冲击，问其中有击，问其中有29 50030 500次次 纵摇角大于纵摇角大于3的概率是多少？的概率是多少？解：解： 在在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于次波浪冲击中纵摇角度大于3的次数记为的次数记为X， 且有且有 Xb (90000，1/3)。所求概率为：。所求概率为： k90 000 k30 50029 500P 29 500X30 500 90 00012k33 利用中心极限定理来求它的利用中心极限定理来求它的近似值：近似值：XN(,) EXnp190000330000np(pDX1) 129000030032003000020000P 29 500X30 500 29 500npXnp30 500npPnp(1p)np(1p)np(1p) 29 50030000X3000030 50030000P200002000020000 30000300002000