外接球与内切球解题方法

1、空间几何体的外接球与内切球一.有关定义L球的定义】空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹，叫球面，简称球.2,外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多 面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3内切球的定义;若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面 体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。二、外接球的有关知识与方法L性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质j经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面鼓球所得圆是大圆；性质黯过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理I

2、;性质4:球心在大国面和小圆面上的射影是相应圆的圆心：性质5在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是 球心（类比；在同圆中.两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图】初图上结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中 点是球心；结论2;若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体 与原长方体的外接球相同；结论3,长方体的外接球亘径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形 的外接圆圆心，换言之，就是:底面的一条对角线与一条高棱）构成的直角三角 形的外接圆是大圆;结论4：图柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处i结论5:圆柱

3、体轴截面矩形的外接圆是大圆.该矩形的对角线I外接圆直径）是球 的直径；结论3直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7；圆锥体的外接球球心在圆错的高所在的直线上；结论8:圆键体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球 的直径；结论9 ：测棱相等的棱推的外接球与该棱推外接圆椎有相同的外接球一3.线极利器；勾股定理*正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三.内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直八与直线切圆的结论有一致性） Z内切球球心到多面体各面的距离均相等.外接球球心到多面体各顶点的距离均 相等。类比；与多边形的内切图|3正多面体的

4、内切球和外接球的球心重合.4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.构造三角形利用相似比和勾股定理；(2)怵积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法工四、八大模型类型一，墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)ffl-l图I围2用I15方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2幻,即2贝二求出火例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的裹面积是tC )A. 16汗B. 20万C.MtD.32jt解：/二 cr 分= 16, a-2, 4/ =tj2+ A2 4 + 4 + 16 = 24, S = 24 ,选 C;：若三棱锥的三个

5、侧面两两垂百，日恻楼长均为45.则苴外接球的表面积是在正三棱错5胃朋.中，时、N分别是桂*'、HV解：4*=3 + 3 + 3 = 9, X = 4花R* ="）花；'-/比,外接球的表面积是.361的中点“且4W1MN,若AN梭&1 = 24则正三棱锥解;引理：正三棱维的对棱互相垂直，证明如下:如期明“引理)图(3 )-1,取的中点连接川也。交于打，连接俯，则3是底面正三角形才放的中心, 二5月工平面月H，v AC = BC, /Q = Z?。，d/?,二 4/?1 平面 4cP,a AJiLSC,同理：HC1SA, ACVSH,即正三棱链的对棱互垂直,本题

6、图如图(3 卜2, v AM _L MV , S1L7 MV ,AM LSU，丁 AC 工 SH 一J_ 平面 SAC,SB ISA, SB 1 SC, v SB ISA, BC 1 SA ,，必 _1_平面、*，/. SA 1 SC T故三棱锥、-AH(的三棱条恻棱两两互相垂直,A (2Jf)1=(273)- + (273)s + (2、36 ,即 4r = 36,M)& 2 (MHD，正三棱椎3 -4双 外接球的表面积是如广(4)在四面体S-川"中，NX L 平面RHN* ZBAC = 120SA= AC2,AB = 1.!1|®四面体的外接球的表面积为(D)/

7、汽3外 接 球 直 径 为 2rHC V7 2V7sin ABAC 解：在A/IHC中，fiC1 = AC2 + Afi1 -2Afi fiC cQS2 = 7 . RC = 6、A/IH的. QR)'(2疗+ ”=+ 4二竺40落(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4.3,那么它的外接球的表面积是 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为n也门口.瓦则ab = 12be £ , ，£fbc - 24 ,=3 , b = 4 , c = 2, t =尊友 + b? + = 29 ,uc = 6S = 4部- -2t笈，6已知某几何体的三视

8、图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：= £/ + A2 + r2 = 3 , R =.类型二，对梭相等模型（扑形为长方体）题设：三棱锥4即四面体中，已知三组对棱分别相等.求外接球半径抒一（刀,= AC=HI来源：简单高中生“D jiandanlOOcn)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步:设出长方体的长宽高分别为白也c. AD = HC = x.Afi = CD = yt 4=加）=二，列方程名目,u? +b7 = jc1L J t n.21 l 2- + V17 + 二”,IT +c =y =>

9、(2RY -a- +6- +c =222 tc +a =z图，|第三步根据墙角模型补充；图2-1中，匕香g*二1+尸十三,+ .求出112BV 8丸思考：如何求桂长为“的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2")如下图所示三棱锥月-8口，其中/£ =。= 5"匚=切，=6"心=日。=7.则该三棱锥外接球的表面积为.解；对棱相等，补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为口也c,2(cr + +) = 25 + 36 + 49 = 110,/+ + / = 55, 4* =55, ,¥ = 55常ulteFf(2)在三棱镀片ACD 中，AB = C

10、D = 2t AD = BC = 3 t AC HD = 4,则三棱铤A力"外接球的表面积为解；如图工1,设补形为长方体，三个长度为三对面的对龟线长.设长宽高分别 为凡瓦c,则/+力=9.b-4,c:+a- =16:.2(£/-+/>z+c?) = 9 + 441629(3)正四面体的各条棱长都为,5,则该正面体外接球的体积为解,正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，代子（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是科）题（4）思解捽图解:如解答图将正四面体放入正方体中，截面为VYR,面积是J2

11、.类型三.汉堡模型（直棱柱的外接球,圆柱的外接球）题设士如图3-1,图4-2,图"*直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心0的位置，0是A彷的外心，则(7Q_L平面1*；第二步；算出小圆日的半径4。二八0a =；/4二;力(M4 =4也是圆柱的高打 第三步：勾股定理：OA2 (A2 +Op内二(+。出"审 ,解出1(例况1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2,底面周长为九则这个球的体积 8为解：设正六边形边长为明正六横柱的高为力，底面外接圆的半径为一则

12、口=二 2正六棱柱的底面积为$ = 6.及.)/=*咳, y =加Nig' :4工04288842=I' +(V3)1 =4也可* =(争、(/"R=l,球的体枳为噎表；直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若AH-AC = AAx - 2tZBAC = 120° ,则此球的表面积等于2石解：BC - 2-Jj , 2r = = 4 t r = 2 , J? = J5 , S - 20 ;sin 120(3)已知"工出所在的平面与矩形月加。所在的平 面互相垂直 1 /A= 3, AD - 2,ZAEB - 60 ,则多面体E-ABCD的外接球的表面积 为

13、.16不解：折诲型，法一：A塌斤的外接圆半径为久; 0 （） =1 t k = Vf+3=2 ； 法二,。四斗3建E泻=4 法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，喀一 换一种方式.通过算圆柱的轴截面的时角线长来求球的直径：(2/?)2 = (2V3): + 21 = l6( 5衣=16产；伊）在直三棱柱月以:48£中，,则直三棱柱力火，-片尚（；的外接球的表面积为160我3解：法：M 2 = 16 + 36 2+ 4 - 6 = 28 T Hi * = 24 ¥ , 2r = m,r = -J-,2V3 V3 v31602即=>+( 法二：

14、求圆柱的轴截面的对角线长得球立径，此略类型四、切底模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一正弦定理求大圆直径是通法L如图dl,平面平面且为小圆的直径）,且产的射影是,欣的外心o三楂馋 -.4取,的三条侧棱相等。三棱P-ABC的底面在圆锥的底上，顶点尸点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步:确定球心。的位置,取的外心q,则RQQ三点共线：第二步：先算出小圆。的半径月科-人再算出棱雄的高，a =似也是圆镇的高）;第三步:勾股定理:二af+ahn胆解出心事实上，山f（的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出院Z如图4-2,平面严内（"1平面用"，且/X _LH（即月。为小圆的直径

15、），且M±AC,则利用勾股定理求三棱链的外接球半径：（2R产=PJ2+（2r）5 0 2R十（24；*=/ +fgQ/二J产十（）0；3如图右3,平面1X_L平面月次,且力E_L* （即HC为小圆的直径）OC2 =Ol-（）l（）i。炉=/十。4户 o AC = 2yjRl-0,（4题设：如图44,平面月（平面/?（',且工E _1_6（即”为小圆的直径）第一步:易知理心。必是4上4（的外心，即A/X的外接圆是大圆，先求出小圆的直径/Cr；来源；简单高中生QDjiandanlOOcn）第二步：在A/XC中,可根据正弦定理， =-=二 =2七 求出乩 Sin A sin J?

16、sin （例4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱链的高为I,底面边长为入3,则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，2/f = 7 f S = 4或之二 49若1仁）正四桂错N加*了）的底面边长和各侧校长都为各顶点都在同一球面上,则此球体积为解；方法一:找球心的位置，易知二I ,力-1人故球心在正方形的中心HI#4j?r处，八1, r=y方法二:大图是轴微面所的外接圆，即大圈是4M的外接圆，此处特殊， 的斜边是球半径 2K = 2, A = ,尸=.(3)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为I的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则

17、该正三棱锥的体积是()A.些B至C.2D走43412解；高力R 1,底面外接圆的半径为次lt直径为2犬2,设底面边长为明 则工及=，_ = 2,s = a2=-t三棱锥的体积Sin 6044工 I框为产二L销二上； 34(4)在三棱锥尸-中，乩4 =尸# =以'=JJ,侧棱凡4与底面川义所成的角为60 ,则谟三棱维外接球的体积为()我4后"R -C4;rD 33解：选D,由线面角的知识,得皿8的顶点4从在以-卓为半径的圆上,在圆锥中求解,无二1：已知三棱键的所有顶点都在球。的求面上,是边长为I的正三角形,V为球门的直径，且W2,则此棱锥的体积为()A3B.正C.巨 D立663

18、2研 U 曰r 7瓦？2611 V3 276 41解；0(). R r =J|一() = t h * Fui = -Sh ',="1 、,33 寸3 3436类型五.垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1题设：如图5,，功上平面"，求外接球半径.解题步理;第一步士将乂打画在小匮!面上，/为小圆直径的一个端点，作小圆的直径月门，连接以八 则”)必过球心"；第二十二化为A/fNr的外心,所以门平面才以二 算出小圆q的半径0Q二F(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理.得一二工二一J二2), sm A sin B sm (00 - PA 1 2第三步：利用勾股定理

19、求三桂锥的外接球半径：= /7, +(")，<=> 2/?=(”了 ；解= o R = 4+ 00：.2题设：如图5-1至5-8这七个图形”的射影是MBC的外心。三棱锥P -4友的三条侧棱相等0三棱锥的底面在圆锥的底上.顶点广点也是圆惟的顶点一解题步骤:第一步士确定球心。的位置，取中水的外心a，则p。,a三点共线；第二步：先算出小圆a的半径“a二，再算出棱锥的高网）、=似也是圆锥的高）;第三步:勾股定理上 d =*二-勒±+/.解出用方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA.

20、3aB, InC,产IX以上都不对解：选C,法一；（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上.法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形/皿耳的外接网是大IS,于是2K = - = 3,下略； sm 60<3类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图619第一步：先画出如图6所示的图形，将八以。画在小圆上,找出和&©掰) 的外心修和吃;第二步；过见和/分别作平面月CJ和平面4WJ的垂线，两垂线的交点即为球 心O,连接OZOC;第三步；解“圮乜，算出小 在由中，勾股定理:OH; + <

21、77; - ()' 注：易知r汇/四点共面且四点共圆,证略例6(1)三棱推P-?。中，平面尸/_!_平面尸和均为边长为2的正三角形，则三棱年产-/月外接球的半径为.242解：如图，22尸广亚防=用，4=百,法二；»口二七0明+AH=,R' = AO2 AH' rO.H-犬二半(2)在直角梯形/取力中.ABf/CD, = W t Z(' = 45 ABADt沿对角线用"斤成四面体W-成刀，使平面才丹0平面取若四面体4-刖力的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 4ff解：如图，易知球心在占广的中点处.二二(3)在四面体、-4枚中，AB = S

22、C = 429二面角$-40-N的余弦值为-、则四面体,S -ABC的外接球表面积为 61解：如图,法，一：cos Z5aB = cos(Z(X)/J_,十9=sin ZOO.fk =, cos ZOO.Oj =,1231 23()( =cosZUV<5 - 4成'-6萩;法二：延长3a到。使。q二日反二，由余弦定理得'火=即6.3。= 0,大圆(4)在边长为2行的菱形中，/方“)二60' 沿对角线即*折成二面角A- HD-C为120的四面体AH(1),则此四面体的外接球表面积为解:如图，取A。的中点工九 刀打。和的外接圆半径为斤二口 = 2,14RD和M洲。的外

23、心（九。到弦加）的距离（弦心距）为二4二I ,法一；四边电OO,M0,的外接圆直径0A， 2 , R - 41 , 5 - 2M ;法二：。产后，R = /h法三：作出（7?1）的外接圆直径（无，则= f'A = 4 , Mk,AE = 47 t AC二加、sin ZAEC =啤 2V7（5）在四棱推AfZ）中，/加M = 120 , Z/J/X =I50 , AD=HD-l, GO =行,二面角力 小）（.的平面角的大小为120 ,则此四面体的外接球的体积为解，如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心.M»U =西诩时宵HM”遣W*KMAH iji , r2 =

24、2 ,弦 |小距（7;M = a/JHC = %' 13 ,二 J】3 ,弦，t/距 f）、V = 25,二。=后,0M = 2行, sinl20h法一七 ?. R- = 0D- - 11 + OM- =29,汽二回，噎二法二：OOi=OXf2-O.r=25 t 1个=CD；+ 00； =29 , R=四, _ 116729,7日二 ；类型七、两直角三角形拼接在一起斜边相同.也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锋）模型题设：如图7,乙4/W-/次7J=90 ,求三棱锥P-$8（巧卜接球半径（分析:取公共的斜边的中点。，连接则Q.4 = O9=。0，= 加入为三棱锥 尸-加，外接球球心，然后

25、在。尸中求出半径），当看作矩形沿对京线折起所得 三校锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值一 例7。）在近形9中，AB = 4t 8c = 3,沿.4（,将矩形月取。折成一个直二面角则四面体用TC。的外接球的体积为（12氏空尸9C.巴6解：（1）2& = 4C = 5, R = -,=+献=。工: 选C 233860在矩形用以刀中，.4月二，ZJC = 3t沿加将矩形必折叠，连接“，所得三棱推A-执力的外接球的表面积为解：川）的中点是球心”二二布 #=4派上二1M类型八.集体的内切球问题1题设:如图X",三棱锥产-加*上正三棱椎，求其内切球的半径.第一步:先

26、现出内切球的截面图，£以分别是两个三角形的外心;第二步;求疗,PO = PH-r,产D是恻面A4E一的高;3第三步:由A/P上相似于建立等式：DHZ题设：如图"2,四棱惟尸-HX是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，RO三点共线;第二步：求"/ = 欣 PO = PH-r,是侧面AT（。的 2高;第三步:由相似于建立等式：H卜 尸F解出3题设工三棱锥尸秋是任意三棱推,，求其的内切球半运方法，等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步=先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为，建立等式：修皿也. + 口

27、 Sw -、*咏q （S&皿+1出+ §/+ 5.）广 b-FuJuJuJb-FAr第三步：解出产 ",工，M + % 3 + %户"+ %户M例S （1）楼长为仃的正四面体的内切球表面积是解工设正四面体内切球的半径为将正四面体放入棱长为；的正方体中（即扑形为正方体），如图.则f/ _lr _ 。加一3%才伴一3运_丽，又*,7工.,内切球的表面积为小4=更（注:还有别的方法，此瑜6正四棱锥（。的底面边长为2,侧棱长为？，则其内切球的半径为解：如图，正四棱锥N力的高力士",正四棱惟万/投。的体积为S-.4BLD = 丁三棱锥产-4次,中，底面是边长为2的正三角形，产月,底面用坎二PA = 2 ,则该三棱错的