离散件9-图的道路与连通ppt课件

1、第二节第二节 图的道路与连通图的道路与连通一、无向图的道路一、无向图的道路1。定义：图。定义：图G中由结点和边交替构成的序列中由结点和边交替构成的序列p=v0e1v1e2v2.ekvk 称为由称为由v0到到vk的一的一条道路，其中每条条道路，其中每条ei和和vi-1及及vi关联。关联。 v0称为道路称为道路 p的起点，的起点，vk称为道路称为道路 p的终点。的终点。p中的边数中的边数k称为道路的长度。称为道路的长度。 只由一个结点构成的道路称为零道路。只由一个结点构成的道路称为零道路。例：下图中例：下图中 p1=v1e1v1e2v2e2v1e5v4e8v3e6v2 p2=v1e2v2e6v3e

2、8v4e5v1e4v3e9v5 p3=v1e5v4e8v3e6v2 （简记为：（简记为：p3=v1v4v3v2） p4=v6 都是道路。都是道路。v1v2v3v4v6v5e9e10e12e8e7e2e4e5e6e3e1e112。道路的分类：。道路的分类： 迹：任何满足道路定义的道路迹：任何满足道路定义的道路 。 简单道路：边不重复出现的道路。简单道路：边不重复出现的道路。 基本道路：结点不重复出现的道路。基本道路：结点不重复出现的道路。例：上图中，例：上图中，p1是迹，是迹，p2是简单道路，是简单道路， p3是基本道路，是基本道路，p4是零道路。是零道路。3。回路：起点和终点相同的道路。回路：

3、起点和终点相同的道路。边不重复出现的回路称为简单回路。边不重复出现的回路称为简单回路。结点不重复出现的回路称为圈。结点不重复出现的回路称为圈。例：下图中，例：下图中，c1是一般回路，是一般回路，c2是简单是简单回路，回路，c3是圈。是圈。例：下图中例：下图中 c1=v1e1v1e2v2e7v4e8v3e4v1e3v2e2v1 c2=v1e1v1e2v2e3v1e5v4e8v3e4v1 c3=v1e5v4e10v6e12v5e9v3e4v1 （c3可简记为：可简记为：c3=v1v4v6v5v3v1都是回都是回路。路。 c1是一般回路，是一般回路，c2是简单回路，是简单回路，c3是圈。是圈。v1v

4、2v3v4v6v5e9e10e12e8e7e2e4e5e6e3e1e114。定理：设。定理：设G是是n阶图，如果存在从结点阶图，如果存在从结点u到到 v的道路，则必存在长度不超过的道路，则必存在长度不超过n-1的道路。的道路。 证明要点：如果结点证明要点：如果结点u到到v的道路的道路 p的长度的长度 超过超过n-1，那么，那么 p中至少有中至少有n+1个结点，因此个结点，因此 道路中至少有一个结点出现两次，如道路中至少有一个结点出现两次，如 viei .v1 ，则去掉，则去掉ei.vi后仍是结点后仍是结点u到到v的的 道路，但是道路长度至少短道路，但是道路长度至少短1。重复这一。重复这一 过程

5、，即得所需结论。过程，即得所需结论。二、无向图的连通问题二、无向图的连通问题1。定义。定义: 如果存在从结点如果存在从结点u到结点到结点v的道路，的道路，则称则称u到到v是连通的。是连通的。结点集结点集V上的上的“连通关系具有性质：自反、连通关系具有性质：自反、对称、传送。对称、传送。2。如果图。如果图G中任何两个结点都是连通的，则中任何两个结点都是连通的，则称称G是连通图。是连通图。3。图。图G中的极大连通子图称为图中的极大连通子图称为图G的支，的支， 图图G的支数记为的支数记为 (G)。 图图G连通当且仅当连通当且仅当 (G)=1。 例：下图中例：下图中 (G)=3。v1v6v4v7v5v

6、2v3v84。连通图。连通图G=(V, E)的点割集定义：设的点割集定义：设S V，假设，假设 (G-S) 1，则称，则称S是是G的一个点割集。的一个点割集。 S是是G的一个点割集，而的一个点割集，而S的任何真子集都不是点割集时，的任何真子集都不是点割集时，称称S是是G的一个基本点割集。的一个基本点割集。如如 S1=v2，v5， S2=v2，v6, S3=v2，v7， S4=v3，v5, S5=v4 由单个结点如由单个结点如u构成的点割集简称为割点。构成的点割集简称为割点。v1v6v4v7v5v2v3定理定理 结点结点u是图是图G的割点当且仅当存在两结点的割点当且仅当存在两结点v和和w，使，使

7、v到到w的任何道路都经过的任何道路都经过u。证明要点：证明要点： “”, 当当u是割点时，则是割点时，则G u至少至少有有2支，从这支，从这2支中各选一个结点即可。支中各选一个结点即可。 “ ”,反之，假设反之，假设 v到到 w的任何道路都经过的任何道路都经过 u，则去掉则去掉 u后后 ，v和和 w各在各在 G u的的 1支中，即支中，即u是割点。是割点。5。连通图。连通图G=(V, E)的边割集定义：设的边割集定义：设F E，假设，假设 (G - F) 1，则称，则称F是是G的一个边割集。的一个边割集。 F是是G的一个边割集，而的一个边割集，而F的任何真子集都不是边割集时，的任何真子集都不是

8、边割集时，称称 F是是G的一个基本边割集。的一个基本边割集。如如F1=v2v3，v3v7，F2=v2v3，v5v7, F3=v1v4，F4=v2v4，v2v6，v5v6, F5=v4v6，v2v6，v2v5，v3v7 由单条边如由单条边如uv构成的边割集简称为割边。构成的边割集简称为割边。v1v6v4v5v2v3v7定理定理 边边e是图是图G的割边当且仅当的割边当且仅当 e 不在不在G的任何回的任何回路上。路上。 证明要点：证明要点： “”: 当当e是割边时，则是割边时，则G e有有2支，支，因而因而e 不在不在G的任何回路上。的任何回路上。“ ”: 反之，假设反之，假设 e不在任何回路上，则

9、去掉不在任何回路上，则去掉 e 后，后，e 关联的两个结点各在关联的两个结点各在 G e的的 1支中，即支中，即 e 是割是割边。边。 6. 图的连通度图的连通度(限无环图限无环图G)(1)点连通度点连通度: 记为记为(G), 定义为定义为最小基本点割集基数最小基本点割集基数,当当G Kn(G) n 1,当当G Kn例如下图中例如下图中, (G) 2v1v6v4v5v2v3v7v8(2)边连通度边连通度: 记为记为(G), 定义为定义为最小基本边割集基数最小基本边割集基数,当当G K1 (G) 0,当当G K1例如下图中例如下图中, (G) 2, (G) 2v1v6v4v5v2v3v7v8练习

10、练习: 求下列图的求下列图的(G), (G) , 和和(G)=2(G)=2 =2(G)=2(G)=2 =2(G)=2(G)=3 =4(3)连通度定理连通度定理: (G) (G) 证明要点证明要点: 首先首先, 每个结点关联的边构成一个边割集每个结点关联的边构成一个边割集, 于是于是(G) . 下面证明下面证明(G) (G) ：首先注意对每个基本边割集首先注意对每个基本边割集F， (G-F)=2；其次设其次设F含含(G)条边，条边，G-F的的2支为支为G1和和G2，若若G不是二部图，则去掉这支中与不是二部图，则去掉这支中与F关联的全关联的全部结点即可；若部结点即可；若G是二部图，则交替删去这是二

11、部图，则交替删去这2支中与支中与F关联的结点即可。关联的结点即可。四、有向图的道路四、有向图的道路 1。定义：如果图。定义：如果图G中由结点和边交替构成的序列中由结点和边交替构成的序列 p=v0e1v1e2v2.ekvk , 满足其中每条满足其中每条 ei 是是 vi-1的出边的出边和和 vi 的入边，则称的入边，则称 p为由为由 v0到到 vk 的一条有向道路。的一条有向道路。在下图中，一些有向道路在下图中，一些有向道路 p1=v1v4v2v1v3v5v4 p2=v3v2v1v3v5v4v2 p3=v5v4v2v1v3v1v2v3v4v52。有向道路的分类：。有向道路的分类： 有向迹：任何满

12、足定义的有向道路有向迹：任何满足定义的有向道路 。 有向简单道路：边不重复的有向道路。有向简单道路：边不重复的有向道路。 有向基本道路：结点不重复的有向道路。有向基本道路：结点不重复的有向道路。3。有向回路：起点和终点相同的有向道路。有向回路：起点和终点相同的有向道路。 边不重复的有向回路称为有向简单回路。边不重复的有向回路称为有向简单回路。 结点不重复的有向回路称为有向圈，结点不重复的有向回路称为有向圈，在下图中，一些有向回路在下图中，一些有向回路 p1=v1v4v2v1v3v5v4v2v1 p2=v3v2v1v3v5v4v3 p3=v5v4v2v1v3v5v1v2v3v4v5五、有向图的连

13、通问题五、有向图的连通问题 1。如果存在从结点。如果存在从结点u到结点到结点v的有向道路，则称的有向道路，则称u可达可达v。 结点集结点集V上的上的“可达关系具有性质：自反、传送。可达关系具有性质：自反、传送。定理：如果在定理：如果在n阶有向图中结点阶有向图中结点u可达可达v，则必存在从结点，则必存在从结点u到到结点结点v的长度不超过的长度不超过n-1的有向道路。的有向道路。 2。有向图。有向图G的连通有如下三个层次：的连通有如下三个层次： 强连通图：任何一对不同结点都相互可达。强连通图：任何一对不同结点都相互可达。单向连通图：任何一对不同结点间，至少从一个结点可单向连通图：任何一对不同结点间

14、，至少从一个结点可达另一个结点。达另一个结点。弱连通图：不看边的方向时是连通的。弱连通图：不看边的方向时是连通的。 abcd单向连通单向连通弱连通弱连通abcdabcd强连通强连通3。强连通的性质。强连通的性质死锁问题的强连通背景死锁问题的强连通背景定理定理: 有向图有向图G是强连通图当且仅当存在一条包含所有结是强连通图当且仅当存在一条包含所有结点的有向回路。点的有向回路。证明要点：当证明要点：当G强连通时强连通时, 据定义可依次构造道路据定义可依次构造道路 v1v2 v3 vn v1, 反过来是明显的反过来是明显的.定义：有向图定义：有向图G的极大强连通子图称为强分图。的极大强连通子图称为强

15、分图。例：下面有个强分图例：下面有个强分图: G(v2 , v3 , v4), G(v5 , v6 ) G(v1)v1v2v5v3v4v6定理：每个结点都只位于一个强分图中。定理：每个结点都只位于一个强分图中。证明要点：强连通是结点集合上的一个等价关系，证明要点：强连通是结点集合上的一个等价关系，由每个等价类诱导的子图是一个强分图由每个等价类诱导的子图是一个强分图 作业：作业：习题习题9。2 1、2、5 (吴子华吴子华)or习题十习题十 15、16、19 (冯伟森冯伟森)附加题附加题1：证明：证明 1的图必含回路，反之成立吗？的图必含回路，反之成立吗？附加题附加题2：证明连通图的：证明连通图的

16、1 度结点不是割点。度结点不是割点。第三节第三节 图的矩阵表示图的矩阵表示一、邻接矩阵一、邻接矩阵 1。设。设G=(V, E)是有向简单图是有向简单图, 其中其中 V= v1, v2, ., vn, 定义矩阵定义矩阵A=(ai j) nn如下如下: 1 假设假设 (vi, vj) E ai j= 0 假设假设 (vi, vj) E 称称A为为G的邻接矩阵的邻接矩阵. 下面有向图对应的邻接矩阵是下面有向图对应的邻接矩阵是 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 1 1 0 v2 1 0 1 1 0 A =v3 0 0 0 0 1 v4 0 0 1 0 0 v5 0 0 0 1 0 v1v2v

17、5v3v4 2。邻接矩阵的性质：。邻接矩阵的性质： 邻接矩阵等价地描述了有向图的信息。邻接矩阵等价地描述了有向图的信息。矩阵行和等于结点出度，列和等于入度。矩阵行和等于结点出度，列和等于入度。 设设A2= (a(2)i j)，那么，那么 a(2)i j = 1 k n (ai kakj) a(2)i j 0当且仅当至少存在当且仅当至少存在ai k =1且且 akj=1，也就是存在从也就是存在从vi到到vj的长度为的长度为2的有向道路。的有向道路。因此因此 a(2)i j 的值表达了从的值表达了从vi到到vj的长度为的长度为2的有向道路数目。的有向道路数目。例如，对于前面的邻结矩阵例如，对于前面

18、的邻结矩阵 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 1 0 1 v2 0 0 2 1 1 A2=v3 0 0 0 1 0 v4 0 0 0 0 1 v5 0 0 1 0 0 从中可以看出，存在一条从从中可以看出，存在一条从v1到到v3的长度为的长度为2的道路，的道路，2条从条从v2到到v3的长度为的长度为2的道路，的道路，1条从条从v4到到v5的长度为的长度为2的道路，的道路，不存在从不存在从v5到到v2的长度为的长度为2的道路等等。的道路等等。v1v2v5v3v4 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 0 1 1 v2 0 0 1 1 2 A3=v3 0 0 1 0 0 v4 0

19、0 0 1 0 v5 0 0 0 0 1 v1v2v5v3v4 类似地，可以构造类似地，可以构造 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 A4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 可对照图找出长度为可对照图找出长度为4的有向道路的有向道路. 设设Am= (a(m)i j)， 那么那么a(m)i j 的值表达了从的值表达了从vi 到到vj长长度为度为m的有向道路数目。的有向道路数目。 a(m)i i 的值表达了通过的值表达了通过vi的的长度为长度为m的有向回路数目。的有向回路数目。 3。可达矩阵。可达矩阵 设设G=(V, E)是有向简单图是有向简单图, 其中其中 V=

20、 v1, v2, ., vn, 定义矩阵定义矩阵P=(pi j) n n如下如下: 1 vi非平凡可达非平凡可达 vj pi j= 0 其它其它 称称P为为G的可达矩阵的可达矩阵. 可达矩阵可达矩阵P可通过邻结矩阵可通过邻结矩阵A求得，求得，方法之一是计算矩阵和：方法之一是计算矩阵和： B= A + A2 +. + An-1 然后，令然后，令pi j=1当且仅当当且仅当bi j 0。 例如，由前面的例子可得例如，由前面的例子可得 B= A + A2 + A3 + A4 0 0 3 3 2 1 0 5 5 4 = 0 0 1 1 2 0 0 2 1 1 0 0 1 2 1 其中每个非其中每个非0

21、的的bi j表达了表达了vi到到vj 的长度不超过的长度不超过4的道路数目，的道路数目，假设假设 bi j =0，表明不存在从，表明不存在从vi到到vj 的非平凡道路。的非平凡道路。 v1v2v5v3v4由矩阵由矩阵B直接可导出下面的可达矩阵：直接可导出下面的可达矩阵： 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 P= 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 可达矩阵也可以利用可达矩阵也可以利用Warshall算法求得。算法求得。v1v2v5v3v44。由可达矩阵构造图的强分图。由可达矩阵构造图的强分图 令令Q = P PT = (qi j) n n ，其中，其中 1 i =

22、j qi j= pi j pji i j 那么，在矩阵那么，在矩阵Q中第中第k行中元素行中元素1对应列对应列的结点，构成图的一个强分图。的结点，构成图的一个强分图。例：根据前面例子得到的可达矩阵，可得例：根据前面例子得到的可达矩阵，可得 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 P PT = 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 从第从第1行知道，行知道，v1单独在一个强分