两个向量的数量积

1、W= |F| |s| cos sFabOAB.)1800(.,:00的夹角与叫做向量则作和已知两个非零向量定义baAOBbOBaOAba.,180. 20反向与时当ba.,0. 10同向与时当ba.,90. 30baba记作互相垂直与时当平面两个向量的夹角的定义与数量积平面两个向量的夹角的定义与数量积abOAB.),(cos|,:babababa记作内积的数量积与叫做量数它们的夹角为和已知两个非零向量定义cos|baba从定义看，两个向量的数量积是一个从定义看，两个向量的数量积是一个数不是向量数不是向量空间两个向量的夹角的定义空间两个向量的夹角的定义, ,.,0,.,.a bOOAa OBbA

2、OBabbbba 已知两个非零向量在空间任取一点作则叫做向量 与 的夹角,记作 aa且 ab,.2babb 若 a则称 与 互相垂直 并记作a,|.OAaaa 设则有向线段OA的长度叫做向量的长度或模 记作空间两个向量的数量积的定义空间两个向量的数量积的定义,| |cos,| |cos,.a baba baba baba b 已已知知两两个个向向量量. . 则则叫叫做做向向量量与与 的的数数量量积积 记记作作a b 类比平面向量，你能说出的几何意义吗？aOAbBCcos.a baabab 数量积等于 的长度与在 的方向上的投影的乘积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向两个向量的数量积是

3、数量，而不是向量量. .零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。1.|cos.a eaa e 空间两个向量的数量积的性质空间两个向量的数量积的性质; 0. 2baba23.|.aa a aaaaaa|2或空间向量数量积满足的运算律空间向量数量积满足的运算律.)(3();()()(2(;)1 (cbcacbabababaabba请问：三个向量的数量积满足结合律吗？请问：三个向量的数量积满足结合律吗？成立吗？,)()(cbacba二、二、 课堂练习课堂练习._,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222q

4、pqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：,1;(2);(3);(4).ABCDAC BDaE F GAB AD DCAB ACAD DBGF ACGE GF 【例1】如图，已知空间四边形的每条边及的长都等于 ，点分别是的中点，求：（）AGFEDCB36)51()3,10,102baba且（，已知例求向量 与 的夹角的余弦值ablmnlB解解:g在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n不不, ,l m n g 平行平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯

5、一实数 ,使使 ( , )x ymg nl.gxmyn .l gxl myl n 0,0.l ml m 0,.l glg 即,lgll 即 垂直于平面 内任一直线.例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,直线直线 与与 的交点为的交点为B,且且 m, n.求证求证: llll.4,ABAD 例8.已知平行六面体ABCD-A BCD中003,5,90 ,60 ,AABADBAADAA AC求的长.ADCBDCBA解解:,ACABADAA 22|()ACABADAA 22 2|2()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352(0 107.5)

6、85.例例4 已知已知:空间四边形空间四边形OABC中中,OABC,OBAC. 求证求证:OCAB. OACB证明证明:由已知由已知,得得,.OABC OBAC 0,0.OA BCOB AC ()0,OA OCOB ()0,OB OCOA .OB OCOB OA ,OA OCOA OB 0,OA OCOB OC ()0,OAOB OC 即0,BA OC 思想方法思想方法:证明数量积为零证明数量积为零.OCBC 0|)1 (|22bbaa32 解：解：练习练习:| 3 2,| 4,.abmab nab 已知0,135 ,.a bmn若求 的值0,mnm n 由() ()0.abab练习四练习四:

7、2.已知空间四边已知空间四边ABCD的每条边和对角线的长都的每条边和对角线的长都等于等于a ，点，点M、N分别是边分别是边AB、CD的中点，的中点，.,CDMNABMN求证：求证：ABCDMN证明：证明：连接连接AN，)(21ADACBAAB)(21ADABACABBAAB()MN ABMAANAB 11()22ABMAACAD220201(cos60cos60 )0.2aaa.MNAB练习四练习四:2.已知空间四边已知空间四边ABCD的每条边和对角线的长都的每条边和对角线的长都等于等于a ，点，点M、N分别是边分别是边AB、CD的中点，的中点，.,CDMNABMN求证：求证：ABCDMN证明

8、二：证明二： 连接连接AN，1()2AB ACAD ABAB AB()MN ABANAMAB 11 (),22ACADAB AB 练习练习P35:202021(cos60cos60)0.2aaa.MNAB即,MNAB .MNCD同理7.,ABAC例 已知线段在平面 内 线段线段0,30 ,BDABDDDBDABa线段如果,.ACBDbC D求间的距离解解:ADCBDbab.ACACAB由0030,120 .CA BD 由 DBD22|()CDCAABBD 222|222CAABBDCA ABCA BDAB BD 222202cos120 .babb22ba22.CDba?A AB BC CD

9、DDDE E 例、如图所示，已知线段例、如图所示，已知线段ABAB在平面在平面内，线段内，线段ACAC，线段，线段BDABBDAB，线段，线段D DDD 交交 于于DD, , DBDDBD=30=30 . .如果如果ABABa a，ACACBDBDb b，（1 1）求）求C C、D D间的距离间的距离; ; （2 2）求异面直线）求异面直线DC,BDC,BDD所成的角所成的角运用二：求线段长度常把线运用二：求线段长度常把线段表示成向量形式，然后通段表示成向量形式，然后通过向量运算求解过向量运算求解. .运用三：常运用向量数量积的运用三：常运用向量数量积的变形公式求异面直线所成的角变形公式求异面

10、直线所成的角. .2 2、前面我们学过了利用两个向量、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？些类型的问题？ 小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。 （3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的余弦值等等。 1已知线段已知线段AB、BD在平面在平面内，内，BDAB，线段，线段AC ，如果，如果ABa，BDb，ACc，求，求C、D间的距离间的距离.CABDabc ACACBD,ACAB,BDAB.又知AC BD0,AC AB0,BD AB0, 2CDCD

11、CD CAABBDCAABBD 222CAABBD 222abc .222CDabc .练习练习P35.解解:练习练习P353.,:.OABC OBOCAOBAOCOABC已知空间四边形求证ABCO证明证明:()OA BCOA OCOB ,OA OCOA OB | |cos| |cos ,OAOCOAOB |cos (|)0.OAOCOB ,OABC ,BC即OA4如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCD，CD和和DC相相交于点交于点O，连结，连结AO，求证，求证AOCD a,b,c, 设ABADAAabcabca0, 则abc,CD, 用基向量a, b, c表示AO得1AOADDC2

12、 1bac211abc221CDCDCC2 11ac.22 AO CD 11( abc)2211(ac)222211|a |a |044 DBCBCADAo解解:练习练习P363.已知空间四边形已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都的每条边和对角线的长都等于等于a,点点E,F,G分别是分别是AB,AD,DC的中点的中点,求下列向求下列向量的数量积量的数量积.(4),(5),(6)EF BCFG BAGE GF (1),(2),(3),AB ACAD DBGF AC ABCDEGF解解:021(1)| |cos60.2AB ACABACa 021(2)| |cos120.2AD DBADD

13、Ba 021(3)| |cos180.2GF ACGFACa 02211(4)| |cos60|.44EF BCEFBCBCa 021(5)| |cos120.4FG BAFGBAa 000211(3)()2211|cos120| |cos602211| |cos60.44GE GFGCCBBACADC CACBCABACAa 即即AB和和BC的夹角为的夹角为0604已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和和BC的夹角；的夹角；(2)ABACCDBCBADA BCABBB 1 解:A BA AB C2aB CB C cos,B C 又A BA BA B22

14、a cos,B C A B1cos,B C2 A B用异面直线所成的角易解用异面直线所成的角易解4已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和和BC的夹角；的夹角；(2)ABACCDBCBADAADADAB证明:平面A BAB ACAB ADAAAB AB ADAB AAAB AB 000A B AD cos90A B AA cos135A B AB cos45 0ABACA BAC 用三垂线定理易证用三垂线定理易证练习练习P365.利用向量证明三垂线定理。利用向量证明三垂线定理。证明：证明：如图如图,已知已知:OAaaAOPO且为射影,求证：求证：PAa A

15、aPo在直线在直线a上取向量上取向量 ,即要证即要证a0a PA ()0,a PAa POOAa POa OA ,aPA 即aPA. mnBAgcDE,.nlBmnB lm lnl已 知 ： m求 证 ：l证明证明:l在直线 上平面 的异侧,ABAB取点A使在g上取点E,B在 内过 作不与m,n重合的直线g,.Em nC D过 作直线交于A,.AC AD AE AC AD AE连结 可以证明 ACDACD, ACEACE,。EAEA gl是 的垂直平分线,.lgl故 垂直于平面 内的任一直线即返返回回（1）空间两向量）空间两向量 和和 的夹角可记作的夹角可记作:ab,abba 或其取值范围是：,0, a b (2),2a b 如果则称记作记作,ab和 垂直ab.AB 向量的长度称为模|AB （3）向量的模的定义：）向量的模的定义：记作记作1.1.已知线段已知线段 、在平面、在