六年级奥林匹克数学讲义三新定义与新运算二

1、三、新定义与新运算（二）1.规定：ab=（b+a）xb,那么（23）X5=.2.如果ab表示（a2）Mb,例如344=（32）父4=4，那么，当a45=30时,a=.3 .定义运算“”如下：对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为aAb.例如:46=（4,6）+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,18、2=4 .已知a,b是任意有理数，我们规定：a®b=a+b-1,a®b=ab_2,那么4:（6二8）二（3:5）L5. x为正数，<x>表示不超过x的质数的个数，如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么&

2、lt;<19>+<93>+<4>x<1>x<8>>的值是6. 如果aOb表示3a2b,例如4。5=3X4-2X5=2，那么，当xO5比50x大5时,x=.7. 如果14=1234,23=234,72=78,那么45=.8 .我们规定：符号。表示选择两数中较大数的运算，例如：5O3=305=5,符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=345=3.请计算:*17一：0.6J1+0.62502623：-I33237,.C2.251069 .规定一种新运算“"：axb=a乂（a+1）父父（a+b+1）.如果（xX3）派4=

3、421200,那么x=.10 .对于任意有理数x,y,定义一种运算一"，规定：xXy=ax+bycxy,其中的a,b,c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1X2=3,2X3=4,xXm=xm0）,则m的数值是.11 .设a,b为自然数，定义aAb=a2+b2-ab.(1) 计算(43)+(8A5)的值；(2)计算(23)4;(3)计算(2A5)A(3A4).12.设a,b为自然数，定义aXb如下：如果a>b,定义aXb=a-b,如果a<b,则定义aXb=b-a.(1)计算：(3派4)派9;(2)这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成

4、立琏aXb=bXa;(aXb)Xc=aX(bXc).ab13.设a,b是两个非零的数，定义aXb=9+b.ba(1)计算(2派3)派4与2派(3派4).(2) 如果已知a是一个自然数，且aX3=2,试求出a的值.14.定义运算如下：对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a。b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公Z勺数为2,则10014=70-2=68.(1)求12021,5015;(2)说明，如果c整除a和b,则c也整除aOb;如果c整除a和aOb,则c也整除b;(3)已知6Ox=27,<x的值.三、新定义与新运算(二)(答案)第1道题答案：100.因为23=

5、(3+2)X3=15,所以(2X3)X5=15派5=(5+15)X5=100.第2道题答案：8.依题意，得(a2)父5=30，解得a=8.第3道题答案：42.18A12=(18,12)+18,12=6+36=42.第4道题答案：98.原式=4二(68-1)二(35-2)=4:13二13-4"1313-1=4二25=425-2=98第5道题答案:11.共8个.<93>为不超过的质数，共24<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19个，易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<

6、;8+24>=<32>=11.第6道题答案：6.xO5-5Ox=(3x-2X5)-(3X5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.第7道题答案:45678.第8道题答案:1,17因为0.6263。262=,0.625323_533一823333*340.399134=399237cO2.25=106237一O10625所以，原式=8=1.192-+34第9道题答案：2.令xX3=y,贝U丫4=421200,又421200=24父34父52父13=24父25父26父27,所以y=24,即乂3=24.3又24=2父3=2父3M4,故x=2.第10道题答案：4.由题设的

7、等式xXy=ax+by-cxy及xXm=xmt0),得a0bm-c0m=0,所以bm=0,又m0,故b=0.因止匕xy=ax-cxy.,_ga-2c=3由1派2=3,2派3=4，得解得a=5,c=1.2a-6c=4所以xXy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.第11道题答案：(1) 原式=(42+324父3)+(82+52-8x5)=62；(2) 原式=(22+32-2x3)4=7A4=72+427父4=37；(3) 原式=(22+52-2x5)(32+42-3x4)=19A13=192132-1913=283.第12道题答案：(1) 原式=(4-3)派9=19=9-1=8;

8、(2) 因为表示aXb表示较大数与较小数的差，显然aXb=bXa成立，即这个运算满是交换律，但一般来说并不满足结合律5=5-3=2.,例如:(3X4)X9=8,而3X(4X9)=3X(9-4)=3X第13道题答案：23133425(1)按照定义有2X3=*+=13,34=+=3.326431213工2派3)派44=6413241331262525212242512012(2)X(3派4)=2X-=一+卫=一+，=12252252460012a3由已知得a+2=23aaa3这5个可能若a>6,则一>2,从而一+a2与矛盾.因此aw5,对a=1,2,3,4,533a的值，一一代入式中检查知，只有a=3符合要求.第14道题答案：(1) 为求12021,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12。21=84-3=81,同样道理5015=15-5=10.(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数，则c整除a,b的最大公约数，显然c也整除a,b最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除aOb.如果c整除a和a。b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数，再由c整除aOb推知，c整除a,b的最大公约数，而这个最大公约数整除b,所以c整除b.(3) 由于运算没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法