2020届山西省大同市学期高三上学期第一次联合考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届山西省大同市学期高三上学期第一次联合考试数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 A=y |y =ln(x1) , B =x|x2 4 W0,则 A B =()A. x|x_2B. x|1 ：； x ： 2 C. x|1 ： x 2 D. x | -2 x 2【答案】D【解析】化简集合A, B ,再根据交集的概念进行运算可得.【详解】因为函数y =ln(x 1)的值域为R所以a = r,又集合 B =2,2,所以 ACB = B=2,2.故选:D【点睛】本题考查了交集的运算，函数的值域，解一元二次不等式，属于基础题.2.欧拉公式eix =cosx+isinx ( i为虚数单位)是由瑞士

2、著名数学家欧拉发现的，它将 指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=n时，&冗+ 1=0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】 根据定义把e2i写出复数的代数形式，再写出对应点坐标.【详解】由题意e2i =cos2+isin2 ,对应点为(cos2,sin2),在第二象限.故选B.【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义.解题关键是依定义把复数的指数形式化为

3、代数形式.本题考查数学文化，使学生认识到数学美.3.将函数y=sin，2x+三 i的图象向左平移 三个单位长度后，所得图象的一个对称中 ,66心为（）A,二,0B. -,0C,三，0D. -,012432【答案】B【解析】利用函数y=Asin （cox+（f）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称 性，得出结论.【详解】nJi将函数y= sin （2x +）的图象向左平移 石个单位长度后，可得函数y= sinJi Ji（2x十一十一）=cos2x的图象.3 6令 2x=kTt +三，求得 x = -, ke Z.224_TCIE令k=0,可得x =,故所得图象的一个对称中心为（0）,故选：

4、B.【点睛】 本题主要考查函数 y= Asin （cox+（f）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题.4 .如图，在AABC中,T 2rAN = NC3P是BN上一点，若AP=tAB/TC,则实3数t的值为（）B.C.-D.【解析】由题意，可根据向量运算法则得到量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.由题意及图,T T r TT tAP = AB BP = AB mBN = AB m AN - AB = mAN 1 - m AB又，AN=2NC,所以AN=2温，,左/巾对十(1 方7B 355T T 1 一m=一又靠=t AB + AC，所以21，解得3m = 53故选：C.

5、【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关 键，本题属于基础题.25.函数f (x) =6|sinx| -的图象大致为().1x2【答案】A【解析】用偶函数的图象关于 y轴对称排除C,用“冗)6 =6-2 =4由图象知2故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质 ，辨析函数的图像，排除法，属于中档题.26.右f (x )=lnx与g(x )=x +ax两个函数的图象有一条与直线y = x平仃的公共切线，则a =()A. 1B. 2C. 3D. 3 或-1【答案】D【解析】 先根据和曲线f (x) = lnx相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数彳1

6、.【详解】设在函数f (x) = lnx处的切点设为(x,y),根据导数的几何意义得到1 2k =一 =1= x=1,故切点为(1,0),可求出切线万程为 y=x-1,直线和 g(x)=x +ax x也相切,故x2 ax = x 1,22化简彳#到 x +(a1)x+1=0，只需要满足 A=(a1 )4 = 0= a = 1 或3.故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：求曲线在点 P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点 P处的导数，然后利 用点斜式写出切线方程；求曲线过点 P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标， 然后列出切点坐标 的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.3 一

7、7.已知定义域为 R的奇函数f (x)满足f (3 x)+f (x)=0,且当x= ,02时，f (x ) = log2(2x+7),贝U f(2020)=()A. -log 2 5B. 2C. -2D.血5【答案】A【解析】 根据函数f(x)为奇函数以及f (3-x)+f (X)=0，推出函数f(x)为周期为3的周期函数，再根据周期为3,得f (2020)= f(1)，又由奇函数可得f (1) = f (1)，然后代表达式可得.【详解】因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x),所以 f(3-x)=-f(x-3),所以 f(x) =-f(3-x) = f(x-3),所以 f(x+3)=

8、 f(x+33)= f(x)，即 f(x+3)= f(x),所以f(x)的周期为3,所以 f (2020) = f (3m673+1)= f (1) = f(1),一 3 一又 xE(,0)时，f(x)=log2(2x+7),2所以 f (-1) =log2(-2 7) = log 25 ,所以 f (2020) = -log2 5.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期性，属于中档题.8 已知 a = G，b = 5/5, c =币,则A. a b cB. a c bC. b a cD. c b a【答案】A【解析】根据募函数的单调性即可求出.【详解】a = .,2, b = 55,

9、c=7.7,则 a70= 235= ( 25) 7= 327= ( 27) 5= 1285, b70= 514= ( 52) 7= 257c70= 710= ( 72) 5= 495,ac, ab,又 b7= 514= ( 57 ) 2= ( 78 1 25 ) 2c70= 710= ( 75) 2= ( 16807) 2,bc,abc,故选：A.【点睛】 本题考查了不等式的大小比较，掌握嘉函数的单调性是关键，属于基础题149.已知正实数 m,n满足一十=4,则m + n的最小值是（）m n9A. 2B. 4C. 9D.4【答案】D【解析】 由n+n = l （mm）（1+4）,展开后利用基本

10、不等式即可求解. 4m n【详解】14正头数m, m1两足一 , 一 二4, m n1141n4m1l ,9则 n+n= （n+n） （ 一 +） = （5 + + ）之一（5 + 4） = 一,4mn4m n44n 4m 1 4339当且仅当 一=且 一 + =4,即 m= , n =一 时取得最小值 一，故选：D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑.10.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 1,11,从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A.

11、1236【解析】解：满足题意时，取到2红1白或者2白1红，据此可得，记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为:本题选择C选项.p =c； Li1p 3 235122 X11.已知F是双曲线七a2，=1(a 0,b 0)的左焦点, bE是双曲线的右顶点， 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若&ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A- (1,2 ) B(1J2) C . (1,3) D . (1【答案】A【解析】 试题分析：由题中 AABE为等腰三角形，可知只需 NAEF 450即可，也就一 一 一一 b2c O O OAF EF , 即 一a+c ,由 e =

12、-,a +b =c ,转化可得 aae2 e3 0= 1 e2 .故本题答案选A.【考点】双曲线的几何性质与标准方程.12 .已知定义在 R上的可导函数f(x),对于任意实数x者B有f (x)= f(x) 2x成立，且当 x (-00,0时，都有 f (x) 2x +1 成立，若 f(2m) f(m1) + 3m(m + 1),则实数m的取值范围为()1-c、/、1A.-1,B. (1,0)C. (-,1)D , ,3. 3【答案】A【解析】 令g (x) = f (x) - x2 - x,可判断出函数 g (x)为R上偶函数.由f (x) 2x+1成立，可得g (x) =f (x) - 2x

13、- 10,可得函数g (x)的单调性.不等 式 f ( 2倒 f (m 1) +3m (m+1),即 g (2mD g (m 1),因此 g (|2m| ) v g (|m -1|),利用单调性即可得出.【详解】令 g (x) = f (x) x2- x,贝 Ug( - x) - g(x) = f (- x) - x2+x - f (x) +x2+x = 0, g ( - x) = g (x),函数g (x)为R上的偶函数. 当 xC (-8,0时，都有 f (x) 2x+1 成立， g ( x) =f ( x) - 2xTv0,二.函数g (x)在xC (-8, 0上单调递减，在0, +8)

14、上单调递增.f (2倒 f (m 1) +3m (m+1),即 f (2mj) 4m2 2m f (m- 1) ( m 1) 2 ( m- 1),- g (2m g (m- 1),因此 g (|2m| ) g (|m T| ),|2m| |m - 1| ,化为：3m+2m- 1v0,- 1解得-1 m 一 .3故选：A.【点睛】x,利本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查 了推理能力与计算能力，属于难题.解题关键是构造函数g (x) =f (x) - x2用单调性解不等式.二、填空题13.命题 p： 5xo w (0,),x2 x+22故答案为一 x二10

15、，,二,x x 2【点睛】本题考查特称命题，熟记特称与全称命题的否定是关键，是基础题，易错点是改为x w一00,0.14.已知两个单位向量 a,b满足|a+b |=J3|b |,则a,b的夹角为【答案】-3【解析】将已知等式两边平方后，利用向量的夹角公式可解得【详解】因为a, b是单位向量，所以|a|二|b|=i,*讨 L .因为 |a 因 | = *3 | b |,22所以(a b)2 =3|b|2,2 .22所以 a2 b2 2a b =3|b |2,*2 J 1* 4. 2所以 |a|2 |b|2 Zallblcos:a,buBlbl2, 1因为|a|=|b尸1,3 1 11所以 cos

16、 :二 a,b = 一，2 1 12又：二a,b 0,二,所以：二 a,b .3故答案为：- 3【点睛】本题考查了向量的数量积和向量夹角公式，属于基础题.411 215 .设数列4的前n项和Sn = an 父2皿+ , n=1,2,3,| ,则小的通项公333式为an =.【答案】4n - 2na【解析】利用n至2时，an = Sn - Sn变形，然后构造等比数列d +1,可求得.2n【详解】 一一 41 一2 2一当 n =1 时，S1 = a1 一一父2 +,所以 a1=2,333一. 41c 21 2一2当 n 之2时，SnA=-anA-2x2n +2, 3一,4-an-1所以 an =

17、Sn -Sn3 = n 3所以 an =4an 工 2n,所以an =竺上1,2n2n所以去吃券1,所以学.1=2（芫1）,因为 n =2时，a1+1 =2（宗+1），且,+1 =（ +1 = 2=0,所以数列a_+1是首项为2,公比为2的等比数列，2n所以粤_+1 =2M2n：2n所以 an =4n - 2n.故答案为：4n - 2n【点睛】本题考查了利用数列的递推关系式求数列的通项公式，构造法，属于中档题log4x x -3(x 0),3 x0 ,若f (x )的两个零点分别为x1,x2 ,则16 .已知函数 f (x)=flx -4x-1 2【解析】由 10g 4x = -log 1 x

18、4所以令f(x) = 0得:x-3 =l0glx,x 3=-44所以直线y = x 3和曲线y = log - x的交点C横坐标x1,4直线y =x+3和曲线y = I- i y 4xi的交点D横坐标为x2,如图，两曲线关于 y=x对称，直线y = x-3和y = x+3关于y = x对称;所以 CD _L AD,CD _LCB ;所以xi -x2AB=3 。【考点】 函数的零点问题。点睛：本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及知识函数与对数函数的图象与性质,函数零点的概念，两条直线的位置关系等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题 和解答问题的能力，本题的解答中正确作出函数的图象是解答问

19、题的关键。三、解答题17 .在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，2 .cos C B cos C -B =cos A-sinCsin B求A;(2)若a =3,求b +2c的最大值.【答案】(1) A =60 (2) 2后【解析】(1)由cos(C +B)cos(C -B) = cos2 A -sin C sin B = cos2(C + B) -sin C sin B得-cos A 2sin C sin B = -sin C sin B ,从而计算出 A.(2)由正弦定理将b + 2c表示成b +2c =2J3(sin B +2sin C),再化简整理得答案。【详解】 解：(1

20、) cos(C + B)cos( C - B) =cos2 A sin C sin B =cos2(C + B)sin C sin B ,则 cosC +B)cos(C -B) 一cos(C + B) =-sinCsin B,则cos A 2sin C sin B = -sin C sin B ,1 因为 sinCsinB#。，所以 cosA=,2因为0 A 0),点M在直线y = a b3收一 x上，且点M在x轴2 , 3c上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0 ),则点M , c,3c .MFf MF=_2c,_3c?0,_K =92.24二 c =119.221又 a2 4b2a2 =

21、 b2 + 1Ia2 =4解得 2 b2 =32椭圆方程为4(2)由(1)知，Fi(1,0),过点Fi(1,0)的直线与椭圆C交于P,Q两点,1 .则AF2PQ的周长为4a =8 ,又S占2PQ =3 4a才(r为二角形内切圆半径)当AFzPQ的面积最大时，其内切圆面积最大x = ky -1设直线 l 的方程为：x=ky1, P(x1,y ),Q(X2,y2 ),则 x222消去 x得(4+3k )y 6ky9=0,y1y2 二6k3k2 49“LnA SA2PQ =( IF1F2.y 7212 . k2 123k 4S.F2PQ123t 1 t人1令 ft =3t - tf t =3t21f

22、 (t )=3t + ;在121,1)上单调递增,. S,F2PQ3t 1 t即当k=0时，AFzPQ的面积最大值为3,1 一一3结合S2PQ =不4a7=3 ,得r的最大值为一，2 49内切圆面积的最大值为7：.16【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交， 所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.I ，f21 .设函数3 = 4*严十(4-a)x(a七R).(I )讨论f(K：i的单调性；(n)若函数f(艾i存在极值，对于任意的口力，存在正实数殉，使得tf(X尸g尸f(X0) -(K-叼)，试判断X十与以的大小关系并给出证明.4【答案】(I)当a “时

23、，f(x)在十上单调递增.当。0时，取)在电P上单调递增，4在十上单调递减.(n)详见解析【解析】试试题分析】(I)依据题设条件先求导，再分类讨论探求；(n)借助题设条件，运用等价转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：，4(k + l)(ax -4)解(I)AX)的定义域为。+电/: 丁不十4=.-.当叱0时，则f(K)。，所以如K)在I。,口上单调递增.当时，则由寅x) = 0得，工一二，x=-】(舍去).当x 0时，当工G6),44时，f(x)0时，在1与上单调递增，在小十期上单调递减.(II)由(I)知，当a0时，心)存在极值.可4)-= %lnx由勺)- k：)

24、+ (4 - a)(xj = K) = 4(lnxInx?)l-淤(X1 + x2XxX2)十(4 - a)(x)- x2) . f(Xj) - f(x2)4。1叫-11啊)由题设得.又(丁尸方丁 丁凡所以名)也丁.4(111X3 - lux；) $42%，吃)4%-二 包 氏 一二lnt - D号川.设与，则 ,则 寸1.。I）2令或。= lnt-*（tD,则的=城+3。,所以虱。在（1一十W上单调递增，所以K疟U展 I-0 d 3 + 1或。或1）=。，故 .1与 +/J / +勺 J.又因为 x F（）,因此 HMTL-）口，即1TF）风,即工1十工32%.点睛：本题以含参数A的函数解析

25、式为背景， 精心设置了两道综合运用导数知识的问题。在求解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将问题进行等价化归与转PF Xj + X2化为计算n*/T（k）的值的符号与单调性问题。然后再运用换元法构造函数鼠=黑tl）,运用导数的有关知识分析推证，最后使得问题获解。x = 3 2cos22 .在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线G的参数方程为4巾（中为参数），y = 2sin以坐标原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为： = 2 .（1）设点M,N分别为曲线Ci与曲线C2上的

26、任意一点，求|MN |的最大值；x = -1 tcos：（2）设直线IX（t为参数）与曲线Ci交于P,Q两点，且|PQ|=1,y -tsin ;求直线I的普通方程.【答案】（1）7 ; （2） 布x7y + V15 = 0 或 Ax+7y + A = 0【解析】（1）将曲线C1和C 2都化成普通方程后，可知I MN |的最大值是圆心距加上两个圆的半径；（2）将直线I的参数方程代入（x -3）2 + y2 = 4中后，利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长I PQ I,代入已知I PQ|=1,可解得斜率，再由点斜式可得直线I的方程.【详解】x = 3 2cos2sin :得(x -3)2 + y2 = (2cos 中)2 +(2sin 中)2 = 4,所以曲线 C22的普通万程为（x3） +y =4,圆心Ci （3,0）,半径1=2.曲线C2的直角坐标方程为x2 +y2 = 4,圆心C2（0,0）,半径2=2. |MN UHC1C2Iri2 =3 2 2 =7.（2）将直线 l 的参数方程代入（x-3）2 + y2 =4 中，得（t cosa_4）2+（tsin c（ ）2 = 4整理得 t2 -8tcosa +12=0,设P,Q两点对应的参数分别为 亳力，则ti乜2 =8cosc（,城2 =12由|PQ|=1及