材料力学课件弯曲应力

1、5 弯曲弯曲 一、一、弯曲正应力弯曲正应力 二、二、弯曲弯曲剪应力剪应力 三、三、弯曲强度弯曲强度 四、提高梁抗弯能力的措施四、提高梁抗弯能力的措施 五、五、 塑性弯曲的概念塑性弯曲的概念 六、梁的挠曲线近似微分方程六、梁的挠曲线近似微分方程 七、积分法求梁的变形七、积分法求梁的变形 八、叠加法求梁的变形八、叠加法求梁的变形弯曲变形的特点弯曲变形的特点在横向载荷或力偶作用下，梁的直轴线变为曲线在横向载荷或力偶作用下，梁的直轴线变为曲线m0PqABCm0PqABC横向载荷作用在横向载荷作用在梁的纵向对称面梁的纵向对称面内内,梁弯曲变梁弯曲变形后的轴线为纵向对称面内的平面曲线，称形后的轴线为纵向对

2、称面内的平面曲线，称为为对称弯曲对称弯曲或或平面弯曲平面弯曲。对称弯曲、对称弯曲、平面弯曲的概念平面弯曲的概念xmqP2R1R纯弯曲与横力弯曲纯弯曲与横力弯曲 梁截面上没有剪力，而只有弯矩，梁截面上没有剪力，而只有弯矩， 称为称为纯弯曲；纯弯曲； 梁截面上既有剪力，又有弯矩梁截面上既有剪力，又有弯矩 ，称为，称为横力弯曲。横力弯曲。CD段段: : 纯弯曲纯弯曲AC、DB段段: : 横力弯曲横力弯曲FsPP-+MPa+aaPABCD例：例：P一、一、弯曲正应力弯曲正应力 1、变形几何关系、变形几何关系1、变形几何关系、变形几何关系平面假定平面假定：梁横截面变形后仍保持为平面且梁横截面变形后仍保持

3、为平面且垂直于变形后的梁轴线。垂直于变形后的梁轴线。 将梁看成由很多纵向纤维所组成将梁看成由很多纵向纤维所组成。假设假设：纤维间无相互挤压纤维间无相互挤压( (单向受力单向受力) )。dxmmnnaabbaabbmmnnMM1、变形几何关系、变形几何关系其间必有一层纤维即不伸长也不缩短其间必有一层纤维即不伸长也不缩短称为称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。yz中性轴中性层1、变形几何关系、变形几何关系ydddy)(设：纤维设：纤维bb的线应变的线应变 取中性层微段取中性层微段O1O2= dx 截面截面mm相对相对nn转动转动d 中性层中性层O1O2曲

4、率半径为曲率半径为 2、物理关系、物理关系pEEyynO1O2bbdmmn3、静力学关系、静力学关系横截面横截面A上的上的 为空间平行力系为空间平行力系AdAzy轴向力轴向力.ANdAF0(1)力矩力矩.0AydAzM(2)MdAyMAz(3)由(1)0zAaNSEydAEdAyEF中性轴过截面形心中性轴过截面形心3、静力学关系、静力学关系 当当y轴为截面的对称轴时，轴为截面的对称轴时，Iyz=0。上式自然成立。上式自然成立。 或或y、z轴为形心惯性主轴时，上式成立。轴为形心惯性主轴时，上式成立。由由(2)0yzAyIEdAEzyMAyzyzdAI为截面对为截面对y、z轴的轴的惯性积惯性积。由

5、由(3)MIEdAEyMzAz2AzdAyI2 为截面对为截面对z轴的轴的惯性矩惯性矩。由由Ey则则zIyM (b)梁横截面上正应力分布公式梁横截面上正应力分布公式zEIM1有有(a)1 梁的曲率梁的曲率 E Iz 梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度梁横截面上的最大正应力梁横截面上的最大正应力zIyMmaxmax令令 抗弯截面模量抗弯截面模量maxyIWzmaxWM梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力MM梁上部纤维梁上部纤维 受压受压0y梁下部纤维梁下部纤维 受拉受拉0yMMzIyM MxyFsM横力弯曲：横力弯曲：梁的横截面上即存在弯矩梁的横截面上即存在弯矩M，又存在剪力，又存在剪力Fs 。 在横力弯

6、曲条件下，梁横截面上既有正应力，在横力弯曲条件下，梁横截面上既有正应力，也有剪应力。对于跨高比也有剪应力。对于跨高比L/ /h 4 4的的细长梁细长梁，剪应力对变形的影响很小，因此，平面假定仍剪应力对变形的影响很小，因此，平面假定仍近似成立，由纯弯曲情况导出的横截面上正应近似成立，由纯弯曲情况导出的横截面上正应力计算公式等仍可使用。力计算公式等仍可使用。横力弯曲横力弯曲)(),(xxMM对深梁对深梁( )随随 减小误差增大减小误差增大4hlhlzEIxMx)()(1zIyxM)(WMmaxmaxmaxmaxWM 强度条件：强度条件：弯曲强度弯曲强度 等截面梁的强度条件：等截面梁的强度条件： (

7、1)梁截面关于中性轴对称，拉压的许用应力相梁截面关于中性轴对称，拉压的许用应力相等时，强度条件为等时，强度条件为 （2)2)梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力相等时，强度条件为相等时，强度条件为(3)(3)梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力不相梁截面关于中性轴不对称，拉压的许用应力不相等时，强度条件分别为等时，强度条件分别为例：例：铸铁梁的横铸铁梁的横截面截面是是T形，载荷和截面尺寸如图示，铸形，载荷和截面尺寸如图示，铸铁的许用拉应力为铁的许用拉应力为 t=30 MPa，许用压应力为，许用压应力为c=60MPa。已知截面对形心轴。已知截面对形心轴z

8、的惯性矩为的惯性矩为Iz=763 cm4，且，且 y1 =52 mm。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解：解：1 1）求约束反力求约束反力2)画剪力图和弯画剪力图和弯矩图矩图 3）B截面上的应力截面上的应力(上拉下压上拉下压) 4）C截面上的应力截面上的应力(上压下拉上压下拉)5）比较）比较(3)、(4)得得6)结论：强度足够结论：强度足够 二二. 弯曲剪应力弯曲剪应力 梁横截面上的内力是梁横截面上的内力是FS 和和M，从横截面上任取一，从横截面上任取一微面积微面积dA，设上面的正应力是，设上面的正应力是，剪应力是，剪应力是，则存在，则存在下列关系式：下列关系式： 00AyAZASANdAz

9、MMdAyMdAFdAF在横截面上的分布未知在横截面上的分布未知AdAzyFSMZ二二. . 弯曲剪应力弯曲剪应力1 1、矩形截面梁、矩形截面梁两点假设两点假设:1)横截面上横截面上,任一点任一点的的方向方向平行于平行于FS 2)沿截面宽度沿截面宽度均布均布 (h/b1)(y上下边缘处上下边缘处=0。hbyy yzFS12mmyx2dx11N2Nmm12*y*Ayzmmy12dxxXY矩形截面梁剪应力矩形截面梁剪应力FSFSMdMM 矩形截面梁剪应力矩形截面梁剪应力M+dMzMFSFS21dxby矩形截面梁剪应力矩形截面梁剪应力)(y微段微段 的平衡的平衡dxbdxydxbdT)(设其合力为设

10、其合力为dT*2zzNSIdMMF12NNFFdTy*yA*ZY*1*1ZZAZANSIMdAyIMdAF1NF2NFmm12dxdTbdxydT)(dAIMyFAZN*1dAIydMMFAZN*2)(代入代入12NNFFdT0)()(*bdxydAIMydAIydMMAZAZ整理得整理得dxdMbIdAyyZA*)(令令dAySAZ*面积面积A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩最后最后bIFSyZSZ*)(dxdMFS截面上的剪力截面上的剪力SZ* 的计算的计算222111*)4(2*hyAZyhbbdyydAyS或或)4(2)2(21)(2(22*yhbyyhyhbyASczZyy1dy12h

11、2hbA*矩形截面梁剪应力矩形截面梁剪应力)4(2)(22yhIFyzs2hy处00y中性轴处bhFs23maxmax剪切强度条件剪切强度条件 max2、工型截面梁、工型截面梁bISFyzzs*)(当当B b 时，时，max与与 min相差很小，且相差很小，且腹板承受的剪力占截面绝大部分，腹板承受的剪力占截面绝大部分，故故 腹板上的剪应力腹板上的剪应力bhFsymaxminhHbB)/(*maxmaxZZSSIbF标准轧制标准轧制I字钢，字钢， 发生在腹板中性层发生在腹板中性层 max*max/ZZSI查标准型钢表查标准型钢表3、圆型截面梁、圆型截面梁 截面边缘处的剪应力与圆截面边缘处的剪应力

12、与圆周相切，对称点周相切，对称点C处的剪处的剪应力铅垂向下。应力铅垂向下。假设假设:1）、水平弦各点剪应力方向通过一点）、水平弦各点剪应力方向通过一点2）、水平弦各点剪应力的铅垂分量）、水平弦各点剪应力的铅垂分量y相等相等与矩形截面的推导类似与矩形截面的推导类似,有有:bISFzzSy*其中其中 b为距为距z轴轴 y的水平弦宽度的水平弦宽度222yRbzyDABCORSFy3、圆型截面梁、圆型截面梁R1yyAB*A121211*2dyyRydAySRyAz2322)(32yR zSyIyRF3)(22中性轴处中性轴处0ymaxy由44RIzAFRFss34342maxbISFzzSy*梁单元体

13、的截取及其应力状态梁单元体的截取及其应力状态FSM1M2FS梁横截面单元体及应力状态梁横截面单元体及应力状态maxmaxFSM1M2FSminmax工字截面梁横力弯曲时腹板的剪应力工字截面梁横力弯曲时腹板的剪应力ZZStISF*hHby2222minmax)(8bhbHhtbbHtIFZStbtFS腹板横力弯曲梁正应力和剪应力的比较横力弯曲梁正应力和剪应力的比较hbACqlqlFS21max82maxqlM2222maxmax4368bhqlbhqlWMbhqlAFS4323maxmaxhlqlbhbhql344322maxmax结论：对于结论：对于hl 的实体梁可以忽略剪应力的影响的实体梁可

14、以忽略剪应力的影响ql21ql21281ql281qlsFM剪应力校核剪应力校核 梁横截面剪应力最大处为中性轴，正应力为梁横截面剪应力最大处为中性轴，正应力为0 梁横截面正应力最大处为上、下缘，剪应力为梁横截面正应力最大处为上、下缘，剪应力为0下述情况须对剪应力校核：下述情况须对剪应力校核：1）深梁）深梁 或集中力作用靠近支座或集中力作用靠近支座 因而因而Q较大较大2）薄腹梁）薄腹梁 如工或如工或T 字形截面梁字形截面梁3）梁截面是由几部分胶接）梁截面是由几部分胶接 或焊接或焊接 、铆接处、铆接处max例例. .试选用工字钢型号试选用工字钢型号ml2ma2 . 0mkNq/10kNp200材料

15、材料 =160Mpa =100Mpa解解: :1. .内力图内力图2.按弯曲正应力强度考虑按弯曲正应力强度考虑3max281cmMW210208208210888 .4145)(mKNM选选I22a(W=309cm)aalPPqAB3、校核剪应力强度校核剪应力强度cmSIzz9.18*1481075. 09 .181021023*maxmaxmaxMPadISFzzs4、改用改用I25bcmSIzz3 .21/*cmd1腹板厚腹板厚cmd75. 0210208208210888 .4145)(mKNM6 .98maxMPa故选用故选用I25b查型钢表查型钢表 I220abbbb例：用螺钉将例：

16、用螺钉将4块木板连接成箱形梁，块木板连接成箱形梁， 已知箱形梁尺寸，载荷已知箱形梁尺寸，载荷P， 螺钉许用剪力螺钉许用剪力Q。确定螺钉间距。确定螺钉间距s。PsbbbbsbsbsbQ Z*ZSbISF2*ZSZSFQIs2例例.简支梁由两块木简支梁由两块木B板组成，两板光滑接触板组成，两板光滑接触求：许用载荷求：许用载荷PMPa10mmbml200,3mmh100已知已知ACBP2l2lb2h2h解解:各板平面假设成立各板平面假设成立plM41max单板单板22241)2(61bhhbW32/2maxmaxbhplWMNlbhP2222109230003100200103422M2M2MP开口

17、薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心槽钢弯心2槽钢弯心3槽钢弯心4开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心平面弯曲条件下平面弯曲条件下,横截面上的剪应力横截面上的剪应力FsotISFzzs开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁平面弯曲的条件1）弯曲剪力的作用线与横截面形心）弯曲剪力的作用线与横截面形心主轴平行或垂直。主轴平行或垂直。2）弯曲剪力的作用线通过横截面的）弯曲剪力的作用线通过横截面的弯曲中心。弯曲中心。弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心maxmaxWM1、

18、合理安排梁的受力、合理安排梁的受力支座位置支座位置M281ql2401ql2501qlM四、提高梁抗弯能力的措施四、提高梁抗弯能力的措施qll2 .0l2 .0l6 .0q分散载荷分散载荷4PlMMPl812l2lP2P2P2l4l4l2、梁的合理截面、梁的合理截面放置方向放置方向yzbhzyhb截面形状截面形状3、等强度梁、等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同.)(maxconstx 如如xbqxhxbhqxWqx)3()()(321222maxxqbh2P2P汽车上使用的叠板簧汽车上使用的叠板簧 吊车用鱼腹梁吊车用鱼腹梁3)()(32122maxbPxxhxbhPxWPxPx五、五、 塑性弯曲的概念塑性弯曲的概念 按正应力强度条件设计梁按正应力强度条件设计梁maxmaxWM没有充分发挥材料的潜力，当没有充分发挥材料的潜力，当s时，时，出现塑性变形。出现