高等数学(同济第六版)D5_1[2]

1、21xdxxx ;)1cos2(d2 xx;)5 , 1(sind kxxk解解:,sinsecdd2xxxy xxxydsinsec2 ,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy例例2. . 求不定积分求不定积分sinsincosxdxxx 分析：分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以可以由于被积函数为三角函数有理式，所以可以用万能公式计算；用万能公式计算；sintansincos1tanxxxxx tanux (2)对被积函数进行恒等变形为对被积函数进行恒等变形为：进行计算；进行计算；就可以用换元就可以用换元： 再利用再利

2、用 (3)把被积函数进行恒等变形为：把被积函数进行恒等变形为：sin1(sincos ) (sincos )1sincos(1)sincos2sincos2sincosxxxxxxxxxxxxx (cossin )(sincos )xx dxdxx 的关系进行计算的关系进行计算. .解法解法3： 由于由于sin1(sincos ) (sincos )sincos2sincosxxxxxxxxx 所以所以sin1cossin(1)sincos2sincosxxxdxdxxxxx 11(sincos )122sincosdxxdxxx 1(ln sincos)2xxxC 例例3.)(1)(arct

3、an)(,sin)(. 42dxxfxfxfxxf 求求已知已知例例)(arctan)(arctan)(1)(arctan)(2xfdxfdxxfxfxf Cxf 23)(arctan32.sinarctan3223Cx 解：解：第五章第五章一元函数积分学一元函数积分学不定积分不定积分( (第四章第四章) )定积分定积分定积分定积分 概念、计算概念、计算应用应用(第六章第六章)第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义四、四、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五五章 三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算一、定积分问题举例一、定积分问题举例1

4、. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴轴及及 x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 A .矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bahxyOab( )yf x ? AxyOabf x( ) , a b在在上上连续连续变化变化.1xnx1 1ix ixxyO1ix ixi ()if ()iifx ( )yf x 曲线曲线误差误差iA iAiA xyOab( )yf x ? A2. 分析分析xabyO1xix1 ix1) 分割分割 在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分

5、点个分点bxxxxxann 1210,1iiixx 用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形,2) 近似近似在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以,1iixx 为底为底 , 以以)(if 为高的窄矩形为高的窄矩形, 并以此窄并以此窄炬形面积近炬形面积近 似似 代代 替相替相 应应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA 得得1()( iiiiiixxxxfA ),2,1,ni i 由以上分析由以上分析, 我们得到计算我们得到计算曲边梯形面积的曲边梯形面积的具体步骤：具体步骤：()if ;iA 3) 求和求和 niiAA1 niiixf1)( 4

6、) 取极限取极限令令, max1inix 则有则有 A niiixf10)(lim xabyO1xix1 ixi (由近似到精确由近似到精确)？能能不不能能保保证证所所有有问问：), 2, 1(0 nixni 求极限的过程是：求极限的过程是：0, 而不是：而不是：.n xyOaf x( )1xn b 在曲边梯形内摆满小的矩形在曲边梯形内摆满小的矩形, ,当小矩形的宽度减少时当小矩形的宽度减少时, , 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? ?2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动, ,)(21T

7、TCtvv且且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 分割分割., ,1iiitt 任任取取将它分成将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 近似近似.,)(代替变速代替变速以以iv 得得,)(iiitvs ,1,21个分点个分点中任意插入中任意插入在在 nTT);,2,1(nisi ., 2,1ni 已知速度已知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为iiittt1, niiixfA10)(lim 3) 求和求和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)ma

8、x(1init 上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“化整为零（分割）化整为零（分割） , 化不规则为规则化不规则为规则(近似）近似） , 求和求和 , 取极限取极限. ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限bxxxxxann 1210定义定义. .二、定积分的定义二、定积分的定义,1iiixx 一一点点被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和引例引例1. 曲边梯形面积曲边梯形面积引例引例2. . 变速直线运动的

9、路程变速直线运动的路程)0)(d)( xfxxfAba 21d)(TTttvs badxxf)( badttf)(;)( baduuf注注意意对定义的几点说明对定义的几点说明 badxxf)( niiixf10)(lim (4 ) 改变一个函数有限个点的函数值，不改变改变一个函数有限个点的函数值，不改变其可积性和积分值其可积性和积分值. .定理定理1.上上连连续续在在函函数数,)(baxf.,)(可积可积在在baxf定理定理2.,)(上上有有界界在在函函数数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略证明略).,)(可积可积在在baxf( )yf x a

10、bOxy( )f xab曲边梯形面积曲边梯形面积.曲边梯形面积的曲边梯形面积的负值负值.A ,( )d(0baf xxxf ,( )d(0baf xxxf AAAxyO定积分的几何意义定积分的几何意义 baxxfd)(iniixf 10)(lim 定积分的几何意义定积分的几何意义3245AAAA 各部分面积的各部分面积的代数和代数和.( )dbaf xx 1Aabyx1A2A3A4A5AO)(xfy 例例1.xx d1102例例2.xxdsin0y=sinxyx40练练.利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：. )0(40222 aaadxxa 解：解：根据积

11、分的几何意义，根据积分的几何意义，被积函数被积函数22xay 是上半圆是上半圆),0(222 yayx adxxa022表示在表示在, 0a上上由该半圆周与由该半圆周与x轴轴及及y轴轴所围成图形的面积所围成图形的面积， 即在第一即在第一象限的四分之一圆的面积，象限的四分之一圆的面积，其面积等于其面积等于,44122aa 此即为等式右端此即为等式右端 . .Oxya2 x2ay o1 xyni定理定理1.上上连连续续在在函函数数,)(baxf.,)(可积可积在在baxf例例3. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni

12、nix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(则32ni badxxf)( niiixf10)(lim ni 1o1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixfxx 10102)(limd nlim31)12)(11 (61nn2xy 注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)2

13、1 ( 3222n baxxfd)( niiixf10)(lim ninnnif11)(limiixx01ni 1ni baxxfd)( ninnababniaf10)(lim 10d)(xxf121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10例例4. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni 10d)(xxf ninnnif11)(lim niiixf10)(lim baxxfd)(三、三、 定积分的近似计

14、算定积分的近似计算说明说明:, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积根据定积 分定义可得如下近似计算方法分定义可得如下近似计算方法:说明说明:, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积根据定积分定义可得如下近似计算方法分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将将 a , b 分成分成 n 等份等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3iiixyy

15、211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度为了提高精度, 还可建立更好的求积公式还可建立更好的求积公式, 例如辛普例如辛普森森abxoyix1ix公式公式, 复化求积公式等复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用并有现成的数学软件可供调用.四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在),d)(d)(,).1( abbaxxfxxfba规规定定0d)().2( aaxxf bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 1证证:iiinixgf )()(lim10 左左端端iiniiinixgxf )(lim)(lim10

16、10 = 右端右端 baxxfd)( niiixf10)(lim dxxfCdxxfCnibaiiibanii 11)()(推广推广：xxfkxxfkbabad)(d)(. 2 baxd. 3ab( k 为常数为常数) badxxf)( niiixf10)(lim a 0bxy1 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 4证证: 当当bca 时时,因因)(xf在,ba上可积上可积 ,所以在分割区间时所以在分割区间时, 可以永远取可以永远取 c 为分点为分点 ,于是于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(ab

17、c当当 a , b , c 的相对位置任意时的相对位置任意时, 例如例如,cba则有则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)( bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 45. 若在若在 a , b 上上0)(1iinixf则则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf则则xxfbad)(xxgbad)( 证明证明: : 因为因为 g (x) f (x) 0，由性质由性质5得得所以所以Ox y a

18、 b y=g(x) y=f (x)bag (x)f (x)dx 0，bag (x)dx baf (x)dx 0，ba f (x) dx bag (x) dx (ab)bag (x)dxbaf (x)dx推论推论1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf则则xxfbad)(xxgbad)(推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(6. 设设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则则)(d)()(abMxxfabmba)(ba Mxfmbax )(,7

19、. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点则至少存在一点, ,ba使使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为别为上的最小值与最大值分上的最小值与最大值分在在设设则由则由性质性质6 可得可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理, ,上至少存在一上至少存在一在在,ba, ,ba点使使xxfabfbad)(1)(因此定理成立因此定理成立. .Oxbay)(xfy Oxbay)(xfy 说明说明: :.都成立都成立或或baba 可把可把)(d)( fabxxfba .,)(上的平均值上的平均值在在理解为理解为baxf故

20、它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对积分中值定理对abxxfba d)(因因nabfabniin )(lim11 )(1lim1 niinfn 利用几何意义求定积分：利用几何意义求定积分： 求积分求积分 解解: : 以以y = 1- x为曲边，以区间为曲边，以区间0, 1为底的曲边梯形为一直角为底的曲边梯形为一直角三角形三角形，21其面积为其面积为 所以所以21 1 0 )1 (dxx1 0 )1 (dxx练练.xy=1-xyO11解解：,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dx

21、dxxdx .3sin31403 dxx例例5. .例例6. 计算从计算从 0 秒到秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均秒这段时间内自由落体的平均速度速度. 解：解： 已知自由落体速度为已知自由落体速度为t gv 故所求平均速度故所求平均速度 v2211TgT 2Tg Tttg0d01 T例例6. 用定积分定义和性质求极限用定积分定义和性质求极限.212111lim nnnn解解:原式原式 nnnnnnnn2211lim nnnnnn112111111limnninin111lim1 10. 2ln11dxxi ix badxxf)( niiixf10)(lim 10)(dxxf ninnni

22、f11)(lim解：解：由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2+,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 例例7. 例例9. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx内容小结内容小结1. 定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2. 定积分

23、的性质定积分的性质3. 积分中值定理积分中值定理矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算近似计算01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx badxxf)( niiixf10)(lim 思考思考:如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:

24、nknnkI1sinlim1nnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !2. 用定积分定义和性质求极限用定积分定义和性质求极限.212111lim nnnn解解原式原式 nnnnnnnn2211lim nnnnnn112111111limnninin111lim1 10. 2ln11dxxi ix badxxf)( niiixf10)(lim 10)(dxxf ninnnif11)(lim3. P236 题13 (2) , (4)题8(4) 解解: 设, )1ln()(xxxf则xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd10104.解解比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小. .令令,)(x