第二章 随机过程的基本概念与分类

1、Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai UniversityStochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University第二章第二章 随机过程的随机过程的 基本概念及分类基本概念及分类Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 引例引例例例1 用用X(t)表示某手机在大年初一早上从表示某手机在大年初一早上从8:00开开始经过始经过 t 时刻收到的短信数。时刻收到的短信数。例例2 顾客来到服务站要求服务，当服务站中的顾客来到

2、服务站要求服务，当服务站中的服务员都正在为别的顾客服务时，来到的顾客服务员都正在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等待服务。由于顾客的来到时间一般就要排队等待服务。由于顾客的来到时间一般是随机的，每个顾客所需要的服务时间一般也是随机的，每个顾客所需要的服务时间一般也是随机的，令是随机的，令X(t)表示表示 t 时刻的队长时刻的队长(服务的顾客服务的顾客加等待的顾客加等待的顾客)，Y(t)表示为表示为 t 时刻来到的顾客所时刻来到的顾客所需要等待的时间。需要等待的时间。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例3 用用X

3、(t)表示南京下关某处表示南京下关某处 t 日早上日早上8:00的水的水位高度。位高度。例例4 设质点设质点Q在一直线上移动，每单位时间移动在一直线上移动，每单位时间移动一次，且只能在整数点上移动。用一次，且只能在整数点上移动。用X(t)表示表示 t 时时刻该质点所处的位置。刻该质点所处的位置。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例5 Vertical Density Profile (VDP) Manufacturers of engineered wood boards, which include partic

4、leboard and medium density fiberboard, are very concerned about the density properties of the board because they determine its machinability. The density is measured using a profilometer that uses a laser device to take measurements at fixed depths across the thickness of the board. The measurements

5、 on a sample form the vertical density profile(VDP) of the board. This VDP consists of 314 measurements taken 0.002 inches apart. 24 profiles are shown in Figure.Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 24 profiles in Vertical Density Profile (VDP)Stochastic ProcessesCollege of Scien

6、ce, Hohai University 随机过程的定义随机过程的定义 ( , F, P)为一概率空间，为一概率空间，T (, + )为参数为参数集。若对任一集。若对任一t T，有一个定义在，有一个定义在( , F, P)随机随机变量变量X(t, )(或或Xt ( ), , 与之对应与之对应, 则称则称X(t, ), t T为为随机过程随机过程(Stochastic Processes)。简记。简记X(t), t T(或或Xt , t T)(s.p.)。随机过程的值域随机过程的值域E(状态空间状态空间)：随机过程随机过程X(t), t T 的可能取值范围。的可能取值范围。随机过程的状态：随机过

7、程的状态： E中的元素。中的元素。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University或者或者 X(t, )是一个二元函数：是一个二元函数：固定固定t，X(t, )是一个随机变量；是一个随机变量；(随机过程在随机过程在t时刻的状态时刻的状态)固定固定 ，X(t, )是一个实值函数；是一个实值函数；(随机过程的样本函数或随机过程的样本函数或样本曲线、现实或轨道样本曲线、现实或轨道)Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分

8、布函数族 X(t), t T 是一个随机过程，是一个随机过程， t1 T，X(t1)是是r.v.，它的分布函数记作，它的分布函数记作F(x1; t1) = PX(t1) x1, 称为随机过程的称为随机过程的一维分布函数一维分布函数。若存在二元非负可积函数若存在二元非负可积函数 f (x1; t1)满足满足 111111);();(xdytyftxF f (x1; t1)-s.p. X(t) 的的一维密度函数一维密度函数。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University t1, t2 T，X(t1), X(t2)是二维是二维r.v.

9、若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x1, x2; t1, t2)满足满足 122121212121),;,(),;,(xxdydyttyyfttxxF f (x1, x2; t1, t2)-s.p. X(t) 的的二维密度函数二维密度函数。F(x1, x2; t1, t2) = PX(t1) x1, X(t2) x2, 称为称为s.p. X(t)的的二维分布函数二维分布函数。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University一般地一般地, t1, t2, , tn T，若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x1, x

10、2, , xn; t1, t2, , tn)满足满足 1111),;,(xxnnnndydyttyyf f (x1, , xn; t1, , tn)-s.p. X(t) 的的n维密度函数维密度函数。F(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) = PX(t1) x1, X(t2) x2, , X(tn) xn, 称为称为s.p. X(t)的的n维分布函数维分布函数。 ),;,(2121nntttxxxFStochastic ProcessesCollege of Science, Hohai UniversityF(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), t1,

11、 t2, , tn T, n 1称为称为s.p. X(t)的的有限有限(穷穷)维分布函数族维分布函数族。 f (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), t1, t2, , tn T, n 1称为称为s.p. X(t)的的有限有限(穷穷)维密度函数族维密度函数族。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例 s.p. X(t)=A+Bt, t 0, 其中其中A和和B是独立的是独立的r.v., 分别服从正态分布分别服从正态分布N(0, 1)。求。求X(t)的一维和二的一维和二维分布。维分布。Stochasti

12、c ProcessesCollege of Science, Hohai University有限维分布函数族的性质有限维分布函数族的性质(1) 对称性对称性对对(1,2, ,n)的任意一种排列的任意一种排列( j1, j2, , jn),有有 ),;,(2121nntttxxxF),;,(2121nnjjjjjjtttxxxF (2) 相容性相容性对对m n, 有有 ),;,(111nmmmttttxxF),;,(2121mmtttxxxF Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例 s.p. X(t)=Acost,

13、t , 其中其中A为为r.v., 具具有分布律有分布律313131321PA求求(1) 一维分布函数一维分布函数F(x; /4), F(x; /2)； (2) 二维分布函数二维分布函数F(x1, x2; 0, /3)。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1 均值函数和方差均值函数和方差X(t), t T 是一个随机过程是一个随机过程, t T, X(t)是是r.v.E(X(t)= m(t)-s.p. X(t)的的均值函数均值函数(期望函数期望函数)X(t)为离散型为离散型, 且分布

14、律为且分布律为PX(t)=xi, 则则 iiixtXPxtXEtm)()()(X(t)为连续型为连续型, 且密度为且密度为 f (x; t), 则则 dxtxfxtXEtm);()()(Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai UniversityD(X(t)=D(t)=EX(t) m(t)2-s.p. X(t)的的方差函数方差函数X(t)为离散型为离散型, 且分布律为且分布律为PX(t)=xi, 则则 iiixtXPtmxtmtXEtD)()()()()(22X(t)为连续型为连续型, 且密度为且密度为 f (x; t), 则则 dxtxft

15、mxtmtXEtD);()()()()(22-s.p. X(t)的的标准差函数标准差函数)()(tDt =EX(t)2 m2(t) 2(t)=EX(t)2-s.p. X(t)的的均方值函数均方值函数Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University2 协方差函数和相关函数协方差函数和相关函数X(t), t T 是一个随机过程是一个随机过程 t1, t2 T，X(t1), X(t2)是二个是二个r.v.C(t1, t2)=Cov(X(t1), X(t2)-s.p. X(t)的的自协方差函数自协方差函数(简称协方差函数简称协方差函数)=

16、EX(t1)X(t2) m(t1)m(t2)D(t)=C(t, t)=Cov(X(t), X(t)特别特别C(t1, t2)=EX(t1) m(t1)X(t2) m(t2)Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai UniversityR(t1, t2)=EX(t1)X(t2)-s.p. X(t)的的(自自)相关函数相关函数C(t1, t2)=EX(t1)X(t2) EX(t1)EX(t2)=R(t1, t2) m(t1)m(t2)当当m(t)=0时时C(t1, t2) =R(t1, t2)易有易有R(t2, t1) =R(t1, t2)-对称性

17、对称性Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例 随机相位正弦波随机相位正弦波 X(t)=acos( 0t+ ) , t 0, 且且P 1=2/3, P 2=1/3。求求X(t)的均值函数和相关函数。的均值函数和相关函数。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 两个两个随机过程的数字特征随机过程的数字特征 X(t), t T , Y(t), t T 是二个随机过程是二个随机过程, 称称(X(t), Y(t)T, t T 为为二维随机过程二维随机过程

18、。TtttTtttnmmn , 1, 12121TmntYtYtYtXtXtX)(,),(),(),(,),(),(2121 为为m+n维随机变量，维随机变量，其联合分布函数为其联合分布函数为 ),;,;,;,(1111mmnnttyyttxxF)(,)(;)(,)(1111mmnnytYytYxtXxtXP 称为二维称为二维s.p.(X(t),Y(t)T, t T 的的m+n维联合分维联合分布函数。布函数。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University ),;,;,;,(1111mmnnttyyttxxF)(,)(;)(,)(

19、1111mmnnytYytYxtXxtXP 令令yi+ , i =1, , m, 可得可得(X(t1), X(t2), , X(tn)T的的n维分布函数。维分布函数。同理同理, 令令xi+ , i =1, , n, 可得可得(Y(t1), Y(t2), , Y(tm)T的的m维分布函数。维分布函数。记记 ),;,(11nnXttxxF)(,)(11nnxtXxtXP ),;,(11mmYttyyF)(,)(11mmytYytYP Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University-X(t)与与Y(t)相互独立相互独立 ),;,;,;

20、,(1111mmnnttyyttxxF ),;,(11nnXttxxF),;,(11mmYttyyF TtttTtttnmmn , 1, 12121X(t), t T , Y(t), t T 是二个随机过程是二个随机过程E(X(t)= mX(t); E(Y(t)= mY(t)CXY(t1, t2)=Cov(X(t1), Y(t2)=EX(t1)Y(t2) mX(t1)mY(t2)CXY(t1, t2)=EX(t1) mX(t1)Y(t2) mY(t2)-s.p. X(t)与与Y(t)的互协方差函数的互协方差函数Stochastic ProcessesCollege of Science, Ho

21、hai UniversityRXY(t1, t2)=EX(t1)Y(t2) -s.p. X(t)与与Y(t)的互相关函数的互相关函数= RXY(t1, t2) mX(t1)mY(t2)CXY(t1, t2)= EX(t1)Y(t2) mX(t1)mY(t2)若若CXY(t1, t2)=0 或或 RXY(t1, t2)=mX(t1)mY(t2)-s.p. X(t)与与Y(t)的不相关的不相关结论结论 若若s.p. X(t)与与Y(t)的相互独立的相互独立, 则则X(t)与与 Y(t)不相关。不相关。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai Uni

22、versity 随机过程的分类随机过程的分类1 按参数集按参数集T 和值域和值域E离散与否分类离散与否分类(1) 参数离散参数离散, 状态离散状态离散;T、E皆离散皆离散(2) 参数离散参数离散, 状态非离散状态非离散;T离散、离散、E非离散非离散特别：特别：T 离散、离散、E连续连续(3) 参数非离散参数非离散, 状态离散状态离散;T非离散、非离散、E离散离散特别：特别：T连续、连续、E离散离散(4) 参数、状态皆非离散参数、状态皆非离散;T、E皆非离散皆非离散特别：特别：T 、E皆连续皆连续Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai Univ

23、ersity2 按按s.p.的概率结构来分的概率结构来分独立随机过程；独立随机过程；独立增量随机过程；独立增量随机过程；Markov过程；过程；平稳随机过程。平稳随机过程。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University 几种常用几种常用随机过程随机过程1 独立随机过程独立随机过程X(t), t T 是一个是一个s.p.若对任意若对任意 n 个不同的个不同的 t1, t2, , tn T,X(t1), X(t2), , X(tn)都相互独立都相互独立,称称X(t), t T 是独立是独立s.p.Stochastic Process

24、esCollege of Science, Hohai University2 独立增量随机过程独立增量随机过程X(t), t T 是一个是一个s.p.若对任意若对任意 n 个个 t1, t2, , tn T, 且且t1 t2 0), 增量增量X(t+ ) X(t)的概率分布只依赖于的概率分布只依赖于 而与而与t无关无关,则称则称s.p.X(t)为为齐次增量过程齐次增量过程(或或具有平稳增量具有平稳增量)Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai UniversityX(t), t 0 是独立增量过程是独立增量过程, 令令Y(t)=X(t) X(

25、0), t 0, Y(t)与与X(t)有相同的增量，有相同的增量， 所以所以Y(t)亦为独立增量过程亦为独立增量过程, 且有且有PY(0)=0=1, 故对于一般的独立增量过程可以假设故对于一般的独立增量过程可以假设PX(0)=0=1。 例例 设设X(t), t T=t1, t2, 为独立的为独立的r.v.序列序列, 证明证明 )()(,),(1 niintXtYTttY为独立增量过程。为独立增量过程。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University3 正态随机过程正态随机过程(Gauss过程过程) 若若s.p.X(t), t T

26、的任一有限维分布都是正态的任一有限维分布都是正态分布分布, 则称该过程为则称该过程为正态过程正态过程(Gauss过程过程)。即对即对n 1, t1, t2, , tn T, 有有 ),;,(11nnttxxf)()(21exp|)2(112/12/XTXnmxBmxB 式中式中,),(21Tnxxxx TnXXXtmtmm)(,),(1 nnjitXtXCovB )(),(Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University正态过程的性质正态过程的性质:(1) 正态过程的有限维分布族可由其一、二正态过程的有限维分布族可由其一、二 阶矩

27、完全确定阶矩完全确定;(2) 正态过程的不相关性与相互独立性等价正态过程的不相关性与相互独立性等价;(3) 正态过程在线性变换下保持其正态性。正态过程在线性变换下保持其正态性。 即正态过程的线性变换仍然是正态过程即正态过程的线性变换仍然是正态过程Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University4 马尔可夫过程马尔可夫过程(Markov过程过程)X(t), t T 是一个是一个s.p. 若对若对 t T, 给定给定X(t)的值后的值后, 对对s T且且st, X(s)的取值与那些的取值与那些u T且且u 0, X(t)N(0, 2t

28、)。称称X(t)为为Wiener过程过程或或Brown运动运动。若若 =1, 则称则称X(t)为为标准标准Wiener过程过程。Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University维纳过程的性质维纳过程的性质:(1) 维纳过程是一种马氏过程维纳过程是一种马氏过程;(2) E(X(t)=0, DX(t)= 2t, R(t1, t2)= 2 min(t1, t2)。(3) t1, t2, , tn, 且且0=t0t1 tn+ , 有有 X(ti) X(ti-1)N(0, 2(ti ti-1), i=1,2, ,n (4) X(t), t 0为为Wiener过程过程, 则对则对 t1, t2, , tn, 且且0=t0t1 tn+ , 有有 DX(ti)= 2ti, 1 i n; R(ti, tj)=EX(ti)X(tj)= 2ti, i, j=1,2, ,n, ij Stochastic ProcessesCollege of Science, Hohai University例例 铁路工程队每天铺一段