微分方程09615ppt课件

1、第十二章微分方程微分方程基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.可分离可分离 变量方程变量方程2.齐次方程齐次方程3.线性方程线性方程4.伯努利方程伯努利方程5.全微分方程全微分方程可降阶方程可降阶方程线性微分线性微分方程方程解的结构解的结构欧拉方程欧拉方程特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、知识网络关系图一、知识网络关系图二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构 一阶显示微分方程的初等积分法一阶显示微分方程的初等积分法五种类型：五种类型：)(xydxdy 2 齐

2、次方程：齐次方程：)(xyu 令令)(222111cybxacybxafdxdy . 0, 022212121 ccbbaa其其中中准齐次方程：准齐次方程： ,0,0222111cybxacybxa解法：解法： 先求交点：先求交点：),( YyXx再作变换：再作变换：) () (xQyxPdxdy 可将该准齐次方程化为关于可将该准齐次方程化为关于Y, X的齐次方程的齐次方程.3 线性方程：线性方程：)()()(CdxexQeydxxPdxxP 通解：通解：)(0)()(000ydtetQeytxxxdssPxxdttP 常数变易公式常数变易公式满足初始条件满足初始条件 y(x0) = y0的特

3、解：的特解：nyxQyxPdxdy)()( 4 伯努利方程：伯努利方程：)(1的的线线性性方方程程，化化为为令令zyzn )()()(2xfyxQyxPdxdy 黎卡提方程：黎卡提方程：)(1xy若若已已知知其其一一个个特特解解)2)(1的的伯伯努努利利方方程程的的，化化为为令令 nzxyyz0),(),( dyyxNdxyxM5 全微分方程：全微分方程：( 恰当恰当)使使),(yxuu GyxdyyxNdxyxMyxud ) , () , () , () , (.为为一一单单连连通通区区域域其其中中GGyxxNyM ),(，(1) 判别法判别法).,( yxu关关键键：求求(2) 求解法求解

4、法使使, 0),( yx 常用的方法有三种：常用的方法有三种： 特殊路径法特殊路径法 分项组合法分项组合法 偏积分法偏积分法小结小结 求解一阶微分方程的基本路径有两条：求解一阶微分方程的基本路径有两条：(1) 变量变换法变量变换法 目的目的变量分离方程变量分离方程(2) 积分因子法积分因子法 全微分方程全微分方程 积分因子：积分因子：0),(),( dyyxNdxyxM 的的方方法法：找找 为恰当方程为恰当方程.) (0) , () , (xdyy xNdxy xM 有有积积分分因因子子 分项组合法分项组合法 公式法公式法且且),()(1xxNyMN .)()( dxxex .41,0)()(

5、,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 可降阶微分方程可降阶微分方程1. y(n) = f (x) 型的微分方程型的微分方程 令令,)1( nyz)(ddnyxz 则则因此因此1d)(Cxxfz 即即1)1(d)(Cxxfyn 同理可得同理可得 2)2(d Cxyn 1d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 ., )(xf 21CxC 设设, )(xpy ,py 则则原方程化为一阶方程

6、原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp 则得则得),(1Cxy 再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy 2. y = f (x, y) 型的微分方程型的微分方程 3. y = f ( y, y ) 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xpydd 则则xyypdddd yppdd 故方程化为故方程化为),(ddpyfypp 设其通解为设其通解为),(1Cyp 即得即得),(1Cyy 分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy 常系数线性微分方程常系数线性微分方程(组组)的解法的解法1

7、. 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程.41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 特征方程：特征方程：0111 nnnnararar特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是.41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf irk 复复根根重重共共轭轭若若是是nnyCyCyCy 2211留意：

8、留意： n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.NoImage2. 常系数非齐线性方程常系数非齐线性方程分析分析由线性微分方程解的结构定理知，求由线性微分方程解的结构定理知，求(1)的通解的关键是求与的通解的关键是求与(1)对应的齐次线性对应的齐次线性方程方程(2)的通解的通解Y 及及 (1)的一个特解的一个特解y*.)1()(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程：二阶常系数非齐次线性方程：对应齐次线性方程对应齐次线性方程:)2(0 yqypyyL.,均均为为实

9、实常常数数其其中中qp(1)的通解结构的通解结构:, yYy如何求如何求(1)的特解？的特解？ 方法：待定系数法方法：待定系数法.,)(1110mmmmmaxaxaxaxP 其其中中. 0), 2 , 1(,0 amiai均为常数，均为常数， 必必有有如如下下形形式式的的特特解解：方方程程)1(xmkexQxy )( ,)(110mmmmbxbxbxQ 其其中中均均为为待待定定常常数数，),2 , 1(mibi 的的取取法法如如下下：所所确确定定由由方方程程k;)1(xmexPxf )()( 类型类型1 k 非特征根非特征根0特征单根特征单根1特征重根特征重根2推导如下：推导如下：设非齐次线性

10、方程设非齐次线性方程(1)的特解为的特解为xexQy )( x的待定的待定多项式多项式xxexQexQy )()()(则则xexQxQxQy )()(2)()(2 xexQxQ )()( 代入方程代入方程(1), 得得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm qyypyyL)()()()()()2()(2xQqpxQpxQex xmexP )( 的的解解是是方方程程)1(y即即)3()()()()()()(xPxQFxQFxQm prrFqprrrF 2)()(2特征多项式特征多项式不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(, 0)(2 qpF )3()()()()()()(x

11、PxQFxQFxQm :,)3(同同次次幂幂的的系系数数对对比比两两端端式式代代入入x,)()(110mmmmbxbxbxQxQ 可可设设 )()(00mxabF )()()(1101 mxambFbF )(2)()(021xabbFbFmmmm 是是特特征征方方程程的的单单根根，若若 )2(, 0)(2 qpF , 02)( pF ;)()1(xmexQy 有特解：有特解：方程方程0)( F,10可可由由此此方方程程组组唯唯一一确确定定mbbb, 0).( kxQm此此时时，即即可可确确定定)3 . 8()()()()()()(xPxQFxQFxQm )3()(0)()()(xPxQFxQm

12、 )0()(0110 BBxBxBxQmmm取取1110)( mmmmbxbxbxbxQ则则0)1(1 mb的特解，可取的特解，可取为了求方程为了求方程),(xxQm ;)(xmexxQy )()(110mmmbxbxbxxQ 可设可设. 1 k此此时时，有有如如下下形形式式的的特特解解：方方程程)1(是是特特征征方方程程的的重重根根，若若 )3(, 0)(2 qpF , 02)( pF ),()(2xQxxQm 可可设设.)(2xmexQxy 综上所述：综上所述：的的特特解解可可设设立立为为：方方程程)1( 是特征重根是特征重根是特征单根是特征单根不是特征根不是特征根 , 2, 1, 0k注

13、注 上述结论可推广到上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k 是重根次数是重根次数).是是方方程程xmkxexQxexQy )()( 的的解解xmnnnnexPypypypy )(1)1(1)( )()()()(!1)()()!1()()()1()1()(xPxQFxQFxQnFxQmnnn ,)(xmkexQxy .;)(),(为为实实常常数数，多多项项式式次次实实系系数数次次和和的的分分别别是是其其中中 mlxxPxPnl必必有有如如下下形形式式的的特特解解：方方程程)1(xmmkexxRxxRxy sin)(cos)()2()1( 的的取取法法如如下下

14、：其其中中 k = +i k非特征根非特征根0特征根特征根1的的待待定定多多项项式式，为为xxRxRmm)(),()2()1(.,max nlm sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 类型类型2引理引理是方程是方程若若)()(xixy ),()()(为为实实常常数数qpxivxuqyypy 均均为为实实函函数数，则则的的解解，)(),(),(),(xxxvxu 分分别别是是方方程程)(),(xx )(xuqyypy )(xvqyypy 和和.的解的解结结论论的的思思路路：推推导导类类型型 2.12的的情情形形转转化化为为类类型型将将类类型型解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变解

15、法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程. 欧拉方程欧拉方程)5 . 8()(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 形如形如的方程的方程(其中其中nppp21, 叫欧拉方程叫欧拉方程.为实常数为实常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,dd1ddddddtyxxttyxy ,dddd1dd22222 tytyxxy将自变量换为将自变量换为, t,dd2dd3dd1dd2233333 tytytyxxy用用D

16、表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,ddt上述结果可以记为上述结果可以记为,Dyyx tytyyxdddd222 tytytyyxdd2dd3dd22333 ,)1(yDD ,)2)(1()23(23yDDDyDDD DyyD 2yDD)(2 .)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数线性微分方程：的常系数线性微分方程：求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ，txln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地， ynDDD)1()1(ynDDDp)2()1(1 ypDypnn 1

17、)6 . 8()(tef 注注 与与(8.6)对应的齐次线性方程的特征方程为：对应的齐次线性方程的特征方程为：)7 . 8(0)2()1()1()1(11 nnprpnrrrpnrrr二、常考题型二、常考题型例例1 填空题填空题处处的的增增量量在在任任意意点点已已知知xxyy)(. 1 xxyy 21._) 1 (,)0(),0()( yyxxo则则其其中中分析分析 本题并不知本题并不知具体等于什么，故无法直接具体等于什么，故无法直接由上式算出由上式算出 y(1).解解 依题设，有依题设，有 xxyxyxyxx1limlimdd200 4e题型题型1基础题基础题21ddxyxy 可分离变可分离

18、变量方程量方程,1dd2 xxyycxy arctanlncyln)0( ，得得由由xyarctane .ee)1(41arctany 从从而而2.且且满满足足具具有有连连续续的的一一阶阶导导数数，设设 )(xf._ y解解这是齐次方程这是齐次方程.uxuyxyu ，则则令令代入原方程，得代入原方程，得321uuuxu ,dd23 xxuu,ln12cxu cxyx ln21, 11 cyx得得由由xxln1 3.是是的的微微分分方方程程通通解解为为xxeCeCy321 .解解3, 121 rr特特征征根根：, 0)3)(1( rr特特征征方方程程：. 0342 rr即即034 yyy034

19、yyy所所求求微微分分方方程程是是：类似题类似题xCxCCyx2sin2cose321 下列微分方程中，以下列微分方程中，以).(),(321为为通通解解的的是是为为任任意意常常数数CCC. 044)( yyyyA. 044)( yyyyC. 044)( yyyyD求求一一、二二阶阶导导数数：对对nnnxay 0D齐齐次次微微分分方方程程为为数数为为一一个个特特解解的的二二阶阶常常系系以以xeyx3cos2 _ .解解特征方程：特征方程：0)31()31( irir特征根：特征根：ir312, 1 所所求求方方程程为为：0102 yyy09)1(2 r即即01022 rr0102 yyy4.为

20、为通通解解以以函函数数xCxCy2cossin221 的微分方程是的微分方程是_ ,其中其中C1，C2为任意常数为任意常数.解解xCxCy2cossin221 xCxC2cos22cos121 xCCC2cos)2(2121 ,2sin)2(212xCCy xCCy2cos)2(412 0)2cos2()2(sin yxyx5.6.的的通通解解是是微微分分方方程程844 yyy_ .解解特征方程：特征方程：0442 rr特征根：特征根：22, 1 r解解：对对应应齐齐次次线线性性方方程程的的通通xexCCY221)( 2 y原方程有特解：原方程有特解：2)(221 xexCCy可可设设立立为为

21、的的特特解解微微分分方方程程xxyysin _ .解解 特征方程：特征方程：02 rr特征根：特征根：1, 021 rr,)(1xxf 对对应应于于; 101 k是是特特征征单单根根， )(BAxx,sin)(2xxf 对对应应于于. 02 ki 不不是是特特征征根根， )sincos(xDxC 7.则则此此方方程程的的通通解解为为的的解解，方方程程都都是是已已知知22)1(,. 82232221 xxyyxyxxeyxxyxyx_ .221xeCxCyx axecyybyayx则则和和有有两两个个解解三三阶阶常常系系数数微微分分方方程程,0. 9_, b_, c_.解解是该方程的解，得是该方

22、程的解，得由由xy 0 cxb0 cb00是该方程的解，得是该方程的解，得由由xey 0 xxaee1 a-1例例2 选择题选择题).(sin)(sin. 122的的是是微微分分方方程程是是任任意意常常数数其其中中函函数数xdxydCxCy (A) 通解通解(B) 特解特解(C) 是解，但即非通解也非特解是解，但即非通解也非特解(D) 不是解不是解C).()(2ln)2()()(. 220 xfdttfxfxfx则则满满足足关关系系：若若连连续续函函数数2ln)(2ln)(2ln)(2ln)(22 xxxxeDeCeBeA解解, 2ln)0( f2)()( xfxf,2)()(00 xxdxx

23、fxdfxfxf2)0(ln)(ln 2ln)(2xexf B).(, 02)(052)4 , 0()(. 3 yyyyxyyxMxyy方方程程是是则则此此曲曲线线的的微微分分方方程程满满足足且且垂垂直直于于直直线线处处的的切切线线上上点点已已知知曲曲线线xxxxxeDexCCCexBexA29)()()()294()()2(2)(21 解解，知知由由2)0(, 4)0( yy1, 0122, 12 rrr特特征征根根：特特征征方方程程：xexCCy )(21通通解解：. 2421 CC，A题型题型2与导数定义有关与导数定义有关例例3 xhexfhxxfh11)()(lim0 hxfhxxfh

24、1)()(lim0 ) (0) ()() ()() () () ()(1limxfxhhxxfhxxfxfhxxfxfxfxfhxxf 解解yxyyx 1dd)1( )()(xfxxfe 且且满满足足：内内可可导导，在在已已知知,1)(lim,0)(),0()( xfxfxfxxeexfxfx1)()( xxfxfx1)()( 故故21)()(xxfxf 可分离变可分离变量方程量方程,dd xx,ln1)(lncxxf .)(1xexf 1, 1)(lim cxfx得得由由的的特特解解为为满满足足1)(2113 xyxyxydxdy,)(1xcexf 类似题类似题).1 () 1()() 2

25、()2007(fxxf的的幂幂级级数数，并并求求展展开开成成将将 hxfhfxfxhh)(e)(e)(lim0 对任意对任意e)0()()(1elim0 xhhhfhfxfh .41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf nntnna 0!1exaxfxfe)()( 即即满满足足),(, yx证证(1)afyfxfyxfxy ) 0 (, e ) (e ) ()()0()0()0(fff ),0() 0 ( aaf且且.0)0( f知知依题设，由依题设，由h

26、fhfxfxhhe)0()()()1(elim0 ,e )(e )()(xyyfxfyxf xfxfe)0()(1 0deee)(0d) 1(d) 1(00 xxxxxaxfxxhxfhxfxfh)()(lim)(0 一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程1 xt令令由常数变易公式，得由常数变易公式，得 0!)1e(nnntta解解(2)!e(001 nnnnntnta.e)d(e0 xxxaxxa ,)1(!1e0nnxnna )!)!1(e(01 nnnnntntattae ) 1e( nntnna!1)!1(11e1 xaxxfe)( 1e) 1( tta).,( xnnnxnf)1(!)

27、1(0)( !11e1nntnna 存存在在，并并证证明明：对对任任意意) (), () 1 (xfx )!e(001 nnnnntnta!11e1nntnna 存存在在，并并证证明明：对对任任意意) (), () 1 (xfx !1e!)1()(nnanfn ), 2 , 1 , 0( n由展开式的唯一性，得由展开式的唯一性，得. e2008) 1 ()2007(af .41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 满足：满足：设设)(xf, 1)(d)()

28、(12 xfttfttfx).()(xfxf可可导导，求求且且解解, 1)1(, 1 fx得得令令”：”：“xdd)()()(2xfxfxxf ),(xfy 令令1)1(,2 yyyxy则则关于关于y非线性非线性关于关于x为线性方程为线性方程题型题型3yxyyx 1dd与求导法有关与求导法有关例例4 .d)1 ()(1)()(, 2) 0 (, 0) 0 (),(2)(),()()(),(. 120 xxxfxxgIxfgfxfexgxgxfxgxfx 及及求求且且满满足足设设通解：通解：deed1d)1(Cyyxyyyy deelnlnCyyyy d1Cyyyy )(Cyy 得得由由, 1)

29、1( y0 C即即,2yx xy .)(xxf 故所求故所求类似题类似题,d)()()(2022xttftxxfx .)(的表达式的表达式求求xf0) 0 (,2)(2)( fxxxfxf答案：答案：.1)(2 xexf. 044) ( yyyyB例例5足足具有连续偏导数，且满具有连续偏导数，且满设设),(vufuvvufvufvu ),(),(.),()(2并求其通解并求其通解，所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程求求xxfexyx 解解xvxuvuxxvufvufexxfexy 1),(1),(),(2)(2222)(2xexyx 222xeyyx 即即一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性

30、方程222xeyyx 由常数变易公式，得由常数变易公式，得)d(d222d2Cxeexeyxxx )d(22Cxxex ).()3(32为任意常数为任意常数CCxex 类似题类似题).(, 0)(,. 1222rfrgradfdivzyxrf求求若若具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，设设 解解,)(zfyfxfrgradf xrrfxf )(rxrf )(yrrfyf )(ryrf )(zrrfzf )(rzrf )(知识点：知识点： 梯度；梯度； 散度；散度； 多元复合函数求导；多元复合函数求导； 可降阶微分方程可降阶微分方程. )(rgradf)(,)(,)(rzrfryrfrxrf

31、 )(rgradfdivPQRzRyQxP xrxrfxP )()()()(rxxrfrxxrf zRyQxPAdivRQPA ,22)()(rxrxrrfrxrf )1)()(322rxrrfrxrf 同理同理yryrfyQ )()1)()(322ryrrfryrf zrzrfzR )()1)()(322rzrrfrzrf )(rgradfdivzRyQxP )(2)(rfrrf ，则则若若0)( rgradfdiv0)(2)( rfrrf0)(2)( rfrrf则则令令),(rfp prdrdp2 可分离变量方程可分离变量方程,2 drrpdp1lnln2lnCrp ,21rCp 21)(

32、rCrf drrCrf 21)(.21CrC .,)()(. 222222222uuyxyuxuyxuu试试求求满满足足方方程程有有连连续续二二阶阶偏偏导导数数，且且已已知知 答案：答案：.)(212)(2112222yxyxeCeCu .,)(. 322222222uyxyuxuyxuu试试求求满满足足方方程程有有连连续续二二阶阶偏偏导导数数，且且已已知知 答案：答案：.16)()ln(2222221yxyxCCu )()(1)(222yxrrrurru 4.).(,)sin()(22222ufzeyzxzyefzufxx求求满满足足方方程程具具有有二二阶阶连连续续导导数数，而而设设 解解则

33、则令令,sin yeux xzxuuf )(yeufxsin)( )(22xzxxz )(uufx uuf)( xuuufdud )(uufuuf )()(知识点：知识点： 多元复合函数求偏导数多元复合函数求偏导数二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 yzyuuf )(yeufxcos)( )(22yzyyz cos)(yeufyx )sin()(cos)(yeufyeyufxx )()()cos()(2uufyeufx .41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgf

34、xgxfxgxfxgxf .41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf .41, 0) () (, 0) ( , 0) 0 (),() (),() () ( ),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 22yz将将) ( ) ( ) (22u f u u f u e u fx 得得,22222zeyzxzx 代入代入)(ufz )()(22ufeeufxx 0)()( ufuf.

35、)(21uueCeCuf 解解得得 Ldyyxxyyxdxyyx0)(22)()()( 222 例例6:)() 1 (所所满满足足的的微微分分方方程程试试将将 yxx 0)(sin(322 dydxxydyxd;) (满满足足的的微微分分方方程程变变换换成成xyy :) 2(足足初初始始条条件件求求变变换换后后的的微微分分方方程程满满.23)0(,0)0(的的解解 yy由由反反函函数数求求导导公公式式，知知(03年考研年考研)解解(1)ydydx 1)(22dydxdyddyxd )1(ydyd dydxydxd )1(dydxyy 2)(3)( yy 得得代入方程代入方程;) (满满足足的的

36、微微分分方方程程变变换换成成xyy 0)1( )sin()(33 yxyyyxyysin 即即知识点：知识点： 反函数，复合函数求导法反函数，复合函数求导法 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程)2(0 yy特特征征方方程程：,012 r12 , 1 r特特征征根根：xxeCeCY 21的通解为的通解为0 ki不不是是特特征征根根， 的的特特解解为为可可设设立立xBxAysincos 21,0 BA代入代入，得，得xysin21 的的通通解解为为从从而而方方程程xxeCeCy 21xsin21 得得由由,23) 0 ( , 0) 0 ( yy 232102121CCCC1, 121

37、 CC故故所所求求初初值值问问题题的的解解为为xxeey 化化简简微微分分方方程程用用变变量量代代换换)0 (cos ttx得得由由,23) 0 ( , 0) 0 ( yy类似题类似题，0)1(2 yyxyx.2, 100的的特特解解 xxyy并并求求其其满满足足dtdxdtdydxdyy1 (05年考研年考研)解解dtdytsin1 dtdxdxdydtddxdydxddxydy1)()(22 dtdytdxdysin1 dtdytdxdysin1 )sin1()sin1(tdtdytdtd )sin1()sin1sincos(222tdtydtdtdytt dtdyttdtydt 3222

38、sincossin1代代入入原原方方程程，得得将将 yyy , ,dtdyttdtydty 3222sincossin1.2, 100的的特特解解 xxyydtdytysin1 tx cos 0)sin1(cos)sincossin1(sin32222 ydtdyttdtdyttdtydtt022 ydtyd即即012 r其特征方程为其特征方程为ir 特征根：特征根：tCtCysincos21 于是此方程的通解为于是此方程的通解为2211xCxCy 从而原方程的通解为从而原方程的通解为.41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲

39、满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf ,)(3)()(22223222 tzyxtdVzyxftftf连续，且连续，且设设).(, 0tft求求 解解320020sin)(3)(tdrrrfddtft 3020)(sin6tdrrfrdt 3020)()cos(6tdrrfrt 302)(12tdrrfrt 0)0(,3)(12)(22 fttfttf 一阶线性方程一阶线性方程题型题型4与积分法有关与积分法有关例例703)(0202120212 dtetetfttdtttdtt dtetettt3340243 )4(41340433tdeettt 41044

40、33tttee 41413344 ttee)1(4134 te 例例8).()(,1)0(,0)0(yyL 和和试试确确定定有有二二阶阶导导数数，曲曲线线，为为平平面面上上任任意意一一条条封封闭闭其其中中 设设，得得由由xQyP 解解) ( 22 ) ( 2)( ) ( 22yyyxyyx 0)()()()(2 yyyyyx 即即2),(Ryx ”：“x 知识点：知识点： 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件; 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程.0 ) ( ) ( yy 0)()(2 yyy )()(yy )(2yy ) 1 () () (2yyy 之之通通

41、解解：可可求求得得)1(2sincos)(221 yyCyCy 得得由由,0)0( 21 C得得由由, 1) 0 ( 1) 0() 0( yyCyy2cossin2)(2 12 C2sincos2) (2 yyyy yyyyy2cossin2)()( LdyxxfdxxxyfL0)()(2.1422，恒恒有有封封闭闭曲曲线线若若对对平平面面上上的的任任何何简简单单类似题类似题).(, 2) 0 (),()(xffxf试试确确定定且且内内有有连连续续的的一一阶阶导导数数，在在其其中中 得得由由,xQyP 解解32242 ) () ( 2xxxfxxf ,2xu 令令, 2)()(uufuf )1

42、(24)( xexfx恒恒有有的的与与路路径径无无关关，对对于于任任意意，具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数设设,),(2),(.2tdyyxQxydxyxQL ),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydx).,( yxQ求求xxQ2 解解) ( 22 ) ( 2)( ) ( 22yyyxyyx ) (2) , (y gxdxy xQ )(2ygx ) 1 ,()0 , 0(),(2tdyyxQxydx)1,( t xyo tdxx002t 10),(dyytQ1 102)(dyygt 102)(dyygt ), 1 () 0 , 0 ()

43、,(2tdyyxQxydx),1(t xyo tdyyQ0), 1(1t tdyyg0)(1 tdyygt0)( 102)( dyygt tdyygt0)( 1002) () (dyygttdyygt即即12)( ttgt求求导导：两两边边对对12)( yyg ),(yxQ)(2ygx . 122 yx使使试试确确定定),(xf例例9), ()( 4) ( )( 4y xdudyxfxfydxxfeax .为为常常数数其其中中a)(4)()(4xfxfxfeax 解解) ( 22 ) ( 2)( ) ( 22yyyxyyx ) 1 ()(4)(4)(axexfxfxf ) 2(0)(4)(4)

44、( xfxfxf特特征征方方程程：0442 rr22, 1 r特特征征根根：知识点：知识点： 曲线积分与路径无关的曲线积分与路径无关的 四个等价命题；四个等价命题； 含参数的二阶常系数非含参数的二阶常系数非 齐次线性微分方程齐次线性微分方程.的的通通解解为为方方程程) 2 (xexCCY221)( a 时时，当当 21 a22 k是是特特征征重重根根， xAexy22) 1 ( 的的特特解解为为设设立立方方程程，可可得得代代入入21),1( Axexy2221) 1 ( 之之特特解解： )(2xfa时时，当当 xe xCC221)(xex2221 时时，当当22 a0 ka 不不是是特特征征根

45、根， axAey 的的特特解解为为设设立立方方程程 ) 1 (，可可得得代代入入2)2(1),1( aAaxeay2) 2(1) 1 ( 之之特特解解： )(2xfa时时，当当axea2)2(1 xex2221 ).,(),()()()(),()(,21) 1 (3yxuyxdudyxydxxxxxx并并求求使使可可导导，试试确确定定设设 类似题类似题)( 21) (),() () (23xxxxxxx 答案：答案：Cxxyyxu )(2),(2.)!3(03的的和和函函数数求求 nnnx知识点：知识点： 曲线积分与路径无曲线积分与路径无 关的四个等价命题；关的四个等价命题； 伯努利方程伯努利

46、方程.，都都有有曲曲面面内内任任意意的的光光滑滑有有向向封封闭闭设设于于半半空空间间 0 x例例10 0dddd)(dd)(2yxzexzxxyfzyxxfx yxzexzxxyfzyxxfxdddd)(dd)(02解解由题设和高斯公式得由题设和高斯公式得 yxzexzxxyfzyxxfxdddd)(dd)(02zyxexxfxfxfxVxddd)()()(2 围围成成的的有有界界闭闭区区域域，为为封封闭闭曲曲面面其其中中 V号号，取取的的法法向向量量指指向向外外侧侧时时，当当有有向向曲曲面面 号号。取取的的法法向向量量指指向向内内侧侧时时，当当有有向向曲曲面面 的的任任意意性性，知知由由 )

47、 0(0)()()(2 xexxfxfxf xx由由常常数数变变易易公公式式有有 Cxeexexfxxxxxd1)(d)11(2d)11( Cxxeexxexxxd12)(Cexexx 方方程程，为为一一阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分)0(1)()11()( xxxfxxfxe2即即根根据据无无穷穷小小的的比比较较知知，,1lim)(lim200 xCeexfxxxx由由于于 ,0lim20 xxxCee. 101 CC从从而而，即即于于是是).1()( xxexexf.2, 1)(),(0d)2(d一一周周的的旋旋转转体体体体积积最最小小轴轴旋旋转转轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形绕绕

48、以以及及与与直直线线使使得得由由曲曲线线解解的的一一个个求求微微分分方方程程xxxxxyyxyyxyxyx 042:) ( yy xyxy 满满足足题型题型5解解先先求求通通解解112 yxdxdy原方程可化为：原方程可化为：线性方程线性方程 )1(22Cdxeeydxxdxx22)1(CxxCxx 旋旋转转体体体体积积求求2知识点：知识点： 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 定积分几何应用定积分几何应用旋转体体积旋转体体积 一元函数的最值一元函数的最值与微积分的几何应用有关与微积分的几何应用有关例例11dxyV 212 dxCxx 2122)( )37215531(2 CC 得得令令, 0)

49、215562()( CCV 12475 C,0562)( CV又又最最小小值值点点，是是唯唯一一极极小小值值点点，也也是是12475 C.12475)(2xxxyy 所求所求)(3xy求求例例12)()(2)(22thyxthz 需需多多少少时时间间？厘厘米米的的雪雪堆堆全全部部融融化化问问高高度度为为数数是是比比例例系系面面积积成成正正比比知知体体积积减减少少的的速速率率与与侧侧已已间间单单位位为为小小时时设设长长度度单单位位为为厘厘米米，时时130),9 . 0(),(为为雪雪堆堆的的侧侧面面积积，则则为为雪雪堆堆体体积积，记记 SV解解知识点：知识点： 重积分的几何应用重积分的几何应用

50、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 曲面片的面积曲面片的面积 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程oxyz2) (:222t hyxD DdxdyyxzV),(dxdythyxthD)()( 2)(22 rdrthrthdth)(2)(2)(0220 )(2th 2 ) ( 2 ) ( 41222) (022rt h d rt ht h )(2th 2)(02222)(21thrth )(43th ) ()( 2) (22t hyxt hz )()(0zDthdxdydzV或或 )(022)()(thdzzthth (截面法截面法)(022)()()(4thzththth )( th) ()( 2)

51、 (22t hyxt hz oxyz2) (:222t hyxD 2) () (: ) (222z t hthyxzD dSSdxdyzzDyx 221dxdythythxD 22)(4()(4(1dxdyyxththD )(16)()(1222 )()(0zDthdxdydzV或或rdrrthdthth 2)(0222016)()(1 )(12132th SdtdV9 . 0 依依题题意意，)(43thdtd )(12139 . 02th )()(342thth )(4133 . 02th 3 . 1)( thCtth 3 . 1) (得得由由,130)0( h130 C1303 . 1)

52、( tt h)(100, 0)(小小时时得得令令 tth.100130小小时时为为需需时时间间厘厘米米的的雪雪堆堆全全部部融融化化所所因因此此高高度度为为.)()(,0),()(的的反反函函数数是是且且内内具具有有二二阶阶导导数数，在在设设xyyyxxyxyy 题型题型6.41, 0)()(, 0)(, 0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 解解依依题题设设条条件件，得得)()()(xfxgxf , 0)()( xfxf即即, 012 r特特征征方方程程：ir 2, 1特征根：

53、特征根：xCxCxfsincos)(21 通解：通解：，得得由由0)0( fxCxfCsin)(, 021 知识点：知识点： 原函数原函数 定积分几何意义定积分几何意义 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程两函数存在某种关系两函数存在某种关系例例13xCxfxgcos)()(2 0)(, 0cos4, 0 xgxx而而时，时，当当 02 Cxxgxftan)()(, 故面积：故面积：dxxgxfA 40)()( dxx 40tan 40cosln x. 2ln21 hxfhxxfh11)()(1lim0 类似题类似题 2)0(, 0)0(2)()(ffexfxfx答答案案：.1

54、1,cossin)(eIexxxfx 2.在在其其中中设设)(),(),()()(xgxfxgxfxF ),()(:),(xgxf 内内满满足足条条件件)()(xfxg .2)()(, 0)0(xexgxff 且且.)()2(;)()1(的的表表达达式式求求出出所所满满足足的的一一阶阶微微分分方方程程求求xFxF答案：答案：.)()2(,4)(2)()1(222xxxeexFexFxF 题型题型7与级数有关的问题与级数有关的问题,)!3()(03 nnnxxss),( x )!3(! 9! 6! 313963nxxxxn )!13(! 8! 5! 213852nxxxxsn )!23(!7!

55、4! 12374nxxxxsn sss,xe0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ssxesss 例例14知识点：知识点： 一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程; 幂级数求和幂级数求和.解解对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程：0 sss其其特特征征方方程程为为012 rr特特征征根根为为ir23212,1 )23sin23cos(212xCxCeSx 的通解为的通解为01 k不不是是特特征征根根， 设设非非齐齐次次线线性性方方程程xAes 的特解为的特解为31 A代入代入，得，得xes31 故故有特解：有特解： sSs的通解为：的通解为：xxexCxCe31)23sin23cos(21

56、2 时时，有有当当又又0 x 0)0(1)0(ss311 C31232121 CC0,3221 CC从从而而所所求求和和函函数数为为xxexexs3123cos32)(2 时时，有有当当设设1,. 10 nxannn)( x类似题类似题., 1, 4, 0) 1(102求求此此幂幂级级数数的的和和函函数数且且 aaannann 1)0(,4)0(0)()(10asasxsxs解解,)(11 nnnxnaxs.41, 0)()(, 0)(, 0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf

57、.3) 0 (, 0) 0 (09的的幂幂级级数数的的特特解解，并并将将其其展展开开成成满满足足初初始始条条件件求求xyyyy .2523)(xxeexs .41, 0)()(, 0)(, 0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 2.xnnnexxfxf1) () ( 解解)()(1Cdxeexexfdxxndxn 通通解解：线性方程线性方程)(1Cdxxenx )(Cnxenx ，得得由由nefn ) 1 (0 Cxnnenxxf )(xnnnnenxxf 11)(于于是是 1

58、01nxnxdxxedxxexnnx)(011 ,110 xxdxxe) 1 , 1( x),1ln(xex )1,1 x.41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf .41,0)()(,0)(,0)0(),()(),()()(),(所所围围成成的的面面积积与与线线求求由由曲曲满满足足条条件件若若函函数数xyxgxfyxgfxgxfxgxfxgxf 3.092 r解解特征方程：特征方程：ir3 特征根：特征根：xCxCy3sin3cos21 所给方程的通解：所给方程的通解：xCxCy3cos33sin321 ，及及由由3)0(, 0)0( yy.1,021 CC得得xy3sin 特特解解