扇形、圆柱、圆锥面积公式

1、. -扇形、圆柱、圆锥面积公式扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图学习目标  1. 掌握根本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。  2. 扇形面积公式： n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。  3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高  r底面半径  h圆柱高  4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。  5. 了解圆柱由两

2、平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。  6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。  7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如下图，假设圆柱的底面半径为r，高为h，那么：，。  8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的

3、一半。如下图，假设圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么。 重点、难点扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。 【典型例题】  例1. 如图1，矩形ABCD中，AB1cm，BC2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余局部的面积。图1解：AB1，BC2，F点在以B为圆心， BC为半径的圆上，BF2，在RtABF中，AFB30°，ABF60°   例2. 扇形的圆心角150°，弧长为，那么扇形的面积为_。解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，由弧

4、长公式，得：由扇形面积公式，故填。点拨：此题主要考察弧长公式和扇形面积公式。   例3. 弓形的弦长等于半径R，那么此弓形的面积为_。弓形的弧为劣弧。解：弓形弦长等于半径R弓形的弧所对的圆心角为60°扇形的面积为。三角形的面积为。弓形的面积为。即。故应填。点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差。此题假设没有括号里的条件，那么有两种情况。   例4. 假设圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积为_。解：圆锥的底面直径等于a。底面半径为，底面圆的周长为。沥青保温泵又圆锥的母线长为a，圆锥的侧面积为。故应填

5、点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式求得。   例5. 如图2所示，OA和OO1是O中互相垂直的半径，B在上，弧的圆心是O1，半径是OO1，O2与O、O1、OA都相切，OO16，求图中阴影局部的面积。图2解：设O2与O、O1、OA分别切于点D、C、E，设O2的半径为r，连结O1O2，O2E，过点O2作O2FO1O于F，连结O1B、OB、OO2。O1O6，l  又，舍去3GR螺杆泵又是等边三角形，扇形和扇形的面积相等且都等于。沥青齿轮泵所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B的面积之和减去三角形O1OB的面积，即：又扇形OAO1的面积为：沥

6、青泵阴影局部的面积为：     点拨：此题比拟复杂，考察的知识面比拟多，要正确作辅助线，找出解题的思路。   例6. 在半径为2的圆，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120°和60°，求两弦间所夹图形的面积及周长。解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：如图3所示，由题意，图3那么AOB120°，COD60°又ABCD，AOCBOD又AOCBOD180°AOCBOD90°又   故所求面积为又AOC90°，同理又OCD是等边三角形，CDOCOD2又所求的周长如图4所示，由第

7、一种情况，得所求面积：图4所求周长   点拨：要注意此题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形的面积求法要求正确掌握，熟练运用。 沥青保温泵  例7. 如图5所示，正方形的边长是4cm，求它的切圆与外接圆组成的圆环的面积。答案保存1999年图5解：设正方形外接圆、切圆的半径为R、r，面积为。常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一点读者应认真体会。   例8. 如图6所示，ABC接于O，且ABBCCA6cm图61求证：OBC30°；2求OB

8、的长结果保存根号；3求图中阴影局部的面积结果保存。解：1ABBCCA，A60°BOC120°，又OBOC，OBC2过O作ODBC于D，OBOC，BC6cm，3即阴影局部面积是。3GR螺杆泵常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而无法证明OBC30°；当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公式记错产生的错误，也是考试中的常见错误，应引起警觉。 沥青齿轮泵  例9. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。点悟：如图7所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成

9、直角三角形即RtSOA，且SO10，SAl，OAr，关键找出l与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即。图7解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为l，由题意得  在RtSOA中，  由、得：。所求圆锥的侧面积为。   例10. 圆锥的轴截面是等腰PAB，且PAPB3，AB2，M是AB上一点，且PM2，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多少？点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形PBB'，A点落在A'点，那么所求A'、M之间的最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。解：如图8所示，扇形的圆心角360°图8

10、A'PB60°，在A'PM中，过A'作A'NPM于N，那么， 【模拟试题】答题时间：40分钟一、填表1：正n边形边长为a正n边形中心角半径边心距周长面积n3     n4     n6      2：正n边形半径R正n边形中心角半径边心距周长面积n3     n4     n6 

11、;     二、填空题：  1. 如果扇形半径长3cm，圆心角120°，那么它的面积是_cm2。  2. 假设圆锥母线长5cm，高3cm，那么其侧面展开图的圆心角是_度。  3. 假设圆锥底面半径为3cm，母线长5cm，那么它的侧面展开图面积是_cm2。  4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm，高为8cm，今有一长12cm的吸管斜放入杯中，假设不考虑吸管粗细，那么吸管最少露出杯口处的长度是_cm。  5. 用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧面，那么

12、圆锥底面半径是_cm。  6. 如图1，正方形ABCD边长为2，分别以AB、BC为直径在正方形作半圆，那么图中阴影局部面积为_平方单位。图1  7. 如图2，AB2cm，AOB90°，AOBO，以O为圆心，OA为半径作弧AB，以AB为直径做半圆AmB，那么半圆和弧AB所围阴影局部面积是_cm2。图2  8. 假设圆锥侧面积为，母线长5cm，那么圆锥的高为_cm。  9. 圆柱外表积为，它的高为2cm，那么底面半径为_cm。  10. 矩形ABCD中，AC4cm，ACB30°，以直线AB为轴旋转一周，得到圆柱外表积为_cm2。

13、 三、解答题：  11. 扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为的圆面积，那么这个扇形的圆心角为多少度？沥青保温泵  12. 如图3，半圆O，以AD为直径，AD2cm，B、C是半圆弧的三等分点，求图中阴影局部面积。图3  13. 如图，割线PCD过圆心O，且PD3PC，PA、PB切O于点A、B，PAB60°，PA，AB与PD相交于E，求弓形ACB的面积。【试题答案】一、填表：1正n边形中心角半径边心距周长面积n3120°3an490°4an660°a6a 2正n边形中心角半径边心距周长面积n3120°n490°n660°R6R 二、填空题：  1. 2. 288   3.   4. 2   5. 10 6.   7. 1   8. 4cm 9. 3cm  10.  三、解答题：  11. 解：由题意，设所求圆心