专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)

1、专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出， 并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1 .如图所示，在半彳5为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点 P垂直磁场射入大 量的带正电，电荷量为 q,质

2、量为m,速度为v的粒子，不考虑粒子间 的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是()A .只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B.对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D.只要速度满足丫=却，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如图所示，长方形 abed的长ad=0.6m ,宽ab=0.3m , O、e分另J是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以 O为圆心Od为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重

3、力、质量 m=3X 10-7kg、电荷量 q=+2 M03C的带正电粒子以速度 v=5X102m/s沿垂直ad方向且垂 直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是()A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子，出射点分布在 ab边D.从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3 .如图所示，在坐标系 xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为Oi (a, 0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿 x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, 一质量为m、电荷量为+q (q>0)的

4、粒子以速度 v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从 O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求:(1)磁感应强度B的大小；(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3)若将电场方向变为沿 y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度 v从。点垂直于磁 场方向、并与x轴正方向夹角9=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总圆形有界磁场中“磁聚焦”第11页时间to4 .如图所示的直角坐标系中，从直线 x=-210到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中 x轴上方的电场方向沿 y轴负方向，x轴下方的电场方向沿 y轴正方向。续以相同速

5、度 v0沿x轴正方向射入电场。从 At和匀强电场的电场强度 E的大小。在电场左边界从 A (-210,-1。)点到C (-21°, 0) 点区域内，连续分布着电量为 +q、质量为m的 粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连点射入的粒子恰好从 y轴上的A' (0, -1。)点沿 沿x轴正方向射出电场， 其轨迹如图所示。不计 粒子的重力及它们间的相互作用。(1)求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间(2)求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动?(3)为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设方t分布

6、垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿 x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度 B是多大？5 .如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度 Bi=1T,方向垂直纸面向里，该区域同时与 x轴、y轴相切，切点分 别为A、C;第四象限中，由 y轴、抛物线FG ( y =10x2 +x0.025,单位：m)和直线DH (y=x0.425,单位：m)构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E=2.5N/C的匀 强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强

7、磁场B2=0.5T。现有大量质量m=ixi0-6kg (重力不计)，电量大小为q=2X10-4C,速率均为20m/s的带负电的粒子从 A处垂直磁场 进入第一象限，速度方向与 y轴夹角在0至1800之间。(1)求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2)试证明这些粒子经过 x轴时速度方向均与 x轴垂直；(3)通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。y/m_ ，H MxMxxxxXXXxXXX6 .如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy内，存在着两个边长为 L的正方形匀强电场区 域I、n和两个直径为 L的圆形磁场区域出、Wo电场的场强大小均为 巳 区域I的场强方 向沿X轴正方向

8、，其下边界在 X轴上，右边界刚好与区域n的边界相切；区域n的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域W的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为2 112mE ,区域出的圆心坐标为( qL0,上)、磁场方向垂直于 xOy平面向外;2区域IV的圆心坐标为(0, -2)、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为 m、电荷量均为q的带正电粒子 M、N ,在外力约束下静止在坐标为(-3 L , - )> ( -L, 2M L )2224的两点。在x轴的正半轴(坐标原点除外)放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。

9、不计粒子的重力。求：(1)粒子离开电场I时的速度大小。(2)粒子M击中感光板的位置坐标。(3)粒子N在磁场中运动的时间。7 .如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心Oi在x轴上，OOi距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为 Bi。虚线MN平彳T x轴且与半圆相切于 P点。在MN上方是正交的匀强电场 和匀强磁场，电场场强大小为 E,方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2o B1, B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过 P点射入MN后，恰好在正交的电磁 场中做直线运动，粒子质量为 m,电荷量为q (粒子重

10、力不计)。求：(1)粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2)若撤去磁场 B2,则经过P点射入电场的粒子从 y轴出电场时的坐标。(3)试证明：题中所有从原点 O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8 .如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强 度大小B=2.0X10-3t,方向垂直于纸面向里，在 x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域，电场强度E=1.5M03N/C,在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从。点处向不同方向发射出速率相同的比荷9=1.0Ml09C/kg带负电的粒子，粒m子的运动轨迹在纸

11、面内。 一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M,恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：(1)粒子M进入电场时的速度。(2)速度方向与y轴正方向成30° (如图中所示)射入磁 场的粒子N,最后打到荧光屏上，画出粒子N的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。9 .如图甲所示，质量m=8.0 M0- 25kg ,电荷量q=1.6 1015C的带正电粒子从坐标原点。处沿xOy平面射入第一象限内，且在与 x方向夹角大于等于 30 °的范围内，粒子射入时的速度方 向不同，但大小均为 V0=2.0 107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy平面向里的匀强磁场y轴平

12、行的荧光屏 MN上，并且(兀=3.1锵：磁感应强度大小 B=0.1T ,若这些粒子穿过磁场后都能射到与 当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(1)粒子从y轴穿过的范围。(2)荧光屏上光斑的长度。(3)打到荧光屏 MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)。参考答案1.当v，B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为匀速圆周运动；只要速度满足v=qBR时,在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径 m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项D正确。mv2.由R =4 =0.3m知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁

13、场的半径相等, qB从Oa入射的粒子，出射点一定在 b点；从Od入射的粒子,经过四分之一圆周后到达be,由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达 b点；选项D正确。3.解析：(1)当粒子速度沿 x轴方向入射，从A点射出磁场时,几何关系知:r=a;2由qvB = m匕知：B =rmv mvqr qa(2)从A点进入电场后作类平抛运动;沿水平方向做匀加速直线运动:2EqamVx沿竖直方向做匀速直线运动:vy=V0 ；，粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：tan 82Eqamv2VxvyOO1PO2构成菱形,6 3v粒子在电场中做匀变速运动的时间:, 2mvt2 =；Eq(3)粒子从磁场中的 P点

14、射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等,故粒子从P点的出射方向与 OOi平行，即与y轴平行；轨迹如图所示;粒子从。到P所对应的圆心角为01=600,粒子从。到P用时：t13由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=asin01 = a；12粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：t3 = 2(aS) =(2 拘a ；vv粒子由P点第2次进入磁场，从 Q点射出，PO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为(2a, 0)点；粒子由P到Q所对应的圆心角 &=120°,粒子从P到Q用时：T 2 二at4 二；3 3v，粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间:t=t112t3t4

15、 二W"a 2mvoEq4.解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有+2l0t 二V0从A点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知loi Eq t(2)（2）设距C点为Ay处入射的粒子通过电场后也沿x轴正方向，第一次达水平方向以口0飞竖直方向；：y =qE（：t）22 mx轴用时t,有欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x轴正方向，有2lo = n 2Ax(n =i, 2,3,)解得：.旷=，更也）2 n 2m v0即在A、C间入射的粒子通过电场后沿1x轴正万向的 y坐标为y =l0(n =1 , 2n3,)n=1 时,粒子射出的坐标为n=2 时,粒子

16、射出的坐标为yi - lo_ 1,y2 - -二 l04n4时,沿x轴正方向射出的粒子分布在则磁场的最小半径为 R = L =迫28若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图）轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由qv0B =2mvo得：B=8m05ql0yi到y2之间（如图）yi到y2之间的距离为2vmv 5.解析：(1)由 qvBi =m一知：R=0.1m RBi（2）考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K点离开磁场,。1和。2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此OiAO 2K为菱形,离开磁场时速度垂直于 O

17、2K,即垂直于x轴，得证。（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（ x, yi）,离开电场时的坐标为（x, y2）,离开电场时速度为V2；1cle在电场中运动过程，动能th理：Eq（y2 -y1） =-mv2mv22其中 y1 =10x2 +x0.0025, y2 =x0.425 解得 v2=100x在B2磁场区域做圆周运动的半径为V2R2,有 qv2B2 =m-R2解得R2=x因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为 x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因V2的方向与DH成450,且直线HD与y轴的夹角为450,则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为

18、(0, - 0.425)。126.解析：(1)粒子在区域I中运动，由动能定理得EqL=mv222EqLm解得V0 二mv0(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B=m上，又有B=2r2mE /口,解得r =qLqB因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故 周期后经过原点进入磁场IV ,再运动四分之一个周期后平行于场n后做类平抛运动。m在磁场in中运动四分之一个x轴正方向离开磁场，进入电假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，则M在电场n中运动的的时间t v0（1分）沿电场方向的位移1 -1 Eq / ly = 2at =2 布 （v；）（2分）假设成立，运动轨迹如图所示。沿电场方向的速

19、度vy =at = . qEL，2min .V、，1速度的偏向角 tan 1 =二一 v02设射出电场n后沿 x轴方向的位移xi,有 x12 4 tan 二M击中感光板的横坐标 x =2 +L +4=2L ,位置坐标为(2L, 0)(1分)(3) N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场出，从原点。离开磁场出进入磁场IV,然后从d点离开磁场IV,沿水平方向进入电场H。轨迹如图。史L在磁场出中，由几何关系cos?- 上则9=300,圆弧对应的圆心角2（）=1800- 300=1500粒子在磁场中运动的周期T粒子在磁场出中运动的时间IV中运动时间相等;III由对称关系得粒子

20、在磁场ID、故粒子在磁场中运动的时间mL5 二t =2t1 =16 ,2qE 7 .解析：(1)粒子在正交的电磁场做直线运动，有Eq=qv0B2解得v0 =2粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有 qv0B1 =m RmvnmE解得R 0R二雇 qB1B2qB1 qB1B2由题意知粒子在磁场 Bi中圆周运动半径与该磁场半径相同，即(2)撤去磁场B2,在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速R =-Eqt2竖直方向匀速 y = v(3)证明：设从 O点入射的任一粒子进入Bi磁场时，速度方向与 x轴成。角，粒子出Bi磁场与半圆磁场边界交于 Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边

21、等长是平行四边形， 所以半径O2Q与OOi平行。所以从Q点出磁场速度与 O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入 MN边界。进入正交电磁场 E、B2中都有Eq = qVoB2故做直线运动。8 .解析：(1)由沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知 粒子M在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m。2粒子M在磁场中匀速圆周运动有：qvB =mR解得 v ="qBR =1 106m/ sm(2)由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。在电场中运动的加速度大小a =且=1.5M1012m/s2m穿出电场的竖直速度 vy=at=aL=7.5 105m/s v速度的偏转角tan) = =0.75 v在磁场中从P点穿出时距O点的竖直距离 Ay1 =1.5r =0.75m在电场中运动沿电场方向的距离Ay2 =1at2 =1£q (L)2 =0.1875m222 m v射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上Ay3 =(x_r _L)tano( =0.75m最好达到荧光屏上的竖直坐标y =Ay1 _(Ay2 +Ay3) =-0.1875m故发光点的位置坐标(2m, - 0.1875m) 29 .解析：粒子在磁场中匀