高阶方程降阶法ppt课件

1、4.3 高阶方程的降阶法高阶方程的降阶法 和幂级数解法和幂级数解法Step-down Order Method and Series Method4.2 内容回想内容回想)()()(tfxtadtxdtadtxdnnnnn11110111xtadtxdtadtxdnnnnn)()(2)()()()(txctxctxctxnn2211)()()()()(txtxctxctxctxnn2211方程类型方程类型0 xL0)(11nnnaaF根本解组或通解根本解组或通解)(tfxL常数变易法常数变易法特解特解相相加加比较系数法比较系数法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法求解方法求解方法本节内容本节内容/Co

2、ntents/ 1 . 几类可降阶高阶方程几类可降阶高阶方程2 . 幂级数解法求特解幂级数解法求特解1) 方程不显含未知函数方程不显含未知函数 及及0),()(nxxxtFx)(,1 kxxx01),()()()(nkkxxxtFnk 1那么方程可降为那么方程可降为 阶的方程，即可降阶的方程，即可降 阶阶 knk4.3.1 可降阶的方程的类型可降阶的方程的类型n 阶方程的普通方式阶方程的普通方式4.3 Step-down Order Method and Series Methodyxk)(0),()(knyyytF).( 584),(21kncccty方法方法令令那么那么).( 584的通解

3、的通解假设可求得假设可求得),(21)(knkccctyx逐次积分逐次积分 次，可得原方程的通解。次，可得原方程的通解。k4.3 Step-down Order Method and Series Method0 ),(xxtF,yx 0),(yytF),(1ctx),(21cctx 特别，对于二阶方程特别，对于二阶方程),(1cty积分，可得原方程的通解积分，可得原方程的通解yx 4.3 Step-down Order Method and Series Method解解 令令 014455dtxdtdtxdydtxd4401ytytcecydtt111tcx1)4(221)3(2ctcx3

4、231)2(6ctctcx例例1 求方程求方程的通解。的通解。432241224ctctctcx54233251ctctctctcx4.3 Step-down Order Method and Series Method2)不显含自变量不显含自变量 的方程的方程t0),()(nxxxF).( 594yx ydtdxdtdx )(可降低一阶可降低一阶方法方法令令dtdxdxdydxdyydtdxdxdyydxddxdyydtdx )()(2222222dxydydxdyydxydydxdyy)()(4.3 Step-down Order Method and Series Method假定假定d

5、tdxfdxddxyddxdyyfdtdxnnn),()(22将将)(,nxxx ).( 594),()(2nxxyyyfdxdy代入原方程代入原方程 ),()(221nnndxyddxdyyfx),()(11nxxyyyf4.3 Step-down Order Method and Series Method011),(nndxyddxdyyxG降低一阶降低一阶),(121ncccxyxdtdxy分别变量，可得原方程的解。分别变量，可得原方程的解。),(121ncccx4.3 Step-down Order Method and Series Method例例2 求解方程求解方程 02 )(

6、xxxyx dxdyyx 02ydxdyyx0y或或ydxdyx解解 令令xdxydy1lnlncxyxcy14.3 Step-down Order Method and Series Methodxcx1dtcxdx121221ctcx21222ctcx0y0 xcx 21222ctcx4.3 Step-down Order Method and Series Method那么那么(4.2)的根本解组可以求得。的根本解组可以求得。可降低可降低 k 阶，即可得到阶，即可得到 n-k 阶的齐次线性方程。阶的齐次线性方程。3) 齐次线性方程齐次线性方程0111xtadtxdtadtxdnnnnn)

7、()().( 24知知 (4.2)的的 k 个线性无关的特解，那么个线性无关的特解，那么(4.2)结论结论特别地，假设知特别地，假设知(4.2)的的 n-1 个线性无关的解，个线性无关的解，4.3 Step-down Order Method and Series Methodkxxx,21kixi,210yxxkyxyxxkkyxyxyxxkkk 2yxyxxnknkn)1()1()1(na1na2na1a令令方法方法 设设是是(4.2)的的 k 个线性无关的解个线性无关的解yxyxnnyxnyxxnknknknkn)()()()()()( 21214.3 Step-down Order M

8、ethod and Series Method0221111yxtaxtaxtaxyxtaxnyxknnknknknkknk)()()()()()()()()(令令zy 01111ztbztbznnn)()()()().( 674n-1阶线性方程阶线性方程)(kxxyzzdtxxk可将可将 化为化为 阶线性方程阶线性方程).( 241n或或4.3 Step-down Order Method and Series Method同理，对于同理，对于 就知道了就知道了 个非零解个非零解1k)(kiixxz121ki, 01111ztbztbznnn)()()()().( 674).( 674且其线

9、性无关，且其线性无关，0112211kkzzz0112211)()()(kkkkkxxxxxx01112211)(kkkxxxxkkkkxxxx112211kixi,21线性无关，线性无关，021k4.3 Step-down Order Method and Series Method类似地类似地, ,令令1kzzu或或udtzzk 102312utcutcunnn)()()()()(1kiizzu221ki, 线性无关的解，线性无关的解，继续下去，得到一个继续下去，得到一个 n-k n-k 阶的线性齐次方程阶的线性齐次方程假设假设 k= n-1 k= n-1，那么可得到阶线性齐次方程，那么可

10、得到阶线性齐次方程，那么那么可求得通解。可求得通解。4.3 Step-down Order Method and Series Method)(1xxy令令ydtxx1yxydtxx11 yxyxyxydtxx1111 yxyxydtx1112特别，对于二阶齐次线性方程特别，对于二阶齐次线性方程022xtqdtdxtpdtxd)()(假设知其一非零解假设知其一非零解01 xx，那么可求得通解。，那么可求得通解。4.3 Step-down Order Method and Series Method 02111111ydtxtqyxtpydtxtpyxyxydtx)()()(02111yxtpx

11、yx)(yxxtpxy1112)()()(dttpdxxdtxxtpxececy1111112121dttpdttpxexceec)()(ln211121 4.3 Step-down Order Method and Series Methoddttpexcy)(211基解组为基解组为dtexxdttp)(2111,1x通解通解)()(dtexccxtxdttp212111ydtxx1P.1134.3 Step-down Order Method and Series Method例例4 4 知知ttxsin是方程是方程02 xxtx的解，试求方程的通解。的解，试求方程的通解。解解ttp2)(

12、)sin(sindtettccttxdtt122221)sin(sindttcctt2211)cossin()(sintctctctgtcctt212114.3 Step-down Order Method and Series Method4.3.2 4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法二阶线性方程的幂级数解法 求特解求特解解解nnxaxaxaay2210为方程的解为方程的解0)0(y00a例例5 5xydxdy00 )(y的解。的解。求方程求方程的满足初始条件的满足初始条件设设nnxaxaxaxay33221nnnnxanxnaxaxaay112321132)(xxaxaxann)(221

13、nnxaxaxa2211)(4.3 Step-down Order Method and Series Method,01a,122a212annnnxanxnaxaxaa112321132)(nnxaxaxa2211)(nnaan11)(11naann)!()()(113111111211nannannanannn!nan1,32n4.3 Step-down Order Method and Series Method!nan1,32n)!(nxxxyn3232xnxxxn12112)!(xex1)()(cxdxeecxdxeeyxxdxdxxxxxcexcexee1)(1xeyx1, 01

14、cc4.3 Step-down Order Method and Series Method042 yyxy00 )(y10 )(y设级数解为设级数解为nnxaxaxaay2210由于由于所以所以1 010aa,nnnnnxaxaxaxxaxy33222211nnnxnay 221nnnxanny)(例例8 8的解。的解。求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件 解解00 )(y10 )(y4.3 Step-down Order Method and Series Method2212204121nnnnnnnnnxaxxnaxxann)()()(22204261nnnnnnnxanaxxa

15、nn)()(0 0次项系数次项系数022a! 次项系数次项系数2042122nnanann)()( 1 1次项系数次项系数0633a!02a13a4.3 Step-down Order Method and Series Method022 aak12123211122kkkakaka)(11211211)()()(kkaka12121kkakannnanannna)()()(1212422n 为偶数时，即为偶数时，即 n = 2 k ，由上述递推公式得，由上述递推公式得n 为奇数时，即为奇数时，即 n = 2 k+14.3 Step-down Order Method and Series

16、Method)!(127531312111kxkxxxxy)!(kxkxxxx26421312112xxe!kak11202ka!)(kakakkakakkk1111133212124.3 Step-down Order Method and Series Method例例7 7 求初值问题求初值问题xydxdyx2解解1nnnxay11nnnxnay111nnnnnnxxaxna 1 1次项系数次项系数11a次项系数次项系数21nnana)!()!()(11111nananann00 )(y设设132121nnnxnxxxxny!)!(对任给对任给0 x级数发散，因此不存在幂级数方式之解。级

17、数发散，因此不存在幂级数方式之解。4.3 Step-down Order Method and Series Method存在性：存在性：P157158 P157158 定理定理1010，定理，定理11114.3 Step-down Order Method and Series Method练习：练习：1 求解方程求解方程012 )(xx2 用幂级数方法，求方程满足条件的特解用幂级数方法，求方程满足条件的特解0(0)1,(0) 0 xxtxx3 假设方假设方程程 0 xtqxtpx)()(有一特解为有一特解为 ，那么方程系数满足什，那么方程系数满足什么么关系，其中关系，其中 延续。延续。tx )(),(tqtp假设方程有方式为假设方程有方式