高等数学第二节_正项级数的收敛性ppt课件

1、正项级数正项级数: :. 01 nnnuu 中中各各项项均均有有级级数数正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :.有有上上界界部部分分和和第第正正项项级级数数收收敛敛nsn 任任意意项项级级数数正正项项级级数数常常数数项项级级数数.非非减减部部分分和和第第nsn特点特点: :证明证明, ,11 nkknnnusv , ,1部分和有上界部分和有上界的第的第即即nunn nvvv 21, ) i (1收收敛敛若若 nnv;1收收敛敛则则 nnu, )ii(1发散发散若若 nnu.1发散发散则则 nnv.收收敛敛 nnuuus21则则有有时时当当均均为为正正项项级级数数和和设设, ,11n

2、nnnnnvuNnvu 一、比较判别法一、比较判别法发发大大发发小小收收；小小收收大大的敛散性，可设的敛散性，可设由前有限项不影响级数由前有限项不影响级数,.2 , 1 nvunn，) i (证明证明)ii(,1收收敛敛假假设设 nnv,) i (1收收敛敛级级数数知知则则由由 nnu,1发发散散相相矛矛盾盾这这与与级级数数 nnu.1发发散散即即：级级数数 nnv, ) i (1收收敛敛若若 nnv;1收收敛敛则则 nnu, )ii(1发发散散若若 nnu.1发发散散则则 nnv则则有有时时当当均均为为正正项项级级数数和和设设, ,11nnnnnnvuNnvu 一、比较判别法一、比较判别法发

3、发大大发发小小收收；小小收收大大：例例1.131211 1 1的收敛性的收敛性调和级数调和级数判别判别 nnn解：解： 1)11ln(nn和级数和级数 11 nn调和级数调和级数都是正项级数都是正项级数发散，发散，级数级数 1)11ln(nn)0( ,)1ln( xxx,.)2 , 1( ,1)11ln( nnnii),(由由比比较较判判别别法法.1 1是是发发散散的的调调和和级级数数 nn调和级数发散的证法调和级数发散的证法2:2: nnss2:因因为为 )2121111211(nnnn)1211(n nnn212111 nn2 ,21 .,11snn其和为其和为收敛收敛假设调和级数假设调和

4、级数 )lim(2nnnss则则ss , 0 .11发散发散所以：调和级数所以：调和级数 nn,210 得得.这是不可能的这是不可能的解解, 1时时当当 p,11nnp .级级数数发发散散 P,1时时当当 poyx)1(1 pxyp121 nn有有时时 ,1 npppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11 ppppnpnn1413121111例例2 2 判别判别 p -p -级数级数 p p为实数为实数.的收敛性的收敛性111 ppnn,11 nnpdxx发散发散 11 nnnpxp11111 ,111 p,有上界有上界ns.级级数数收收敛敛 P 发散发散时时当当收敛

5、收敛时时当当级数级数,1,1:11ppnpnppppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1:11ppnpnp例：例：重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, ,调和级数调和级数,p-,p-级数级数. .,11 nnn,11 nn121 p发散；发散；,112 nn123 p收敛；收敛；12 p收敛；收敛；解：解：nn21121 由由发散，发散，发散知级数发散知级数由级数由级数 11211nnnn.原级数发散原级数发散.1211的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nn例例3 3知知敛法敛法

6、则由正项级数的比较审则由正项级数的比较审,.)2)(1(11的收敛性的收敛性判断级数判断级数 nnn例例4 4解：解：21)2)(1(1nnn 由由收敛，收敛，级数级数 121nn.原级数收敛原级数收敛知知敛法敛法则由正项级数的比较审则由正项级数的比较审,1是正项级数是正项级数设设 nnu nnnuu1lim若若),(的的情情况况含含 ;, 1:级级数数收收敛敛时时则则 ;,1级级数数发发散散）时时（或或 优点优点: : 不需求另寻参考级数不需求另寻参考级数. ., 1失失效效时时 证明证明, 0 对对,N , 时时当当Nn ,1 nnuu有有),(1Nnuunn 即即,1是是正正项项级级数数

7、设设 nnu nnnuu1lim若若),(的的情情况况含含 ;, 1:级级数数收收敛敛时时则则 ;,1级级数数发发散散时时 ., 1失失效效时时 nnnuu1lim,1时时若若 ,1时时若若 ,1 取取, 10 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu右端对应的级数收敛右端对应的级数收敛,左左端端对对应应的的级级数数也也收收敛敛从而可知从而可知, 原级数收敛原级数收敛;, 1 取取, 1 r使使, 时时当当Nn ,1nnnuruu , 0lim nnu故原级数发散故原级数发散.),(1Nnuunn 即即.,类似可证类似可证时时当当 解解,2111 nnnu例例

8、5 5.21的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnnnnnuu1lim .所以原级数收敛所以原级数收敛,2nnnu 211lim nnn21 nnnnn221lim1 1 解解,)!1(211 nunn例例6 6.!21的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnnnnnuu1lim .所以原级数收敛所以原级数收敛,!2nunn 12lim nn0 !2)!1(2lim1nnnnn 1 解解例例7 7).0(1 rnrnn的的收收敛敛性性判判断断级级数数nnnuu1lim .所以原级数发散所以原级数发散r 代入原级数得：代入原级数得：nnnnrrn1)1(lim ;, 10:级数收敛级数收敛时时则则

9、 r;,1级级数数发发散散）时时（或或 r, 1时时 r 1nn，0lim nnu例例8 8.!5)2(.6421的的收收敛敛性性判判断断级级数数 nnnn解解,)!1(5)22)(2(.64211 nnnunnnnnuu1lim .所所以以原原级级数数收收敛敛,!5)2(.642nnunn )1(522lim nnn52 !5)2(.642)!1(5)22)(2(.642lim1nnnnnnnn 1 阐明：阐明：!)!2()2(.642nn 记记作作 !)!12()12(.531 nn记记作作 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是

10、是否否成成立立? ? 由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛. 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. . 12nnu反之不成立反之不成立. .例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.解解因因为为 1nnu收收敛敛， , 0lim nnu所以所以, 0MuMunn 有有有有界界，即即存存在在因因此此,2nnuMu 则有则有 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 证证明明级级数数 1nnnu收收敛敛. . 是正项级数，且是正项级数，且证明证明 1nnnu),1(212nnunnu 由于由于 121nn收敛收敛,收敛，收敛， 1nnu也收敛也收敛 ， 12)1(21nnun因此因此收敛收敛 ， 12)1(nnun所以所以收敛收敛 . 1nnnu由比较判别法，知由比较判别法，知1.1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条