南大复变函数与积分变换拉普拉斯逆变换PPT学习教案

1、会计学1南大复变函数与积分变换拉普拉斯逆变南大复变函数与积分变换拉普拉斯逆变换换一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 1. 公式推导 函数 的 Laplace 变换 )(tf)()( jFsF 就是函数 的 Fourier 变换， ttutf e)()(.d)()()()(ee ttutfjFsFtjt 即 .d)(21)()(ee tjtjFtutf在 的连续点 t 处，有 )(tf(2) 根据 Fourier 逆变换， (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知， 推导 第1页/共25页一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 1. 公式推导 在 的连续

2、点 t 处，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根据 Fourier 逆变换， 推导 (3) 将上式两边同乘 并由 有 ,et , js .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 第2页/共25页称 (B) 式为反演积分公式。 定义 该直线处于 的存在域中。 ,Re s)(sF注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 c j j P227 ( 9.16 )式 一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对: 第3

3、页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法1. 留数法 利用留数计算反演积分。 则 设函数 除在半平面 内有有限个孤立奇点 cs Re)(sF定理 且当 时， s,0)(sFnsss,21外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF . )0( t jjt sssFjtf d)(21)(e证明 (略) t seP227定理 9.2 (进入证明?)第4页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2. 查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。 利用 Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace变换来求逆变换。 大多数情况下，象函数 常常为(真)分式形式：

4、 )(sF,)()()(sQsPsF 其中，P(s) 和 Q(s) 是实系数多项式。 由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函数。 常用 (真分式的部分分式分解)第5页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质 第6页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换 第7页/共25页)2( )1(15)( ssssF.21 sBsA(1) (单根) 解 方法一 利用查表法求解 有 (2) 由 11as ,eta )()(1sFtf .322eett 213112

5、11 ss2 3 第8页/共25页解 方法二 利用留数法求解 .322eett (1) 为 的一阶极点， 2, 121 ss)(sF1ee2151,)(Res st st ssssF,2et 2ee1152,)(Res st st ssssF.32et (2) 2,)(Res1,)(Res)(eet st ssFsFtf 第9页/共25页.)1(122 sCsBsA(重根) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解 方法一 利用查表法求解 )()(1sFtf .eee2tttt 1 1 1 有 (2) 由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例9.17 第10页/共25

6、页解 方法二 利用留数法求解 (1) 分别为 的一阶与二阶极点， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF,2et 1)e(e21,)(Res st st sssF(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt 第11页/共25页)3( 4)1()1()(22 ssssF(1) 解 方法一 利用查表法求解 (复根) 3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB, )3(2) 1(2) 1() 1(222 sCsBsAs令 得 ,3 s;2 A令 得 ,21is , )22( )22()

7、22(2 iCBii,1,1 CB2 1 1第12页/共25页)3( 4)1()1()(22 ssssF解 (1) 方法一 利用查表法求解 (重根)3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB2 1 1,2)1(22)1(13122222 ssss(2) 由 11as ,eta 2212)1(1 ss,2cosett 2212)1(2 s,2sinett )()(1sFtf .2sin2cos2eee3ttttt 得 第13页/共25页解 方法二 利用留数法求解(略讲) (1) 为 的一阶极点， iss21,33,21 )(sF,23,)(Res3eett ssF .2121

8、,)(Res)21(eetit siisF .2sin2cos2eee3ttttt (2) tititiitf)21()21(3eee21212)( 第14页/共25页解 方法一 利用查表法求解 ,)1(1111)(2 ssssF.1)(eettttf 方法二 利用留数法求解 1,)(Res0,)(Res)(eet st ssFsFtf 分别为 的一阶与二阶极点， 1,021 ss)(sF 02)1(est ss1)e( st ss.1eettt 第15页/共25页解 方法三 利用卷积定理求解 .1eettt 1e tt t0d1e1)1(1121ss 21)1(11)( sstf方法四 利用

9、积分性质求解 .d)()(101 tttgsGs.1eettt tttt0de tts021d)1(121)1(11)( sstf第16页/共25页 轻松一下第17页/共25页利用留数计算反演积分的定理证明 附： 证明 如图，作闭曲线 ,RCLC 大时，可使 的所有奇点包含 t ssFe)(当 R 充分 在 C 围成的区域内。 R L CR 解析 Rj Rj 由留数定理有： Ct sssFd)(e, ,)(Res2e1kt snkssFi RCt sLt sssFssFd)(d)(ee由若尔当引理(5.3), 当 时， 0 t,0d)(lime RCt sRssF. ,)(Rese1kt sn

10、kssF jjt sssFj d)(21e即得 (返回)第18页/共25页将上式两边同乘以 得 )(as )()()()(1assQassP , )()()(11assQsPA 1. Q(s) 含单重一阶因子的情况 , )()()(1sQassQ , )(as 若 Q(s) 含单重一阶因子 即 )()()(sQsPsF )()()(1sQassP asA ,)()(11sQsP 则 将实系数真分式 化为部分分式 附： )(/ )()(sQsPsF ,as assQsPA )()(1.)()(1aQaP 令 即得 第19页/共25页2. Q(s) 含多重一阶因子的情况 ,)(mas , )()(

11、)(2sQassQm 若 Q(s) 含多重一阶因子 即 )()()(sQsPsF )()()(2sQassPm 则 ,)()()()(221110sQsPasAasAasAmmm 将上式两边同乘以 得 mas)( 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP将实系数真分式 化为部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 第20页/共25页2. Q(s) 含多重一阶因子的情况 ,as 两边逐次求导，并令 即得 ,as assQsPA )()(20,)()(2aQaP 令 即得 askkksQsPskA )()(dd!12. )1,2,1( mk 1110

12、)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP将实系数真分式 化为部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 第21页/共25页将实系数真分式 化为部分分式附： )(/ )()(sQsPsF 上面讨论了 含单重和多重一阶因子的情况，如果是 )(sQ在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。 但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。 即如果复数 为 的零点，那么它的共轭复数 jbaz )(sQ也必为 的零点。 jbaz )(sQ因此， 必含有(实的) )(sQ 由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的， 下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。 .)(

13、22bas )(zszs 二阶因子 第22页/共25页, )()()(322sQbassQ )()(3sQsPbDasC )()()(33sQsP , )(22bas )()()()(322sQbassPsF 22)()(basbDasC)()(33sQsP则 ,)(22bas 将上式两边同乘以 得 3. Q(s) 含单重二阶因子的情况 将实系数真分式 化为部分分式附： ,)(22bas 若 Q(s) 含单重二阶因子 即 )(/ )()(sQsPsF 令 ,bjas )()(3jbaQjbaP ,bDjbC 有 第23页/共25页3. Q(s) 含单重二阶因子的情况 将实系数真分式 化为部分分式