整理天一专升本高数知识点

1、 第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：，图像关于原点对称。 偶函数：，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若，则是比高阶的无穷小量。（2）若（不为0），则与是同阶无穷小量 特别地，若，则与是等价无穷小量（3）若，则与是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限 （1） 使用方法：拼凑 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 （2） 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件

2、得拼凑。5、 的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限 左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断 连续的定义： 或 间断：使得连续定义无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型 （1）、第二类间断点：、至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：、都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不

3、是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。（2） 零点定理：如果在上连续，且，则在内至少存在一点，使得 第三讲 中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得b记忆方法：脑海里记着一幅图：2、 拉格朗日定理如果满足（1）在闭区间上连续 （2）在开区间（a,b）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点，使得脑海里记着一幅图： （*）推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C

4、恒为常数。 记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且，那么 记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点 满足的点，称为函数的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极大值，称为极大值点。设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极小值，称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注在原点即是拐点6、 单调性的判

5、定定理设在内可导，如果，则在内单调增加；如果，则在内单调减少。 记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；7、 取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、 取得极值的充分条件第一充分条件：设在点的某空心邻域内可导，且在处连续，则（1） 如果时，; ,那么在处取得极大值；（2） 如果时，；，那么在处取得极小值；（3） 如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值； 记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，则 （1）如果，那么在处取得

6、极大值； （2）如果，那么在处取得极小值9、 凹凸性的判定设函数在内具有二阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹的；（2）如果，那么在内凸的。图像表现：凹的表现 凸的表现10、 渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1） 水平渐近线：若,则有水平渐近线 (2) 垂直渐近线：若存在点，则有垂直渐近线 （2） 求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。11、 罗比达法则遇到“” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用把函数变成“” 、“”。第二讲 导数与微分 1、 导数的定义（1）、（2）、（3）、注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。

7、2、 导数几何意义：在处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与乘积为13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、 求导方法总结（1）、导数的四则运算法则（2）、复合函数求导： 是由与复合而成，则 （3）、隐函数求导 对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导 设确定一可导函数，则 (5) 、对数求导法 先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6）、幂指函数求导 幂指函数，利用公式 然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。 第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、 高阶

8、导数对函数多次求导，直至求出。6、 微分 记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1） （2）在x=0既连续又可导。 在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。 第四讲 不定积分一、 原函数与不定积分1、 原函数：若，则为的一个原函数；2、 不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、注：求导与求不定积分互为逆运算。四、 积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（

9、凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法三角代换三角代换主要使用两个三角公式：4、 分部积分法 第五讲 定积分1、定积分定义 如果在上连续，则在上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1） 如果在上连续，且，则表示由，x轴所围成的曲边梯形的面积。S=。（2） 如果在上连续，且， S=。3、定积分的性质： （1） （2）=（3）（4）（5）如果，则（6）设m,M分别是在的min, max,则 M m 记忆：小长方形面积曲边梯

10、形面积大长方形面积（7）积分中值定理 如果在上连续，则至少存在一点，使得 记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。 称为在上的平均值。4、 积分的计算（1）、变上限的定积分注：由此可看出来是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t（2）、牛顿莱布尼兹公式 设在上连续，是的一个原函数，则 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1）、若在上为奇函数，则 （2）、若在上为偶函数，则注：此方法只适用于对称区

11、间上的定积分。6、 广义积分（1） 无穷积分 7、 定积分关于面积计算 面积，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。 d c 面积S= 记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。8、 旋转体体积（1） y a b x曲线绕 轴旋转一周所得旋转体体积 ： （2）、 a b 阴影部分绕绕 轴旋转一周所得旋转体体积： （3）、 y d c x绕轴旋转一周所得旋转体体积 ： (4)、 y d c x 阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积: 第六讲 向量、空间解析几何（一）向量的相关考试内容一、 向量的基本概念1、 定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。（生活来源：力、速度

12、、加速度，位移）2、 向量的表示：或记为，其中为向量在 轴，轴，轴上的投影。其中，为向量在轴，轴，轴上的单位向量 3、 向量的模：，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做0向量。4、 向量的方向余弦： 并且：为向量与轴，轴，轴的正方向的夹角，叫做 的方向角。5、 ，则二、 向量的三种不同运算设向量，（1）线性运算，（2）两向量的数量积 向量，的夹角 ： 注：因为（3）两向量的向量积 定义： ，满足下述规则 1、 2、， 3、成右手系 称为的向量积，记作: 向量积的坐标表示： 的充要条件为：或 注：因为（二）、直线与平面的相关考试内容一、空间平面方程在空间直角坐标系下，一次方程表示空间一张平

13、面，这里A,B,C不同时为零。由A,B,C为向量坐标构成得向量叫做平面得法向量。即。（1）平面的位置若A=0,即该平面平行轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,过原点。记忆方法：“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。二、空间直线方程一般式：, (一次项系数不成比例) 注：两个平面相交标准式： 注：（）为直线上一已知点，向量为直线的方向向量参数式：三、总结：专升本考试中重点考察两平面的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆的重点在于：（1）平面的法向量为,（2）直线的方向向量为（3）向量平行需满足：或或（4）向量垂直需满足四、两直线的位置关系： 设有两直

14、线 （1）的充要条件为 （2）得充要条件为（3）直线得夹角可由来确定。五、直线和平面的位置关系： 设直线方程为平面方程为：（1）的充要条件为（2）的充要条件为（3）直线与平面的夹角可由来确定。六、两平面的位置关系： 设有两平面 的充要条件是的充要条件是，的夹角可由确定。（三）、曲面的相关考试内容一、简单的二次曲面 （1）柱面方程 (2)球面方程 (3)椭球面方程 （4）旋转面方程以曲线为母线，轴为旋转轴的旋转曲面方程为第七讲 多元函数微分学一、 二元函数的概念定义：设有变量，如果当相互独立的变量在一定范围内取定任意一对值时，按照一定法则有唯一确定的数值与之对应，那么，称为的二元函数，记作。注：

15、二元函数的定义域为坐标平面上的一个区域，二元函数是悬浮在空间的一个曲面。二、 二元函数的极限定义：设函数在点某邻域有定义（但点可以除外），如果当点无论沿着任何途径趋向于时，都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点趋向于时，以A为极限，记为 三、 二元函数的连续性 若，则称在点连续。注：的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。四、 二元函数的偏导数 五、 偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。六、 全微分：七、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立

16、。若偏导存在且连续，则一定可微。函数的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。八、 二元复合函数求偏导 设， 则 ， 注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。九、 隐函数求偏导方程确定的隐函数为，则对等号两边同时对求导，遇到的函数，把当成中间变量。十、 二元函数的极值1、 二元函数极值存在的必要条件如果在点处取得极值，且两个偏导数存在，则有。若，则称是的驻点。2、 极值存在的充分条件如果在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且是驻点，设则（1）如果且，则是极大值 （2）如果且，则是极小值 （3）如果，则不是极值 （4）如果则此方法失效。十一、条件极值的拉格朗日乘数法。 方法一：（1）从条

17、件中求出 （2）将代入化为一元函数 （3）利用一元函数求极值的方法求最值 方法二：拉格朗日乘数法（1） 作拉格朗日函数（2） ,，（3） 解上述方程组得驻点，则点就是函数的极值点，依题意，判定它是极大值或是极小值。第八讲 多元函数积分学知识点一、 二重积分的概念、性质 1、 ，几何意义：代表由，D围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1） （2）=+ （3）、 （4）,=+ (5)若，则 （6）若则 (7)设在区域D上连续，则至少存在一点，使二、 计算（1） D:（2） D：，技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：

18、三、 曲线积分1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L：，则 = （2）若积分路径为L：，则 = （3）若积分路为L：，则 = 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L：，起点,终点，则（2） 若积分路径为L：，起点，终点，则（3） 若积分路为L：，起点，终点，则第九讲 常微分方程一、 基本概念 （1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。 （2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。 （3）微分方程的解：满足微分方程或。前者为显示解，后者称为隐式解 （4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数

19、与方程的阶数相同的解 （5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、 一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程（1）形如的微分方程。解法：变形为，两边作不定积分求出通解。 （2）形如的微分方程。 解法：令，则，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如。解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为： 在通常使用中建议选择常数变易法三、可降阶微分方程 形如的微分方程 解法：作n次不等式 形如的微分方程 解法：令四、二阶常系数

20、线性微分方程 形如的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程 形如的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。（其中，p,q均为常数）。 有关解的结构定理 (1) 定理1 若是二阶线性齐次方程的解，则其任意一个线性组合也是该方程的解 函数若满足为常数，称线性相关，若为常数，称 线性无关(2) 定理2 若是二阶线性齐次方程的两个线性无关的解，则就是该方程的通解。(3) 定理3 设是二阶线性非齐次方程的解，是的解，则是方程的解。(4) 定理4 设是二阶线性非齐次微分方程的特解，是与其对应的齐次方程的通解，则为方程的通解。1、 常系数二阶线性齐次方程 （1）求通解的步骤如下：(1)、写出（1）的特征方

21、程（2）写出特征方程的两个根（3）按照下列规律写出（1）的通解（7）环境影响评价的结论。实根二、环境影响评价的要求和内容实根2、 常系数二阶线性非齐次方程 （1） 写出对应的齐次方程（2）（3） D.可能造成轻度环境影响、不需要进行环境影响评价的建设项目，应当填报环境影响登记表写出齐次方程的通解（4） 写出的一个特解（5） 即为的通解。 （1）报送审批综合性规划草案和专项规划中的指导性规划草案时，将环境影响篇章或者说明一并报送。 3、 其中为实常数，为x的n次多项式 特解可设为= 其中为x的n次多项式，k按是否为特征方程的根来确定：（三）环境影响评价的原则 （2）规划编制机关在报送审批专项规划草案时，将环境影响报告书一并附送。4、环境影响