有理数知识点总结归纳和习题练习

1、 有理数知识点总结正数和负数正数和负数的概念负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8表示为：+8；零下8表示为：-83.0表示的意义0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没

2、有人；0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：有理数1. 有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 （

3、0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数总结：正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0统称为非正整数 正有理数、0统称为非负有理数 负有理数、0统称为非正有理数数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都

4、表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个

5、单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。相反数相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：相反数是成对出现的；相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2.相反数的性质与判定任何数都有相反数，且只有一个；0的相反数是0；互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则= -1(a0,b0)3.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴

6、上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。4.相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)5.相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a>0时，-a<0（正数

7、的相反数是负数）当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.可用字母表示为： 果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0。可归

8、纳为：a0，<> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0，<> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|0。即0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <> |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；互为相反

9、数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简当a0时， |a|=a ； 当a0时， |a|=-a （什么数的绝对值是它本身？回答

10、:非负数；什么数的绝对值是它的相反数？回答：非正数。）6.已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。有理数的加减法1.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化

11、简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：当b>0时，a+b>a 当b<0时，a+b<a 当b=0时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照

12、加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合，中

13、间“+”连结）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法

14、）-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+-.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合（1+

15、3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。注意：0没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数

16、的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。3.有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两

17、数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得05.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。 有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。（注意区分：和）有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加

18、减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。科学记数法把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。近似数1. 只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。2. 一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。（近似到哪一位，看最后一个数字在哪个位数上，如：，是一个万位数，最后一个数字8在百位上，所以精确到百位。） 数学思想方法分类讨论有理数的分类、绝对值化简、加法法则、乘法法则、乘方符号法则都需要分类讨论，分类原则是按照某一标准，不重不漏。 做题时，要先考虑是哪一种情况，再按照这种情况相应的法则来做。

19、数形结合利用数轴可以直观的看出有理数的符号、有理数的大小，相反数、绝对值；可以借助数轴理解有理数的加法；数轴上两点间的距离等于，如：即表示x的点与表示1的点之间的距离；即表示x的点与表示-1的点之间的距离。转化有理数的加、乘、乘方运算，只需要处理好符号，然后用绝对值进行计算，转化为小学的计算；有理数的减法、除法运算，利用法则转化为加法和乘法运算；转化原则是未知向已知转化、复杂向简单转化。程序化有理数的混合运算先定运算顺序、再定每步运算的类型、再定符号、最后再算绝对值。 特别注意1.概念题不要忽略“0”，注意“0”是有理数按符号分类中的一类，要把所有情况都考虑到；2.计算题不要丢符号，注意“一步

20、定号”，再算绝对值；3.遇到拿不准的问题，回到定义、法则去考虑；4.遇到读不懂题的时候，把中文叙述和数学符号语言相互转化试一试；5.很多问题借助数轴更加直观。强化训练一填空题计算：、平方得的数是_；立方得64的数是_.、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_.用“”、“”、“”号填空:（1）； （2）；（3）；（4）。的值是_。数轴上表示数和表示的两点之间的距离是_。若，则=_。平方等于它本身的有理数是_，立方等于它本身的有理数是_。.我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为_.、某数的绝对值是5，那么这个数是 。134756 （保留四个有效数字）、( )21

21、6，()3 。、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，则这个仓库现有电脑 台若x+2+y-3=0，则xy=_绝对值大于2，且小于4的整数有_x平方的3倍与-5的差，用代数式表示为_，当x=-1时，代数式的值为_若m，n互为相反数，则m-1+n=_观察下列顺序排列的等式： 9×0+1=1； 9×1+2=11； 9×2+3=21； 9×3+4=31； 9×4+5=41； 猜想第n个等式（n为正整数）应为_-_如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长

22、度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A，B是数轴上的点，请参照图1-8并思考，完成下列各题: （1）如果点A表示数-3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_，A，B两点间的距离是_； （2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点B表示的数是_，A，B两点间的距离为_；（3）如果点A表示数-4，将A点向右移动168个单位长度，再向左移动256个单位长度，那么终点B表示的数是_，A，B两点间的距离是_用科学计数法表示1200000=_.）-3的相反数是_,倒数是_,绝对值是_。）（14）根据要求，用四舍五入法取下列各

23、数的近似值：14249_（精确到百分位）；0.02951_（精确到0.001）。甲潜水员所在高度为45米,乙潜水员在甲的上方15米处,则乙潜水员的所在的高度是_ 平方得9的数是，一个数的立方是它本身,则这个数是_、将0 , 1 , 0.2 , , 3各数平方，则平方后最小的数是_、数轴上点A所表示数的数是18 , 点B到点A的距离是17, 则点B所表示的数是_、一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为 ；地下第一层记作 ；数2的实际意义为 ，数9的实际意义为 。二选择题 、在2，+3.5，0，0.7，11中负分数有（ ）

24、A、l个 B、2个 C、3个 D、4个、下列算式中，积为负数的是（ ） A、 B、 C、 D、下列各式中正确的是（ ） A B; C D、下列各组数中，相等的是（ ） A、1与（4）+（3） B、与（3） C、与 D、与16、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二 次低12分，第四次又比第三次高10分那么小明第四次测验的成绩是（ ） A、90分 B、75分 C、91分 D、81分 、不超过的最大整数是（ ） A、4 B3 C、3 D、4、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60出售，到三月份再声称以8折（80）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）

25、 A、高12.8 B、低12.8 C、高40 D、高28如果，下列成立的是（ ） A B C D计算的值是（ ） A B C0 D有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） Aa + b0 Ba + b0; Cab = 0 Dab0. 下面说法正确的有( ) 的相反数是3.14；符号相反的数互为相反数； （3.8）的相反数是3.8； 一个数和它的相反数不可能相等；正数与负数互为相反数个个个个下列各组算式中，其值最小的是（）; ; ; 、下列说法正确的是（ ）A.整数就是正整数和负整数 B.负整数的相反数就是非负整数C.有理数中不是负数就是正数 D.零是自然数，但不是正整数、下列各对数

26、中，数值相等的是（ ）A.27与(2)7 B.32与(3)2 C.3×23与32×2 D.(3)2与(2)3 、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）A.0 B.1 C .1 D.0或1、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）A. 8 B.7 C. 6 D.5、下列代数式中，值一定是正数的是( )Ax2 B.|x+1| C.(x)2+2 D.x2+1、已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（ ）A、均为负数 B、均不为零 C、至少有一正数 D、至少有一负数、计算的结果是（ ）A、21B、35C、35D、29、现规定一种新运算“*”：a*

27、b=，如3*2=9，则（）*3=（ ）A、 B、8 C、 D、现有以下四个结论：绝对值等于其本身的有理数只有零；相反数等于其本身的有理数只有零；倒数等于其本身的有理数只有1；平方等于其本身的有理数只有1其中正确的有（ ） A0个 B1个 C2个 D大于2个a，b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） Aa>0，b<0 Ba<0，b>0 Cab>0 D以上均不对（）下列交换加数位置的变形中，正确的是（ ）（A）1-4+5-4=1-4+4-5 （B）1-2+3-4=2-1+4-3（C）4.5- 1.7- 2.5+1.8=4.5- 2.5+1.8-1.7

28、（D）-+-=+ -（）近似数2.30×104的有效数字有（ ）（A）5个 （B）3个 （C）2个 （D）以上都不对）若-a不是负数，那么a一定是（ ）。（A）负数 （B）正数 （C）正数和零 （D）负数和零（）如图，在数轴上有a、b两个有理数，则下列结论中，不正确的是（ ）（A）a+b<0 （B）a-b<0 （C）a·b<0 （D）（-）3>02个有理数相加，若和为负数，则加数中负数的个数（）(A) 有2个 (B)只有1个 (C) 至少1个 (D)也可能是0个若三个有理数的和为0，则下列结论正确的是（ ） (A)这三个数都是0 (B)最少有两个数是

29、负数 (C)最多有两个正数 (D)这三个数是互为相反数两个数的差是负数,则这两个数一定是( ) (A) 被减数是正数,减数是负数 (B) 被减数是负数,减数是正数(C) 被减数是负数,减数也是负数下列四个式子：(1) , , (1)3 , (1)8.其中计算结果为1的有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球。已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）（A）3.84×千米（B）3.84×千米（C）3.84×千米（D）38.4&

30、#215;千米 计算，运用哪种运算律可避免通分（ ）(A)加法交换律 (B) 加法结合律(C)乘法交换律 (D) 分配律数a四舍五入后的近似值为3.1, 则a的取值范围是( )(A) 3.05a3.15 (B) 3.14a3.15 (C) 3.144a3.149 (D) 3.0a3.2 一个数的立方就是它本身,则这个数是( )(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 1或0或1三计算题（能用简便算法的用简便算法）（1）8()5(0.25) （2）82+72÷36（3）7×1÷(919) （4）25×+(25)×25×()（5）(79

31、)÷2×(29) （6）(1)3(1)÷3×3(3)2（7）2(x-3)-3(-x+1) (8) a+2(a-1)-(3a+5) （）（4-3）×（-2）-2÷（-）15()15(0.25)（）（-）2÷（-）4×（-1）4 -（1+1-2）×24) () () () () () （） ;（）29×(-12) （）25×(25)×25×()）3-(+63)-(-259)-(-41)； ）2)-(+10)+(-8)-(+3)；）598-84； ）-8721+53-12

32、79+43 ÷ ÷四、比较下列各对数的大小（1）与 （2）与 （3）与 （4）与、五在数轴上表示数：，按从小到大的顺序用连接起来六、（4分）（1）将下列各数填入相应的圈内： 2 ，5 ， 0 ，1.5 ，2 ，3 。 正数集合 整数集合（2 ）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： 。七、已知：，求的值.（5分）八(8分)数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, 5, 8(1). 计算以下各点之间的距离： A、B两点, B、C两点,C、D两点,九、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来。十已知|a|=7，|b|=3，求a+b的值。十一若x>0x，y<0，求的值。十二：应用题. (10分)某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家,再向西走150米到青青家,再向西走200米到刚刚家,请问:(1)聪聪家与刚刚家相距多远?(2)如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(数轴上一格表示50米).(3)聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所