统计概率知识点梳理总结材料

1、标准文档 实用大全 统计概率知识点梳理总结 第一章随机事件与概率 一、 教学要求 1 1 理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念， 掌握事件之间的关系与 运算. 2 2 了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 . 3 3 .理解条件概率的概念，掌握 概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运 用这些公式进行概率计算. 4 4 理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5 5 掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用 二项概率 计算有关事件的概率. 本章重点：随机事件的概率计算. 二、 知识要点 1 1 随机试验与样本空

2、间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1)(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2)(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3)(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现. 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间， 用 表示，其中的每一个结果用e 表示，e称为样本空间中的样本点，记作 e. 2 2 随机事件标准文档 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现 某种规律性的事情称为随机事件（简称事件）通常把必然事件（记作）与不可能事件 （记作） 看作特殊的随机事件. 3 3 . *事件的关系及运算 （1 1）包含：若

3、事件A发生，一定导致事件 B发生，那么，称事件B包含事件A，记 作 A B （或 B A）. （2 2）相等：若两事件A与B相互包含，即A B且B A ,那么，称事件A与B相 等，记作A B . （3 3） 和事件： “事件 A A与事件 B B 中至少有一个发生”这一事件称为 A A 与 B B 的和事 件，记作A B ；“n n 个事件A1， A2，L 1 An中至少有一事件发生”这一事件称为 n A. A2， L , An的和，记作A1 A2 L An （简记为）. （4 4） 积事件：“事件 A A 与事件 B B 同时发生”这一事件称为 A A 与 B B 的积事件，记作 A B（简

4、记为AB） ;“n n 个事件A1， A2， L 1 An同时发生”这一事件称为 n I A A, A2， L， An的积事件，记作A1 A2 L An （简记为A1A2L An或i 1 ）. （5 5） 互不相容： 若事件 A A 和 B B 不能同时发生，即AB ，那么称事件 A A 与 B B 互不 相容（或互斥），若 n n 个事件A, A2， L，人中任意两个事件不能同时发生，即 AAj （1 1 ij ij w几），那么，称事件A1， A2, L , A互不相容. （6 6） 对立事件：若事件 A A 和 B B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即 AB 且 A B ，那么，称

5、A A 与 B B 是对立的事件 A A 的对立事件（或逆事件）记作A . （7 7） 差事件：若事件 A A 发生且事件 B B 不发生，那么，称这个事件为事件 A A 与 B B 的 差事件，记作A B（或AB ）. 标准文档 实用大全标准文档 实用大全 (8(8) ) 交换律：对任意两个事件A和 B B 有 A B B A, AB BA. (9(9) ) 结合律：对任意事件 A A, B B, C C 有 A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C (1(10)0) 分配律：对任意事件 A A, B B, C C 有 A (B C) (A B) (A C) A (B

6、C) (A B) (A C) (11)(11)德g摩根(De Morgan De Morgan )法则：对任意事件 A A 和 B B 有 A_B A B , A_B A B. 4 4 .频率与概率的定义 (1)(1)频率的定义 设随机事件 A A 在 n n 次重复试验中发生了 nA次，则比值nA/ n n 称为随机事件 A A 发生 (2)(2)概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件 A A 发生的频率具有稳定性， 即当试验次数 n n 很大 时，频率fn(A)在一个稳定的值P(0v (0v P1) 0 0; 公理 2 2 （规性）对于必然事件 ，有P（ ） 1 ； 公理 3 3

7、（可列可加性）对于两两互不相容的事件 A A, ,A2，L 丄，有 P(UA) P(A) i 1 i 1 则称P（A）为随机事件A的概率. 5 5 . *概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 （1 1） P（ ） o. nA n 标准文档 实用大全 （2 2） （有限可加性）设 n n 个事件几,乓丄，人两两互不相容，则有标准文档 实用大全 n P(AI A L An) P(A) i 1 对于任意一个事件 A A: P(A) 1 P(A). 若事件 A A, B B 满足 A B，则有 P(B A) P(B) P(A) 5 P(A) P(B). ( (5 5) ) 对于任意

8、一个事件 A A, 有 P(A) 1 (6)(6)(加法公式) )对于任意两个事件 A A, B B,有 P(A B) P(A) P(B) P(AB). . 对于任意n个事件AA，L ,An，有 n n n 1 P(UA) P(Ai) P(AAj) P(AAjAk) L ( 1) P(AL An) i 1 i 1 1 i j n 1 i j k n 6 6. *条件概率与乘法公式 设 A A 与 B B 是两个事件在事件 B B 发生的条件下事件 A A 发生的概率称为条件概率, 记作P(A| B) 当P(B) 0，规定 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质. 乘法公式：对于任意两个事件

9、A A 与 B B,当P(A) O, ,P(B) 0时，有 P(A|B) P(AB) P(B) 标准文档 实用大全 P(AB) P(A)P(B|A) P(B)P(A| B) 7 7 . * *随机事件的相互独立性 如果事件 A A 与 B B 满足 P(AB) P(A)P(B), 那么，称事件 A A 与 B B 相互独立. 关于事件 A A,月的独立性有下列两条性质： (1)(1)如果P(A) 0，那么，事件 A A 与 B B 相互独立的充分必要条件是P(B|A) P(B)； 如果P(B) 0，那么，事件 A A 与 B B 相互独立的充分必要条件是 P(A|B) P(A). 这条性质的直

10、观意义是“事件 A A 与 B B 发生与否互不影响”. (2)(2)下列四个命题是等价的： (i)(i) 事件 A A 与 B B 相互独立； (ii)(ii) 事件 A A 与B相互独立； (iii)(iii) 事件A与 B B 相互独立； (iv)(iv) 事件A与B相互独立. 对于任意 n n 个事件A，A2,L ,代相互独立性定义如下：对任意一个 k 2丄，n，任意的 1 h L ik n，若事件A,A2,L ,人总满足 P(AhL Ak) P(AJL P(A 则称事件丄，An相互独立这里实际上包含了 2n n 1个等式. 8 8 . * *贝努里概型与二项概率 标准文档 实用大全

11、设在每次试验中，随机事件A发生的概率 P(A) P(0 P 1)，则在 n n 次重复独立 试验中，事件A恰发生 k次的概率为 Pn(k) n pk(1 p)n k,k 0,1L ,n k 称这组概率为二项概率. 9 9 . *全概率公式与贝叶斯公式 n U Ai 全概率公式：如果事件AAL A两两互不相容，且i ! , P(A) 0 , i 1,2,L , n，则 P(A|B) nP(Ak)P(B|Ak),k 1,2,L,n P(A)P(B| A) i 1 第二章离散型随机变量及其分布 一、 教学要求 1 .理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握 0 0- -1 1 分布、二

12、项分 布、泊松(Poisson)(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用. 2 理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计 算有关事件的概率. 3 .理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布. 4.4. 掌握离散型随机变量独立的条件. 5.5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布. 本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算 标准文档 实用大全 二、 知识要点 1 1 .一维随机变量 若对于随机试验的样本空间 中的每个试验结果e，变量X都有一个确定的实数值 与e相对应，即X X(e)，则称X是一个一维随机变量. 概率论主要研究

13、随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布. 2 2 . *离散型随机变量及其概率函数 如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X为离散型随机变量. 设离散型随机变量X的可能取值为a(i 1,2，L，n，L ), Pi P(X a,), i 1,2,L , n,L . Pi 1 若i 1 ，则称Pi(i 1,2丄 小丄)离散型随机变量 X的概率函数，概率函数也可用 下列表格形式表示： X a2 L an L Pr P1 P2 L Pn L 3. * *概率函数的性质 (1)(1) Pi 0 , i 1,2丄,n,L ; Pi 1 (2)(2) i 1 . 由已知的概率函数

14、可以算得概率 P(X S) Pi ai S 标准文档 实用大全 其中，S是实数轴上的一个集合. 4. * *常用离散型随机变量的分布 0 0 1 1 分布B(1,p)，它的概率函数为 i 1 i P(X i) p (1 p) 其中，i 0或 1 1, 0 p 1 . (2)(2)二项分布B(n, p)，它的概率函数为 n i n i P(X i) . p(1 p) i 其中，i 0,1,2,L , n , 0 p 1 . ( (4 ) )泊松分布P()，它的概率函数为 i P(X i) e i! 其中，i 0,1,2,L ,n,L ， 0. ( (5 ) )均匀分布，它的概率函数为 P(X a

15、) 1 n , 其中，i 0,1,2,L ,n 5 .二维随机变量 中的每个试验结果e,有序变量(X,Y)都有确定的一对实 数值与e e 相对应，即X X(e) , Y Y(e)，则称(XY)为二维随机变量或二维随机向 6 6 . * *二维离散型随机变量及联合概率函数 若对于试验的样本空间 标准文档 实用大全 如果二维随机变量(X,Y)仅可能取有限个或可列无限个值， 那么，称(X，Y)为二维 离散型随机变量. 二维离散型随机变量(X，丫)的分布可用下列联合概率函数来表示： P(X ai,Y bj) pj , i, j 1,2,L , Pij 0, i, j 1,2, L , a 1 其中，

16、i j 7 7二维离散型随机变量的边缘概率函数 设(X,Y)为二维离散型随机变量， Pij为其联合概率函数(i,j 1,2,L )，称概率 P(X aJU 1,2,L )为随机变量X的边缘概率函数，记为pg并有 p. P(X aj Pj ,i 1,2,L j , 称概率P(Y bj)(j 1,2丄)为随机变量Y的边缘概率函数，记为 p.j，并有 p P(Y bj) Pj, j 1,2丄 Pj = = i & &随机变量的相互独立性 设(X,Y)为二维离散型随机变量， X与Y相互独立的充分必要条件为 Pij PigPgj ,对一切 i, j 1,2,L . 多维随机变量的相互独立

17、性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二 维相应的结论. 9 9.随机变量函数的分布 设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，丫 g(X)是随机变量X的函数， 它也是一个随机变量.对离散型随机变量 X，下面来求这个新的随机变量 丫的分布. 设离散型随机变量X的概率函数为 标准文档 实用大全 X a 2 L an L Pr Pl P2 L Pn L 则随机变量函数丫 g（x）的概率函数可由下表求得 丫 g（x） g(aj gd L gn) L P Pl P2 L Pn 但要注意，若g（aJ的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概 率Pi相加. 第三章连续型随机变量及其

18、分布 、教学要求 1 1 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握 均匀分布、指数 分布、正态分布及其应用. 2 2 理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度; 会利用二维概率分布计算有关事件的概率. 3 3 .理解二维随机变量的 边缘分布，了解二维随机变量的条件分布. 4 4 .理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件. 5 5 .掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义.标准文档 实用大全 ( (不考)6 )6 会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单 函数的分布，会求两个随机变量

19、之和的概率分布. ( (不考) )7 .会求简单随机变量函数的概率分布 二、知识要点 1 1 . * *分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量 X取值不大于实数x的概率 P(X x)称为随机变量X的分布函数，记作F(x), ,即 F(x) P(X x), x 2 2 .分布函数F(x)的性质 (1)(1) 0 F(x) 1; ( (2 ) ) F(x)是非减函数，即当xi x2时，有F(xi) F(x)是右连续函数，即ximoF(x) F(a) 由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b的概率 本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算 ，边缘分布和

20、独立性计算 F(X2)； limF(x) o,limF(x) x 标准文档 实用大全 P(a X b) F(b) F(a); 也可以求得 P(X a) F(a) F(a 0). 3 3 .联合分布函数 二维随机变量(X，Y)的联合分布函数规定为随机变量 X取值不大于x实数的概 率，同时随机变量丫取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为 F(x,y)，即 F(x,y) P(X x,Y y), x , y 4 4 联合分布函数的性质 (1)(1) 0 F(x,y) 1 ； (2)(2) F(x,y)是变量x( (固定y) )或y ( (固定x) )的非减函数； lim F(x, y) o, l

21、imF(x,y) o (3)(3) x y , limF(x,y) 0, limF(x,y) 1 x x y y - (4) (4) F(x,y)是变量x( (固定y) )或y( (固定x) )的右连续函数； P(Xi X X2,yi Y y2)Fgy) F(X2,yJ F(xy2)F(x1) yi). 5 5 . *连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负函数 f (x),使得对于任一实 数x,有 x F(x) f (x)dx 成立，则称 X X 为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量 X的概率密度. 6 6 . *概率密度f(x)及连续型随机

22、变量的性质 标准文档 实用大全 (1) f(x) 0； (2) f(x)dx 1标准文档 实用大全 3)连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在F(x)的连续点处有 (4(4)设X为连续型随机变量，则对任意一个实数 c c, P(X c) ; (5)(5)设f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则有 b f (x)dx = a 其中, F (x) f (x)； P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) 7 7. *常用的连续型随机变量的分布 (1)(1) 均匀分布 R(a,b)，它的概率密度为 其中, i f(x) b a , x b; 其余. 指数

23、分布 E(), 它的概率密度为 f(x) x e , x ; 其余. 正态分布 N(, 2) ，它的概率密度为 标准文档 实用大全 f(x) 其中， 密度为 ，当 ， 1时，称(O,1)为标准正态分布，它的概率 标准文档 实用大全 2 f(x) ； e? 标准正态分布的分布函数记作 (x)，即 (X) 1 (X). 2 设X N(,)，则有 X F(x)( )； b a P(a X b)()() 8. *二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数 使得对于任意一对实数(x，y)有 F(x,y) 成立，则(X,Y)为二维连续型随机变量， 度. F (x, y

24、),如果存在一个二元非负函数 f (x, y), x y f (s,t)dtds f (x, y)为二维连续型随机变量的联合概率密 9. 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 当出X 0时, (X) (X) (x)可查表得到；当x 0时, t2 (x)可由下面性质得到 X 2 dt 标准文档 实用大全 (1)(1) f (x,y) 0, x, y ； f (x, y)dxdy 1 (2)(2)标准文档 实用大全 (2)(2) 设(X，Y)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线 L,有 P(X,Y) L) 0 ； (3)(3) 在f(X，y)的连续点处有 2 F(x, y) f (x, y

25、) x y (4)(4) 设(X，Y)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域 D有 P(X,Y) D) f (x, y)dxdy D 10,10, *二维连续型随机变量(X，Y)的边缘概率密度 设f (x, y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则 X的边缘概率密度为 丫的边缘概率密度为 fY(y) f(x,y)dx 11 11 常用的二维连续型随机变量 (1)(1)均匀分布 如果(X,Y)在二维平面上某个区域 G G 上服从均匀分布, 则它的联合概率密度为 1 (x, y) G; f(x, y) G的面积， 0, 其余. 2 2 (2)(2)二维正态分布N(仆2, 1 , 2 ,) fx

26、(X) f (x, y)dy ； 标准文档 实用大全 如果(X,Y)的联合概率密度标准文档 实用大全 态分布的边缘分布还是正态分布. 12 12 . *随机变量的相互独立性 如果X与丫的联合分布函数等于 X，丫的边缘分布函数之积，即 F(x, y) Fx(x)FY(y),对一切 x, y 那么，称随机变量 X与Y相互独立. 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则 X与丫相互独立的充分必要条件为 f (x, y) fx(x)fY(y),在一切连续点上 2 2 如果(X，Y)N( 1，2，1，2，).那么，X与Y相互独立的充分必要条件是 0 . 多维随机变量的相互独立性可类似定义.即多维随机变量的联

27、合分布函数等于每 个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论. 13 13 .随机变量函数的分布 * * 一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量 X的概率密度为fX (x),则随机变量丫 g(X)的分布函数为 1 (X 1)2 二 exp 2 厂- 2 2(1 2) 12 则称(X，Y)服从二维正态分布，并记为 f(x,y)- 2 1 2 2 (x J(y 2) (x i)2 2 1 (X,Y) N( 2 1, 2 , 1 , 如果(X,Y)N( )，则 XN( 12) Y N( 2, 2),即二维正 标准文档 实用大全 FY(y) P(Y y) P(g(

28、X) y) P(X Iy) fX(x)dx y标准文档 实用大全 其中，X Iy与g(x) y是相等的随机事件，而Iy x|g(x) y是实数轴上的 某个集合随机变量丫的概率密度fY(y)可由下式得到： fy(y) Fy). 连续型随机变量函数有下面两条性质： (i)(i)设连续型随机变量的概率密度为 fx(x), 丫 g(X)是单调函数，且具有一阶 连续导数，x h(y)是y g(x)的反函数，则丫 g(X)的概率密度为 fy(y) f(h(y) |h(y)| 2 2 2 (ii)(ii)设XN(,)，则当k 0时，有丫 kX bN(k b,k )，特别当 特别有下面的结论: 2 2 设X

29、N( 1, 1) , 丫N( 2, 2)，且X与丫相互独立，则 X YN( 1 2, 12 ；). 第四章 随机变量的数字特征 、教学要求 1 1 .理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布 的期望、方差， 2 2 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差. 3 3 .会根据随机变量X的概率分布计算其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随 !b X 时，有 丫 kX b N(0,1),- N(0,1) 标准文档 实用大全 机变量(X,Y)的联合概率分布计算其函数g(X,Y)的数学期望正Eg(X,Y).标准文档 ( (不考)4 )4

30、理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行 计算，了解矩的概念。 本章重点：随机变量的期望。方差的计算 二、知识要点 1 1. *数学期望 设X是离散型的随机变量，其概率函数为 P(X aj Pi, i 12L , a Pi 如果级数i 绝对收敛，则定义X的数学期望为 E(X) aiPi i ； 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 xf(x)dx绝对可积， 则定义X的数学期望为 E(X) xf (x)dx 2 2 . * *随机变量函数的数学期望 设X为离散型随机变量，其概率函数 P(X 3i) Pi, i 1,2,L , g(ai) pi 如果级数

31、i 绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为 Eg(x) g(ai)Pi i 标准文档 设(X，Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数 实用大全标准文档 实用大全 P(X ai,Y bj) Pj , i, j 1,2,L , g(ai,bj)pj 则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为 如果级数j i 绝对收敛， Eg(X,Y) 9佝，62 j i ； E(X) ai Pij; E(Y) bjPj 特别地 i i j i . 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(X)，如果广义积分 g(x)f(x)dx绝 对收敛，则X的函数g(x)的数学期望为 Eg(x) g(x)f(x)dx 设(X,

32、Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为 f (x, y)，如果广义积分 g(x, y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(XY)的函数g(X,Y)的数学期望为 Eg(x,y) g(x, y)f (x, y)dxdy ； 特别地 E(x) xf(x,y)dxdy, , E(Y) yf (x,y)dxdy 3 3 . *数学期望的性质 (1) E(c) c ( (其中c为常数) )； (2) E(kX b) kE(X) b ( (k,b为常数) )； (3) E(X Y) E(X) E(Y)； 如果X与相互独立，则E(XY) E(X)E(Y). . 4 4 . *方差与标准差 标准文档 实用大全

33、 随机变量X的方差定义为 2 D(X) EX E(X). 计算方差常用下列公式： D(X) E(X2) E(X)2 当X为离散型随机变量，其概率函数为 P(X aj Pi, i 1,2,L , 2 (ai E(X) Pi 如果级数i 收敛，则X的方差为 2 D(X) (ai E(X) Pi i ； 当X为连续型随机变量，其概率密度为 f(X)，如果广义积分 2 (x E(X) f(x)dx收敛，则X的方差为 D(X) (x E(x)2 f (x)dx 随机变量X的标准差定义为方差 D(X)的算术平方根,D(X). . 5 5 . *方差的性质 (1)(1) D(c) 0 ( (C 是常数)；

34、2 (2)(2) D(kX) k D(X) ( ( k为常数) )； (3)(3) 如果 X 与 Y 独立，则 D(X Y) D(X) D(Y). . 6 6 .原点矩与中心矩标准文档 2 实用大全 k 随机变量X的k阶原点矩定义为E(X )； k 随机变量X的k阶中心矩定义为E(X E(X) ； k l 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合原点矩定义为E(X Y )； 随机变量(X,Y)的(k,D阶混合中心矩定义为E(X E(X)k(Y E)1. 一阶原点矩是数学期望E(X)； 二阶中心矩是方差 D(X)D(X)； (1,1)阶混合中心矩为协方差cov(X,Y). . 7 7 . *常用分布

35、的数字特征 (1)(1)当X服从二项分布B(n,p)时， E(X) np, D(X) np(1 p) 当X服从泊松分布p()时, E(X) D(X) 当X服从区间(a,b)上均匀分布时, E(X)宁 D(X) (b a)2 12 当X服从参数为 的指数分布时, (5)(5) 1 E(X)- D(X) 2 当X服从正态分布N(,)时， 标准文档 2 实用大全 E(X) ,D(X)标准文档 实用大全 2 2 当（X,Y）服从二维正态分布N（仆厂勺，2 ,）时, cov(X,Y) 第五章 数理统计的基本概念 一、基本教学要求与主要容 （一） 教学要求 1 1 理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概

36、念，掌握 样本均值、样本方差 及样 本矩的计算。 2 2 了解匸分布、t t 分布和 F F 分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3 3 掌握正态总体的某些常用统计量的分布 。 本章重点：统计量的概念及其分布。 （二） 主要容 1 1 .总体、个体 我们把研究对象的全体称为总体 （或母体），把组成总体的每个成员称为个体。在实际 问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。 设 x x 为总体的某个数值指标， 常称这个总体为总体 X X。X X 的分布函数称为总体分布函数。 当 X X 为离散型随机变量时，称 X X 的概率函数为总体概率函数。当 X

37、 X 为连续型随机变量时， 称 X X 的密度函数为总E(X) i, D(X) E(Y) 2, D(Y) XY 标准文档 实用大全 体密度函数。 当 X X 服从正态分布 时，称总体 X X 为正态总 体。正态总体有以下三种类型： 眾未知，但 h 已知； （2 2） 匸未知，但二已知； （3 3） 和均未知。 2.2. 简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法 ， 即通过一些个体的特征来推断总体 的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取 n n 个个体，然后对这些个体进行测 试或观察得到一组数据 ，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数 据值，因而站在抽样前的立场上

38、，设有可能得到的值为 J ，n n 维随机向量 - -）称为样本。n n 称为样本容量。 ）称为样本观测值。 如果样本（ ：）满足 （1 1 相互独立； （2 2） - - - 服从相同的分布，即总体分布； 则称（上丄-）为简单随机样本。简称样本。 设总体 X X 的概率函数（密度函数）为-，则样本匚）的联合概率函数（联 合密度函数为） U1 3.3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。 即：设1 : 是来自总体 X X 的一个样本，二 一 . 1是一个 n n 元函数，如 果中不含任何总体的未知参数，则称： 为一个统计量，经过抽样后得 到一组样本观测值 八丁亠，则称-1 - -为统计

39、量观测值或统计量值。 标准文档 实用大全 4.4. *常用统计量 J=1 (1 (1 )样本均值： ：- n S (Xi X)2 (2(2)样本方差： n 1i 1 n s2 - (Xi X)2 i i i 观察值仍分别称为样本均值、样本方差 5. *5. *三个重要分布 (1 (1 )亠分布 设-1 - -为独立标准正态变量，称随机变量- 亠 的分布为自由 度为 1 1 的分布，记为- - 0 0 称满足：】 的点H为 J J 分布的- -7 7 分位点。 (2 2) t t 分布 设随机变量 X X 与 Y Y 独立，-：|： ，贝 y y 称 的分布为自由度 1 1 的 t t 分布，记

40、为J J - - 0 0 称满足：的点二：为 t t 分布的議分位点 (3) F F 分布 设随机变量 U U 与 V V 相互独立，*， ; ?，则称 标准文档 实用大全 VTm 的分布为自由度的 F F 分布，记为： 称满足：；的点 I I 1为 F F 分布的皐分位点，且有 6. *6. *正态总体的抽样分布 统计量的分布称为抽样分布， 设 .是来自正态总体 的一个简单随机 样本，三与二分别为样本的均值和样本方差，则有 疋-N A (1 )1用丿； 1 n _ (2)(2) 与相S2 (Xi X)2互独立; n 1 i i (3)(3) n-21S2 : 2(n 1) 学习要点 1 1，

41、统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本 的函数，统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。 2 2,样本均值、样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算 方法及其有关性质。 3 3，统计量的分布称为抽样分布，其中 ；分布、t t 分布、F F 分布即是本章的重点，必须 熟悉它们的定义、性质及其上 蠶分位点的查表方法； 4 4，正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论， 并能运用判断一些常用统计量的分布。 第六章参数估计 一、教学基本要求与主要容 标准文档 实用大全 （一） 教学基本要求 1 1 理解点估计的概

42、念。 2 2 掌握矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法。 3 3 .了解估计量的评选标准（无偏性、有效性）。 4 4 理解区间估计的概念。 5 5 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 。 不考 6 6 .会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。 本章重点：未知参数的矩估计，极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。 （二） 主要容 1. *1. *点估计方法 设一二；是来自总体 X X 的样本，&是总体的未知参数，若用一个统计量 来估计&，则称匚为参数&的估计量，在抽样后，称 匕为参数&的 估计值。这种估计称为点估计。 矩估计和最大似然估计是两种常用的

43、 点估计法。 （1 1 ） *矩估计法 用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的基本方法。标准文档 实用大全 (2 (2 ) *最大似然估计法 设总体X的密度函数,| - .(其中 l l 为未知参数)，已知 u *亠 为总体 X X 的样本的观察值，则求 S 的最大似然估计值；一的步骤如 下： 写出似然函数 n L( ) f(X1,X2 丄，Xn, ) f(X,) 1 似然函数取对数 n In L(X1,X2,L ,Xn, ) In f(Xi,) i 1 -j ln I (3)(3)建立并求似然方程d d 0 d (4)(4) 最大似然估计值可以由解对数似然方程得到 2

44、2点估计的优良性评判准则 (1 1)无偏性 设- 是二的一个估计量，若 亠 -：-J，对每一沃 2 2 成立 Vk A 1 n Xi i i Uk Bk (Xi 1 X)k Vk( Xik,Uk( 1, i 1 m)- n n (Xi X)k i 1 标准文档 实用大全 则称上 是丿的一个无偏估计。标准文档 实用大全 (2)有效性 设亠是-的两个无偏估计，如对每一 ,有I：二一一丨且至少对某个：一使 之成立严格不等式，则称 二1比-亠有效。 称在所有的二无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。 3. *单正态总体下的置信区间 设； 是取自正态总体卜的一个样本，置信水平为 二，样本均

45、值 匕学样本方差=人2区厂左 样本万差 (1)均值匚的置信区间 若已知，取亠 I故沖双侧一置信区间为: (2)方差的置信区间 若-已知，取 ，故的双侧-T置信区间为: . , U 珞W) ” *少)3 和卜缨斗 T u 若未知，取、 ，故-的双侧 二置信区间为: 标准文档 实用大全 学习要点 1 1 本章的要点是理解参数点估计的概念，掌握参数点估计的评判标准，会能实际应用。 特别是要掌握矩估计法和最大似然估计法这二种点估计的常用方法， 并能熟练地运用这 二种点估计的常用方法去求参数的估计量 2 2 本章的另一要点是理解参数区间估计的概念和置信水平、置信区间的概念及其意义， 熟悉对单正态总体的均

46、值与方差和两正态总体的均值差进行区间估计的方法及步骤， 并 能熟练地运用以上方法求各种置信区间。 第七章假设检验 一. 教学基本要求 1 1 理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误。知道两类错误 概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤。 2 2 理解单个及正态总体的均值和方差的假设检验 。 3 3 （不考）了解总体分布假设的拟合优度检验法。 本章重点：单个正态总体的参数的假设检验。 二. 容提要 1 1 假设检验的基本概念 若门未知，取 故”的双侧工置信区间为: 标准文档 实用大全 假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。

47、 方法的基 本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异， 从而拒绝理论假设。 原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画， 一般都是根据实际问题的需要以 及相关的专业理论知识提出来的。通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的。 检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异 程度。要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。 检验的名称是由使用什么统计 量来命名的。 否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在：先假定原假设成立，如果导致观察数 据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断 原理。

48、2 2 两类错误概率。第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类 错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。 3 3 显著水平检验。在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本 观察值落入拒绝域就拒绝原假设。若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超 过事先设定的二，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平 -的检验，而称土为显著水 平。由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率的检验。 4 4 *单正态总体均值和方差的检验 (U(U 检验,T,T 检验和卡方检验) ) 2 我们以单正态总体均值 公检验为例，即假定总体 ;:r- - U U 检验： (1)(1)列出问题，即明确原假设和备选假设。先设 丁已知，检验 其中*已知标准文档 实用大全 (2)(2)基于宀的估计I，提出检验统计量U X _0 N(0,1) Vn 其中U 2为标准正态分布的 双侧分位点 因此检验使用统计量 U U,称之为 U U- -检验。 注意: :单边检验的区别 Ho o := =o o