判别式的八种应用

1、判别式的八种应用一、求方程(组)的解及解的取值范围例1若x2+2x+y26y+10=0,x,y为实数.求x,y.解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x,y为实数.224(y26y+10)=4(y3)2。即(y3)2&q于是y=3,进而得x=-1.例2已知a,b,c为实数，满足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范围.(第一届希望杯”全国数学竞赛题)解：a+b+c=0,abc=8,.1.b,e都不为零，且黄+b=-c,ab=-3a,b是方程的两个实数根.cQ.c2-4*->Ofc当c0时，；2肛(2)当c<0时，d-4号0恒成立.c:.c的取值范围是c<0或c&

2、gt;2狎.例3已知实数x,y,z满足x=6y,z2=xy9,求x,y的值.证明：,x+y=6,xy=z2+9贝Ux,y是一元二次方程a2-6a+z2+9=0的两个实数根，则有A=36-4(z2+9)=-4z2>Q即z20。因z为实数，.二z=0,从而A=0,故上述关于a的方程有相等实根，即x=y=3.二、判断三角形形状例4若三角形的三边a,b,c满足a(ab)+b(bc)+c(ca)=0.试判断三角形形状.证明：将原式变形为b2(a+c)b+a2+c3ac=0,由于a,b,c为实数，关于b的一元二次方程有实根，A=(a+c)24(a2+c2ac)>0整理得3(ac)2>Q1

3、/5即(ac)2<Q故a=c,把a=c代入原式，得b=c,从而有a=b=c,所以三角形为等边三角形.三、求某些字母的值.例5k为何值时，(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k是一完全平方式.解：原式=(x2+8x+7)(x2+8x+7+8)+k=(x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+k令(x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+k=0,因原式是完全平方式，则其根的判别式，A=824k=0,即k=16.例6如果x2y2+mx+5y6能分解成两个一次因式的积，试求m的值.解:令x2+mx(y25y+6)=0,则关于x的方程的根的判别式A=4y220y+m2+24.欲使原式能分解

4、成两个一次因式乘积，必须“反一完全平方式，从而有4y220y+m2+24=0的根的判别式4=400-4x4(d+24)=0.m2=1,即m=+.例7a为有理数，问：b为何值时，方程x24ax+4x+3a22a+4b=0的根是有理数.解：方程整理为x2+4(1-a)x+(3a2-2a+4b)=0.它的判别式A=4(a2-6a-4b+4),由于4(a26a4b+4)是有理数a的二次三项式.即4(a2-6a-4b+4)=0的根的判别式A=工-4(-4b+4)-0.解之得b=故当bu-g时，方程的根为有理数.四、证明不等式例8若曰，b,c都是正实数，求证+后京.证明；原不等式等价于b+c)y3(/+h

5、+c，令y=(a2+b2+c2)x22(a+b+c)x+3,易知y=(ax1)2+(bx-1)2+(cx-1)2>Q因为a2+b2+c2>0,且对任意的x值yQ故有=4(a+b+c)24X3(a2+b2+c2)<Q所以(a+b+c)2<3(a+b2+c2).i五、求函数的最大值最小值其,5k+1例9求函数y的最大值和最小值.X'x+1解：令x2-x+1=0,它的判别式A=3<0,可见x为一切实数时，有x2-x+1>0,原式变形为(1-y)x2+(y-5)x+(1-y)=0,要使x为实数，则有A=(y-2、2-5)4(1y)解之得-3<y41.7

6、xi-5x+1将y代入y=F一1中可得笈=7,当了=-3时，x=1,5x-x+17函数y最大值丁?最小值=也六、证明实数存在性问题例10若ab=2(c+d),a,b,c,d均为实数，求证方程x2+ax+c=0和x2+bx+d=0至少有一个方程有实根.证明：假设方程x2+ax+c=0和x2+bx+d=0都没有实根.则4=a，-4c<0,4b*-4d<U,即c：/,4；1?代入已知条件址>:28+司中，ab=2c+2d>1/十工b，22从而有a2+b2<2ab,即(ab)2<0,与(ab)2必盾，因此假设不成立，原题得证.七、在解三角形中的应用例11在AABC中

7、，AC=1,AB=2,求/B的范围.解：设BC=x,由余弦定理得.1=x2+2222xcosB,即x24cosBx+3=0.3k为实数,，=B-120,即匚J.cosB或又ABAG.B为铳角，故0"<B<30Q八、在平面几何中的应用例12如图1,已知：ABC中，D为BC边上任意一点，DE/BC,DE与AC交于E,ODEFG的边FG在BC直线上，设DE二乐BC二'求证：ODEFG的面积S不大于AABC的面积S的一半.（1989年沈阳市中考试题）证明；作EH/JAB交BCTH,则ODEHB的面积等于S,设4ADE的面积为S1,4EHC的面积为S2,S,x3VDE/BC,/.卢=F，屋a又EH/AB,舁工丁丁,a